Conjugué isogonal du point de Prasolov
Bonjour
Voici un nouvel exercice :
Soit $ABC$ un triangle.
Soit $DEF$ le triangle orthique de $ABC.$
Soit $XYZ$ le triangle orthique de $DEF.$
Montrer que les triangles $ABC$ et $XYZ$ sont en perspectives.
Soit $\omega$ le centre de perspective.
Montrer que le point de Prasolov du triangle $ABC$ est le conjugué isogonal de $\omega.$
Voici un nouvel exercice :
Soit $ABC$ un triangle.
Soit $DEF$ le triangle orthique de $ABC.$
Soit $XYZ$ le triangle orthique de $DEF.$
Montrer que les triangles $ABC$ et $XYZ$ sont en perspectives.
Soit $\omega$ le centre de perspective.
Montrer que le point de Prasolov du triangle $ABC$ est le conjugué isogonal de $\omega.$
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Réponses
Avec Morley, on a le triangle orthique $A_1B_1C_1$ de $ABC$ avec:
$a_1=\dfrac{s_1-\dfrac{bc}{a}}{2}$ et permutation circulaire.
On a le triangle orthique $A_2B_2C_2$ de $A_1B_1C_1$ avec:
$a_2=\dfrac{a_1(\overline{b_1}-\overline{c_1})-b_1(\overline{c_1}-\overline{a_1})-c_1(\overline{a_1}-\overline{b_1})}{2(\overline{b_1}-\overline{c_1})}$ et permutation circulaire.
Une équation de $(AA_2)$ est $(\overline{a_2}-\overline{a})z+(a-a_2)\overline{z}+(a_2\overline{a}-a\overline{a_2})=0$ et permutation circulaire pour $(BB_2)$ et $(CC_2)$.
Le déterminant d'ordre $3$ de ces droites est nul, donc les deux triangles $ABC$ et $A_2B_2C_2$ sont bien en perpective.
On trouve le centre de perspective en cherchant le point d'intersection de $(AA_2)$ et $(BB_2)$ et on trouve:
$\omega=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2+s_3}$.
Son isogonal se calcule par $p=\dfrac{\omega+s_2\overline{\omega}-s_3\overline{\omega}^2-s_1}{\omega\overline{\omega}-1}$ et on trouve:
$p=\dfrac{s_1^2s_2-2s_2^2+s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ qui est bien le point de Prasolov.
Je joins le fichier Matlab zippé.
Cordialement,
Rescassol
Bravo. Je me demandais si ce centre de perspective est dans ETC.
Merci de l'information.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Isogonal du point de Prasolov.pdf
Sincèrement
Jean-Louis