Une histoire de boules...
Soient m et n deux entiers naturels supérieurs à 2.
On considère n boules fermées de IRm, muni de sa norme euclidienne usuelle.
On suppose que leur intersection est non vide...
Quel est, en fonction de leurs rayon et coordonnées de centre respectifs,
le rayon de la plus grande boule fermée que contient alors cette intersection ?
Et quelles sont les coordonnées de son centre ?
Comment le calculer ?
Merci d'avance...
On considère n boules fermées de IRm, muni de sa norme euclidienne usuelle.
On suppose que leur intersection est non vide...
Quel est, en fonction de leurs rayon et coordonnées de centre respectifs,
le rayon de la plus grande boule fermée que contient alors cette intersection ?
Et quelles sont les coordonnées de son centre ?
Comment le calculer ?
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Réponses
L'idée est de traiter les cas n=2 et n=3 dans le plan, puis de les étendre à n boules (n qcq dans le plan)...
n=2 : facile à décrire : on note respectivement S(A,R1), S(B,R2) les deux cercles délimitant les disques et R le rayon recherché. On a alors R1+R2-2R=||AB||.
n=3 : si on peut se ramener de façon évidente au cas n=2, alors c'est réglé.
Sinon, on note S(A,R1), S(B,R2) et S(C,R3) les trois cercles délimitant les disques et R le rayon recherché. On note r1=R1-R, r2=R2-R et r3=R3-R.
Les trois ri ainsi définis vérifient les trois équations ci-dessus. Il en manque une quatrième.
On l'obtient de la façon suivante :
Si l'on considère le centre de la boule, il est l'unique point d'intersection des trois cercles
S(A,r1), S(A,r2) et S(A,r3).
IL est alors pas trop difficile de voir que r1, r2 et r3 sont reliés par une équation faisant intervenir A, B et C, dont les coordonnées sont connues...
On a ainsi un moyen théorique d'obtenir r1, r2 et r3 et R.
n>3 : on considère le nombre n0 le nombre d'arcs de cercles auxquels est tangent le cercle de rayon R délimitant la boule recherchée...
comme 3 arcs de cercles suffisent à définir cette sphère de façon unique, on se ramène au cas n=3...
n=2 : ok
n=3 : si on peut se ramener à n=2, ok, sinon on procède selon la méthode décrite ci-dessus pour n=3
n>3 : si on ne peut pas se ramener à n=2, alors on se ramène à n=3
J'ai dû me tromper.