Isotomie, isogonie et orthocentre

Bouzar · February 2012

Bonjour

Un nouvel exercice.

1. Montrer que le conjugué isotomique de l'orthocentre d'un triangle $ABC$ est le point de Grebe - Lemoine du triangle anticomplémentaire du triangle $ABC.$

2. Montrer que le conjugué isogonal du conjugué isotomique de l'orthocentre d'un triangle $ABC$ appartient à la droite d'Euler du triangle $ABC.$

jelobreuil · February 2020

Bonsoir à tous

Au cas où cela intéresserait l'un(e) ou l'autre, je me permets de déterrer ces questions, restées apparemment sans réponse à l'époque et retrouvées par pur hasard ...
Bien cordialement
JLB

Rescassol · February 2020

Bonsoir,

Pour le 2, avec Morley circonscrit:

% Problème de Bouzar de 2012 exhumé par Jelobreuil le 03/02/2020

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Morley circonscrit
bB=1/b;
cB=1/c;

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

% L'orthocentre est s1

[hp hpB]=TransfoIsotomique(s1,s2,s3,s1,s1B);
[hs hsB]=TransfoIsogonale(s1,s2,s3,hp,hpB);

Nul=Factor(s1*hsB-s1B*hs)  % Égal à 0 donc c'est gagné !!!

Cordialement,

Rescassol

Rescassol · February 2020

Bonjour,

Pour le 1:

% Problème de Bouzar de 2012 exhumé par Jelobreuil le 03/02/2020

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Morley circonscrit
bB=1/b;
cB=1/c;

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

% L'orthocentre est s1

[hp hpB]=TransfoIsotomique(s1,s2,s3,s1,s1B);

g=s1/3;  % Centre de gravité de ABC
gB=s1B/3;

ap=g-2*(a-g); % Triangle anticomplémentaire A'B'C' de ABC
bp=g-2*(b-g);
cp=g-2*(c-g);

apB=gB-2*(aB-gB); 
bpB=gB-2*(bB-gB);
cpB=gB-2*(cB-gB);

[k kB]=PointDeLemoine(ap,bp,cp,apB,bpB,cpB);

Nul=Factor(hp-k)   % Égal à 0 donc c'est gagné !!!

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme · February 2020

Bonjour,
une approche synthétique est possible...

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme · February 2020

Bonjour,

pour la question 1: c'est un résultat de Vigarié
que j'ai traitée au passage dans une étude concernant le P-cercle de Hagge

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le cercle de Hagge.pdf p. 33...

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme · February 2020

Bonjour,
pour la question 2: c'est un résultat de Tran Quang Hung

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/2. Paralleles a la droite de Euler.pdf p. 18-19

Sincèrement
Jean-Louis

jelobreuil · February 2020

Bonsoir à tous,
Merci, Jean-Louis, de nous faire partager ta vision de la géométrie du triangle.
Cela peut sembler passéiste, mais il se trouve que, manquant des fondements nécessaires pour aborder la géométrie analytique de haut niveau (j'entends par là, plus élevé que celle de Descartes) telle que la pratiquent Bouzar et Rescassol, j'éprouve un réel plaisir à lire tes contributions car il m'arrive de les comprendre à peu près ...
Bien cordialement
JLB