Une histoire de boules...

SXB · February 2012

Soient m et n deux entiers naturels supérieurs à 2.
On considère n boules fermées de IR^m, muni de sa norme euclidienne usuelle.

On suppose que leur intersection est non vide...
Quel est, en fonction de leurs rayon et coordonnées de centre respectifs,
le rayon de la plus grande boule fermée que contient alors cette intersection ?
Et quelles sont les coordonnées de son centre ?

Comment le calculer ?

Merci d'avance...

mathador · February 2012

Veux-tu dire le rayon de la plus petite boule...

JLT · February 2012

C'est bien de la plus grande qu'il s'agit, mais même dans le cas de 3 cercles ça ne me paraît pas évident à écrire.

22516

mathador · February 2012

Effectivement, j'ai lu "qui" à la place de "que" ce qui donne un tout autre énoncé dont la solution d'ailleurs ne semble pas beaucoup plus simple à exprimer.

SXB · February 2012

En fait, j'ai bien une piste depuis mais je sais pas si ça marche parfaitement :

L'idée est de traiter les cas n=2 et n=3 dans le plan, puis de les étendre à n boules (n qcq dans le plan)...

n=2 : facile à décrire : on note respectivement S(A,R₁), S(B,R₂) les deux cercles délimitant les disques et R le rayon recherché. On a alors R₁+R₂-2R=||AB||.

n=3 : si on peut se ramener de façon évidente au cas n=2, alors c'est réglé.

Sinon, on note S(A,R₁), S(B,R₂) et S(C,R₃) les trois cercles délimitant les disques et R le rayon recherché. On note r₁=R₁-R, r₂=R₂-R et r₃=R₃-R.

Les trois r_i ainsi définis vérifient les trois équations ci-dessus. Il en manque une quatrième.

On l'obtient de la façon suivante :

Si l'on considère le centre de la boule, il est l'unique point d'intersection des trois cercles
S(A,r₁), S(A,r₂) et S(A,r₃).

IL est alors pas trop difficile de voir que r₁, r₂ et r₃ sont reliés par une équation faisant intervenir A, B et C, dont les coordonnées sont connues...

On a ainsi un moyen théorique d'obtenir r₁, r₂ et r₃ et R.

n>3 : on considère le nombre n₀ le nombre d'arcs de cercles auxquels est tangent le cercle de rayon R délimitant la boule recherchée...

comme 3 arcs de cercles suffisent à définir cette sphère de façon unique, on se ramène au cas n=3...

remarque · February 2012

Et qui décide que l'on peut se ramener de manière évidente au cas $n=2$ à partir des rayons et des coordonnées des centres ?

SXB · February 2012

J'ai jamais dit ça ... là j'ai trouvé une piste de solution dans le plan ...

n=2 : ok
n=3 : si on peut se ramener à n=2, ok, sinon on procède selon la méthode décrite ci-dessus pour n=3
n>3 : si on ne peut pas se ramener à n=2, alors on se ramène à n=3