Conjugué isogonal du point de Prasolov

Bonsoir,

Avec Morley, on a le triangle orthique $A_1B_1C_1$ de $ABC$ avec:
$a_1=\dfrac{s_1-\dfrac{bc}{a}}{2}$ et permutation circulaire.
On a le triangle orthique $A_2B_2C_2$ de $A_1B_1C_1$ avec:
$a_2=\dfrac{a_1(\overline{b_1}-\overline{c_1})-b_1(\overline{c_1}-\overline{a_1})-c_1(\overline{a_1}-\overline{b_1})}{2(\overline{b_1}-\overline{c_1})}$ et permutation circulaire.
Une équation de $(AA_2)$ est $(\overline{a_2}-\overline{a})z+(a-a_2)\overline{z}+(a_2\overline{a}-a\overline{a_2})=0$ et permutation circulaire pour $(BB_2)$ et $(CC_2)$.
Le déterminant d'ordre $3$ de ces droites est nul, donc les deux triangles $ABC$ et $A_2B_2C_2$ sont bien en perpective.
On trouve le centre de perspective en cherchant le point d'intersection de $(AA_2)$ et $(BB_2)$ et on trouve:
$\omega=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2+s_3}$.
Son isogonal se calcule par $p=\dfrac{\omega+s_2\overline{\omega}-s_3\overline{\omega}^2-s_1}{\omega\overline{\omega}-1}$ et on trouve:
$p=\dfrac{s_1^2s_2-2s_2^2+s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ qui est bien le point de Prasolov.
Je joins le fichier Matlab zippé.

Cordialement,

Rescassol

C'est X(24).

Bonjour,

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Isogonal du point de Prasolov.pdf

Sincèrement
Jean-Louis