Construction des foyers

Pappus a écrit:

Attention au terme de transposition circulaire.
Par définition une transposition circulaire est involutive mais l'unique transformation circulaire qui envoie $ABC$ sur $A'B'C'$ sur n'a aucune raison de l'être!

Pappus a écrit:

Je suis absolument sûr des propositions que j'avance.

Pappus a écrit:

Il n' y a rien de mystérieux.

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1. $\def\trb#1{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}$ $\def\tra#1{\trb{#1}} \def\qq{\mathbb{Q}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\ds#1{{\displaystyle #1}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\orto{\boxed{OrtO}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\pccd{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}} \def\prrt{\mathbb{P}_{\rr}\!\left(\rr^{3}\right)} \def\kub{\mathcal{K}_{A}} \def\pglcd{\mathbb{PGL}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\kuba{\mathcal{K}^{A}} \def\pyth{\boxed{Pyth}} \def\ww{\boxed{W}} \def\orthh{\boxed{OrtH}} \def\met{\boxed{\mathcal{M}}} \def\kshi#1{\boxed{\mathcal{K}_{#1}}} \def\orto{\boxed{OrtO}} \def\linfz{\boxed{\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\end{array}}} \def\wwz{\boxed{W_{z}}} \def\ortoz{\boxed{OrtO_{z}}} \def\metz{\boxed{\mathcal{M}_{z}}} \def\pythz{\boxed{Pyth_{z}}}$ Commençons par exposer le calcul algébrique des foyers d'une ellipse inscrite. Nous partons des coordonnées barycentriques du point de service $Q=u:v:w$. Le perspecteur est donc $P=1/u:1/v:1/w$ et le centre est $U=v+w:w+u:u+v$. Les contacts sont $0:w:v$, $w:0:u$, $v:u:0$ et donc les équations tangentielles et ponctuelles sont: \[ \boxed{\mathcal{C}^{*}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & w & v\\ w & 0 & u\\ v & u & 0 \end{array}\right)\;;\;\boxed{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{ccc} -u^{2} & uv & uw\\ uv & -v^{2} & vw\\ uw & vw & -w^{2} \end{array}\right) \]
   
   
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2. Nous cherchons les foyers sous la forme: \[ F\simeq\left(\begin{array}{c} v+w\\ w+u\\ u+v \end{array}\right)\pm2\left(u+v+w\right)\sqrt{\frac{K}{a^{2}t^{2}+2\Sc t+b^{2}}}\,\left(\begin{array}{c} 1\\ t\\ -1-t \end{array}\right) \] la variable $t$ fixe les directions d'axe, et le multiplicateur est écrit de façon à ce que $\left|UF\right|=\sqrt{K}$ (la distance focale). Nous écrivons que la droite $F\Omega$, joignant un foyer et un ombilic, est tangente à la conique. Cela donne deux équations réelles, qui se séparent en une équation fixant les directions: \[ \left(\begin{gathered}\left(\left(v-w\right)\left(v+2\, u+w\right)a^{2}+\left(w+v\right)^{2}b^{2}-\left(w+v\right)^{2}c^{2}\right)t^{2}\\ 2\left(\left(v+w\right)^{2}b^{2}-\left(u+w\right)^{2}a^{2}\right)t\\ -\left(w+u\right)^{2}a^{2}-\left(u-w\right)\left(u+2\, v+w\right)b^{2}+\left(w+u\right)^{2}c^{2} \end{gathered} \right)=0 \] et une équation donnant alors la valeur de $K$. Celle-ci s'écrit $K=numer\left(u,v,w\right)\div denom\left(t\right)$. Le numérateur est une forme quadratique en $u,v,w$. Sa matrice est: \[ \negthickspace\negthickspace\left(\negthickspace\negthickspace\begin{array}{ccc} a^{4}\left(c^{2}\!-\! b^{2}\right)\left(b^{4}\!+\! c^{4}\!-\!\left(b^{2}\!+\! c^{2}\right)a^{2}\right) & a^{2}b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}b^{2}-c^{4}\right) & c^{2}a^{2}\left(c^{2}a^{2}-b^{4}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)\\ a^{2}b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}b^{2}-c^{4}\right) & \negthickspace\negthickspace\negthickspace\negthickspace b^{4}\left(a^{2}\!-\! c^{2}\right)\left(c^{4}\!+\! a^{4}\!-\!\left(c^{2}\!+\! a^{2}\right)b^{2}\right) & b^{2}c^{2}\left(b^{2}c^{2}-a^{4}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)\\ c^{2}a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}a^{2}-b^{4}\right) & b^{2}c^{2}\left(b^{2}c^{2}-a^{4}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right) & \negthickspace\negthickspace\negthickspace\negthickspace c^{4}\left(b^{2}\!-\! a^{2}\right)\left(a^{4}\!+\! b^{4}\!-\!\left(a^{2}\!+\! b^{2}\right)c^{2}\right) \end{array}\negthickspace\negthickspace\right) \] avec le facteur de normalisation $1/\left(u+v+w\right)^{2}$. Le "dénominateur" est donné par: \[ \frac{\left(a^{2}\left(a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)-b^{4}-c^{4}\right)t+b^{2}\left(a^{4}+c^{4}-b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)\right)\right)\left(a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)t+b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)\right)}{a^{2}t^{2}+2\Sc t+b^{2}} \]
   
   
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3. Au passage: le "facteur de normalisation" vient nous rappeler que $Q\in\linf$ est la condition pour qu'une conique inscrite soit une parabole. Le "centre" vient lui aussi se confondre avec le point à l'infini, tandis que le perspecteur est sur outSteiner, et le foyer sur le cercle circonscrit.
   
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4. On sait écrite la matrice $\orto$ transformant une direction (donnée par ses barycentriques) en la direction orthogonale. Lorsque les deux directions sont paramétrées par $1:t:-1-t$ et $1:s:-1-s$, la condition d'orthogonalité devient: \[ a^{2}st+\left(s+t\right)\Sc+b^{2}=0 \] On constate que la substitution de $t$ par son expression en $s$ laisse inchangée l'équation aux directions (les axes sont orthogonaux), tandis que le "dénominateur" est changé en son opposé (seuls deux foyers sont visibles, les deux autres attendant que le perspecteur retraverse l'ellipse de Steiner).
   
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5. Ce calcul montre (à nouveau) que le corps de rupture des foyers est une extension algébrique bicarrée, la première extension concernant une paire de directions orthogonales. Ce résultat est un fait intrinsèque: il va réapparaître immanquablement, quelles que soient les transformations admissibles utilisées.
   
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6. Le fait qu'en partant d'un foyer tout soit simple, tandis que cela se passe plus mal en partant du centre $U$ ou du perspecteur $P$ ou du point de service $Q$ est simplement le fait que dans le corps de rupture, tout se passe rationnellement ! Ce n'est pas pour autant que les expressions obtenues seront de plus petite taille.

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1. Une homographie est un élément du groupe projectif linéaire $\pglcd$ qui agit sur $\pccd$. Ce n'est pas autre chose.
   
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2. Appeler un chat "un chat" et "homographie" une homographie est la simple mise en oeuvre de la méthode discursive de Descartes: "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement". Si vous appeler votre chat "homographie", il ne va pas devenir conformiste pour si peu et si vous appelez "chat" une homographie, elle ne va pas subitement attraper des souris.
   
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3. Garder des définitions bien claires et bien tranchées est d'autant plus indispensable lorsque l'on veut comparer plusieurs plongements du rantanplan de la géométrie affine, de façon à transférer des résultats d'un plongement vers un autre..
   
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4. La sphère de Riemann est l'espace $\pccd$ obtenu en sphérifiant le plan $\cc=\rr+i\rr$ par ajout d'un pôle sud. Dans ce contexte, l'écriture $h\left(z\right)=\left(a\, z+b\right)/\left(c\, z+d\right)$ est une abréviation pour \[ h\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt \end{array}\right) \] Les bijections homographiques de la sphère $\overline{\cc}$ sont conformes et sont cycliques, c'est à dire transforment les cycles (droites ou cercles) en cycles (droites ou cercles) et le point à l'infini sert à caractériser les droites au sein de la famille des cycles.
   
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5. Au contraire, les plans projectifs $\prrt,\,\pcct$ sont obtenus en complétant le plan utilisé (soit $\rr^{2}$ soit $\cc^{2}$) par la droite (à l'infini) des directions de droites (ordinaires). Le tout premier intérêt de $\prrt$ est de permettre de calculer avec les directions en utilisant les outils déjà développés pour les points ordinaires (applications à la peinture et aux fortifications). Ensuite de quoi, $\pcct$ --l'espace de Morley-- permet d'introduire toute une kyrielle de points invisibles dont les ombilics. Dans ce contexte, un cercle n'est plus un cycle qui {*}ne passe pas{*} par l'infini, mais au contraire une conique qui {*}passe{*} par les deux ombilics.
   
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6. Considérons deux droites visibles $D,\Delta$ plongées dans $\pcct$. Nous pouvons utiliser une homographie $\psi$ de $\pccd$ pour définir une bijection $\Psi$ entre les deux droites complétées en suivant le schéma: \[ D\cup\left\{ \infty_{D}\right\} \hookrightarrow D\cup\left\{ \infty_{\cc}\right\} \overset{\psi}{\hookrightarrow}\Delta\cup\left\{ \infty_{\cc}\right\} \hookrightarrow\Delta\cup\left\{ \infty_{\Delta}\right\} \] Nous pouvons même continuer à utiliser $\psi$ pour noter cette {*}nouvelle{*} transformation. Mais nous ne pouvons pas appeler cela une "homographie" sous le prétexte que "les ennuis sont loin". Mettre du flou dans la nomenclature revient à transformer les raisonnements en autant de croisières Costa où rien n'est vraiment certain, pas même le pire.
   
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7. Lorsque l'on prend un repère sur les droites visibles $D,\Delta$, engendrant les paramétrisations réelles $k,\, K$, une transformation $\Psi$ engendre une correspondance homographique $\phi\in\mathbb{PGL}\left(\rr^{2}\right)$ entre les paramètres $k,\, K$. Mais il n'y a aucun espoir de prolonger cela en une homographie (parce que $\infty_{D}\neq\infty_{\Delta}$).
   
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8. Dans le même genre d'idées, appeler transformations circulaires les éléments de $\mathbb{PGL}\left(\cc^{2}\right)$ au motif que le terme homographies est déjà utilisé à autre chose ne va pas aider à la compréhension de la suite. Les éléments de de $\mathbb{PGL}\left(\cc^{2}\right)$ sont cycliques, mais ils auraient le plus grand mal à être circulaires. Quelle pourrait bien être l'image d'un ombilic par une homographie de la sphère de Riemann ?
   
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9. Insistons sur le fait qu'il s'agit d'une impossibilité topologique, et non "un phénomène malheureux que l'on résoudra plus tard". On part d'une bijection conforme de la sphère de Riemann. Elle s'écrit \[ \psi\,:\, z\mapsto\frac{a\, z+b}{c\, z+d}\quad;\quad\left(\vz,\,\vt\right)\mapsto\left(a\vz+b\vt,\, c\vz+d\vt\right) \] On se demande ce que devient $\vzz$ dans tout cela et l'on obtient: \[ \Psi\,:\,\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c} \left(a\vz+b\vt\right)\left(\overline{c}\,\vzz+\overline{d}\,\vt\right)\\ \left(c\,\vz+d\vt\right)\left(\overline{c}\,\vzz+\overline{d}\,\vt\right)\\ \left(\overline{a}\vzz+\overline{b}\,\vt\right)\left(c\,\vz+d\vt\right) \end{array}\right) \] On est donc amené à gérer un triplet de formes quadratiques. Où vont les ombilics ? On obtient $\Psi\left(1:0:0\right)=\left(0:0:0\right)$ : les ombilics vont où bon leur semble. Plus généralement, où vont les points à l'infini ? On obtient $a\overline{c}:c\overline{c}:c\overline{a}$ : une seule image pour tout le monde, ce qui n'est pas très bijectif. Où va le "pôle de l'homographie" ? On obtient $\left(0:0:0\right)$ : le pôle s'est liquéfié (la fonte des glaces, sans doute). En résumé, $\pccd$ ne supporte pas ces tentatives de lui élargir l'horizon à plus d'un point.

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1. Revenons à nos coniques inscrites et considérons les droites $D=AB$ et $\Delta=AC$. Nous les paramétrons par: \[ M\simeq\left(\begin{array}{c} k\\ 1-k\\ 0 \end{array}\right),\: N\simeq\left(\begin{array}{c} K\\ 0\\ 1-K \end{array}\right) \] et nous lions les points en demandant que la droite $MN$ soit tangente à la conique. Un calcul immédiat donne: \[ K=\dfrac{kw}{\left(u+v+w\right)k-v} \] conduisant à une correspondance homographique entre paramètres. On remarquera que sa forme se simplifie dramatiquement dans le cas d'une parabole.
   
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2. Voyons comment cette relation se transforme en une relation entre les affixes complexes des points $M$ et $N$. Nous avons: \begin{eqnarray*} M_{z} & \simeq & \boxed{aller}\cdot\left(\begin{array}{c} k\\ 1-k\\ 0 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \alpha\, k+\beta\,\left(1-k\right)\\ 1\\ \dfrac{k}{\alpha}+\dfrac{1-k}{\beta} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} z\\ t\\ \zeta \end{array}\right)\\ N_{z} & \simeq & \boxed{aller}\cdot\left(\begin{array}{c} K\\ 0\\ 1-K \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \alpha\, kw+\gamma\,\left(ku+vk-v\right)\\ k\left(u+v+w\right)-v\\ \dfrac{kw}{\alpha}+\dfrac{ku+vk-v}{\gamma} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right) \end{eqnarray*}
   
   
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3. Déterminer une relation "à la sauce homographique" revient à déterminer une matrice $\boxed{\psi}$ telle que la relation: \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \psi_{11} & \psi_{12} & 0\\ \psi_{21} & \psi_{22} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z\\ t\\ \zeta \end{array}\right) \] devienne une identité par rapport au paramètre $k$. On obtient: \[ \boxed{\psi}=\left(\begin{array}{ccc} +\left(\gamma\, u+\gamma\, v+\alpha\, w\right) & -\left(\beta\gamma\, u+\gamma\alpha\, v+\alpha\beta\, w\right) & 0\\ u+v+w & -\left(\beta\, u+\alpha\, v+\beta\, w\right) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
   
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4. On détermine les points fixes par les méthodes usuelles de diagonalisation. Et l'on trouve que $z:t:\zeta$ est un point fixe lorsque \[ -z\,\alpha\, wt-z\,\gamma\, ut-z\,\gamma\, vt+t^{2}\alpha\, v\gamma+t^{2}\alpha\, w\beta+t^{2}\beta\, u\gamma+z^{2}u+z^{2}v+z^{2}w-z\, t\,\beta\, u-z\, t\,\beta\, w-z\, t\,\alpha\, v=0 \] Organisé en $z^{2},\, z\, t,\, t^{2}$ d'une part, et organisé en $u,v,w$ d'autre part, cela donne: \[ z^{2}-2\,\dfrac{\left(\beta+\gamma\right)u+\left(\gamma+\alpha\right)v+\left(\alpha+\beta\right)w}{2\left(u+v+w\right)}\, t\, z+\dfrac{\left(\beta\gamma\, u+\gamma\alpha\, v+\alpha\beta\, w\right)t^{2}}{u+v+w}=0 \] \[ \dfrac{u}{\alpha\, t-z}+\dfrac{v}{\beta\, t-z}+\dfrac{w}{t\,\gamma-z}=0 \] On voit que le milieu des points fixes est au centre de la conique et qu'en fait, les points fixes ne sont autres que les foyers de celle-ci.
   
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5. Au passage, on identifie l'homographie involutive dont les points fixes (sur la sphère de Riemann) sont les foyers de la conique (dans le plan de Morley): il suffit de répartir équitablement les termes du premier degré. Cela donne: \[ \boxed{\psi_{0}}=\left(\begin{array}{ccc} \left(\beta+\gamma\right)u+\left(\gamma+\alpha\right)v+\left(\alpha+\beta\right)w & -2\left(\beta\gamma\, u+\gamma\alpha\, v+\alpha\beta\, w\right) & 0\\ 2\left(u+v+w\right) & -\left(\beta+\gamma\right)u-\left(\gamma+\alpha\right)v-\left(\alpha+\beta\right)w & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
   

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1. Le produit de deux involutions n'a aucune raison d'être une involution. Comme nous n'avons pas un groupe, il n'y a aucune gène à exclure l'identité de l'ensemble des involutions.
   
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2. Le groupe des homographies opère sur lui-même par transmutation. Une classe de transmutation contient une multiplication ($z\mapsto p\, z$) ou une addition $\left(z\mapsto z+q\right)$ selon qu'il y a deux points fixes ou un seul (double). Lorsqu'une homographie $\psi_{0}$ est involutive, sa classe contient $z\mapsto-z$. Appelant $z_{1},z_{2}$ ses deux points fixes, nous pouvons généraliser le résultat précédent et nous obtenons: \begin{eqnarray*} \psi_{0}\left(\vz\right) & = & \left[\left(\vz\mapsto\dfrac{\vz z_{2}-z_{1}}{\vz-1}\right)\circ\left(\vz\mapsto-\vz\right)\circ\left(\vz\mapsto\dfrac{\vz-z_{1}}{\vz-z_{2}}\right)\right]\,\left(\vz\right)\\ & = & \dfrac{\vz\, s-2\, p}{2\,\vz-s}\qquad\mathrm{avec}\qquad s=z_{1}+z_{2}\,;\, p=z_{1}\, z_{2} \end{eqnarray*}
   
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3. Lorsqu'une homographie $\psi_{0}$ est involutive, les deux points fixes, le point courant et son image forment un quadrangle harmonique. En effet, permutons $\vz$ et $\psi_{0}\left(\vz\right)$. Le birapport est à la fois conservé (propriété générale) et transformé en son inverse (action de $\mathfrak{S}_{4}$). De plus, il ne vaut pas $1$.
   
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4. Posons nous un problème d'ingénierie inverse et cherchons à retrouver les deux points fixes $F,G$ de $\psi_{0}$ en connaissant leur milieu $U$ et un couple $M,N$ de points en correspondance par $\psi_{0}$. Les quatre points $F,G,M,N$ sont sur le même cercle capable de l'angle $\left(MF,MG\right)$. Par ailleurs les points $M,N$ sont sur le même cercle isotomique du rapport $MF/MG$. Ces deux cercles sont orthogonaux. Appelons provisoirement $A$ et $B$ leurs centres. La droite des centres $AB$ est la médiatrice de $\left[M,N\right]$.
   
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5. Par ailleurs, les axes radicaux des isotomiques et des capables sont orthogonaux, et le point $O$ voit $\left[A,B\right]$ sous un angle droit. Comme les cercles sont orthogonaux entre eux, les cinq points $A,B,O,M,N$ sont cocycliques. Or nous connaissons $O,N,M$. Nous avons obtenu une construction biquadratique : un premier radical pour les intersections du cercle $OMN$ et de $AB$, puis un deuxième radical pour l'intersection du cercle $A\left(M\right)$ et de la droite $BO$.
   
   
   cercleOMNAB.png
   
   
   
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6. Une légère modification permet de passer à une construction gudulique. Une fois la construction réalisée, les arcs $MB$ et $BN$ du cercle $OMN$ sont égaux, puisque $AB$ est le diamètre orthogonal à la corde $MN$. Par conséquent, les droites $OA,\, OB$ forment le gudule bissecteur du couple de droites $OM,\, ON$. On commence par tracer celui-ci et cela donne $A,B$. On constate l'un des points $X=A,B$ donne un cercle $X_{1}\left(M\right)$ trop court pour couper la droite $OX_{2}$ : il n'y a que deux foyers géométriques parmi les quatre foyers analytiques.

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1. Pour appliquer la construction précédente, il reste à obtenir un couple $M,N$ avec $N=\psi_{0}\left(M\right)$. En fait, nous allons en fabriquer trois.
   
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2. Une conique inscrite est donnée par un trigone de tangentes $BC,\, CA,\, AB$ et un triangle de contacts $P_{a},P_{b},P_{c}$. Il se trouve que le triangle des contacts est nécessairement en perspective avec le triangle $ABC$, qui est le dual du trigone des tangentes. Autrement dit, une conique inscrite dans un triangle se caractérise par son perspecteur. Si l'on y réfléchit bien, cette caractérisation est la seule caractérisation projective possible. Dans le fil précédent, on aurait pu envoyer le triangle $ABC$ sur le triangle des racines cubiques de l'unité et le perspecteur sur l'origine, transformant la conique inscrite en le cercle inscrit (et l'ancien cercle circonscrit en une banale conique circonscrite).
   
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3. Les barycentriques des contacts sont les colonnes de l'équation tangentielle. Les affixes de Lubin de ces points s'obtiennent par: \[ \boxed{aller}\cdot\boxed{\mathcal{C}^{*}}=\left(\begin{array}{ccc} \beta\, w+\gamma\, v & \alpha\, w+\gamma\, u & \alpha\, v+\beta\, u\\ v+w & u+w & v+u\\ \dfrac{w}{\beta}+\dfrac{v}{\gamma} & \dfrac{w}{\alpha}+\dfrac{u}{\gamma} & \dfrac{v}{\alpha}+\dfrac{u}{\beta} \end{array}\right) \]
   
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4. Au vu de ce qui précède, l'involution à la sauce homographique ayant les points $P_{b},P_{c}$ comme points fixes s'écrit: \[ \boxed{\psi_{a}}\simeq\left(\begin{array}{ccc} \dfrac{\alpha\, w+\gamma\, u}{u+w}+\dfrac{\alpha\, v+\beta\, u}{v+u} & -2\,\dfrac{\left(\alpha\, w+\gamma\, u\right)\left(\alpha\, v+\beta\, u\right)}{\left(u+w\right)\left(v+u\right)} & 0\\ 2 & -\dfrac{\alpha\, w+\gamma\, u}{u+w}-\dfrac{\alpha\, v+\beta\, u}{v+u} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] Et l'on calcule $\left(\boxed{\psi_{0}}-\boxed{\psi_{a}}\right)\left(A\right)$. Si l'on a programmé son simplificateur de Groebner pour émettre un \texttt{tada.waw} chaque fois qu'une expression de petite taille est obtenue, on entend alors le bruit caractéristique : yet another coffee pot has been turned into a theorem !
   
   
   construction02.png (ex 22748)
   
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5. Pour obtenir les points $A',\, B',\, C'$ nous commençons donc par tracer les cercles $AP_{b}P_{c}$ etc. Leurs équations sont: \[ a^{2}\, yz+b^{2}\, zx+c^{2}\, xy-\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{c^{2}v}{v+u}\, y+\dfrac{b^{2}w}{w+u}\, z\right)\; etc. \] Digression. On voit bien que ces cercles sont concourants. On calcule leur point commun et on obtient: \[ D\simeq\left(\begin{array}{c} \dfrac{a^{2}}{u\left(v+w\right)}\left(-\dfrac{a^{2}}{v+w}+\dfrac{b^{2}}{u+w}+\dfrac{c^{2}}{v+u}\right)\\ \dfrac{b^{2}}{v\left(u+w\right)}\left(-\dfrac{b^{2}}{u+w}+\dfrac{c^{2}}{v+u}+\dfrac{a^{2}}{v+w}\right)\\ \dfrac{c^{2}}{w\left(v+u\right)}\left(-\dfrac{c^{2}}{v+u}+\dfrac{a^{2}}{v+w}+\dfrac{b^{2}}{u+w}\right) \end{array}\right) \]
   
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6. Pour obtenir le point $A'$ nous pourrions tracer la tangente $At$ au cercle, voir son intersection avec $P_{b}P_{c}$, obtenir le centre du Poncelet, puis couper les deux cercles. Et finalement arriver aux coordonnées barycentriques de $A'$: \[ \left(\begin{array}{c} \dfrac{\left(v+w\right)b^{2}}{u+w}+\dfrac{\left(v+w\right)c^{2}}{v+u}-a^{2}\\ \dfrac{2\, ub^{2}}{u+w}\\ \dfrac{2\, c^{2}u}{v+u} \end{array}\right) \]
   
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7. On s'évite tout cela en remarquant que $AA'$ est tout bonnement la $A$-symédiane du triangle $AP_{b}P_{c}$, parce que[/] la $A$-médiane de $AP_{b}P_{c}$ passe par $U$. On en déduit que le triangle $A'B'C'$ est en perspective avec le triangle $ABC,$ le perspecteur $E$ étant précisément l'isogonal du centre $U$: \[ E\simeq\dfrac{a^{2}}{v+w}:\dfrac{b^{2}}{w+u}:\dfrac{c^{2}}{u+v} \]
   
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8. Finalement, le détour par la sphère de Riemann est une méthode efficace pour trouver les idées à mettre en oeuvre. Par la suite, les objets et les raisonnements vivent dans le projectif usuel.

$\def\trb#1{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}$ $\def\tra#1{\trb{#1}} \def\qq{\mathbb{Q}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\ds#1{{\displaystyle #1}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\orto{\boxed{OrtO}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\prrt{\mathbb{P}_{\rr}\!\left(\rr^{3}\right)} \def\kub{\mathcal{K}_{A}} \def\pglcd{\mathbb{PGL}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\kuba{\mathcal{K}^{A}} \def\pyth{\boxed{Pyth}} \def\ww{\boxed{W}} \def\orthh{\boxed{OrtH}} \def\met{\boxed{\mathcal{M}}} \def\kshi#1{\boxed{\mathcal{K}_{#1}}} \def\orto{\boxed{OrtO}} \def\linfz{\boxed{\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\end{array}}} \def\wwz{\boxed{W_{z}}} \def\ortoz{\boxed{OrtO_{z}}} \def\metz{\boxed{\mathcal{M}_{z}}} \def\pythz{\boxed{Pyth_{z}}}$
1. Si les points fixes de $\psi$ sont $z_{1}:t_{1}$ et $z_{2}:t_{2}$ alors $\psi$ s'écrit: \[ \psi\left(\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt \end{array}\right)\right)\simeq\boxed{\psi}\cdot\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt \end{array}\right)\quad avec\quad\boxed{\psi}\simeq\left(\begin{array}{cc} +\left(z_{1}\, t_{2}+z_{2}\, t_{1}\right) & -2\, z_{1}\, z_{2}\\ +2\, t_{1}\, t_{2} & -\left(z_{1}\, t_{2}+z_{2}\, t_{1}\right) \end{array}\right) \]
   
   
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2. Si l'on veut plonger $\psi\in\mathbb{PGL}\left(\cc^{2}\right)$ en une application $\Psi$ agissant sur l'espace de Morley, il faut décider d'une action sur $\left(\vzz,\,\vt\right)$. Il est naturel d'utiliser l'action conjuguée de celle de $\psi$, de façon à ce que, pour les points visibles à distance finie, on ait: \[ \Psi\left(\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \psi\left(\vz/\vt\right)\\ 1\\ \overline{\psi}\left(\vzz/\vt\right) \end{array}\right) \] Réécrivant cela sous forme polynomiale, nous obtenons: \[ \Psi\left(\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \left(\left(z_{1}\, t_{2}+z_{2}\, t_{1}\right)\vz-2\, z_{1}\, z_{2}\,\vt\right)\left(2\, t_{1}\, t_{2}\,\vzz-\left(\zeta_{1}\, t_{2}+\zeta_{2}\, t_{1}\right)\vt\right)\\ \left(2\, t_{1}\, t_{2}\,\vz-\left(z_{1}\, t_{2}+z_{2}\, t_{1}\right)\vt\right)\left(2\, t_{1}\, t_{2}\,\vzz-\left(\zeta_{1}\, t_{2}+\zeta_{2}\, t_{1}\right)\vt\right)\\ \left(2\, t_{1}\, t_{2}\,\vz-\left(z_{1}\, t_{2}+z_{2}\, t_{1}\right)\vt\right)\left(\left(\zeta_{1}\, t_{2}+\zeta_{2}\, t_{1}\right)\vzz-2\,\zeta_{1}\,\zeta_{2}\,\vt\right) \end{array}\right) \]
   
   
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3. Les points fixes de $\Psi$ sont au nombre de quatre. Il y a évidemment les points visibles $F_{1}\simeq z_{1}:t_{1}:\zeta_{1}$ et $F_{2}\simeq z_{2}:t_{2}:\zeta_{2}$, mais il y a aussi les points invisibles: $F_{3}\simeq z_{2}\, t_{1}:t_{1}\, t_{2}:\zeta_{1}\, t_{2}$ et $F_{4}\simeq z_{1}\, t_{2}:t_{1}\, t_{2}:\zeta_{2}\, t_{1}$. Dans le cas générique, ils peuvent aussi s'écrire $z_{1}/t_{1}:1:\zeta_{2}/t_{2}$ et $z_{2}/t_{2}:1:\zeta_{1}/t_{1}$, montrant que ces points apparaissent par croisement des points fixes de $\pccd$.
   
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4. Le triangle diagonal des quatre points fixes se compose de $D_{1}\simeq z_{2}t_{1}+z_{1}t_{2}:t_{1}t_{2}:\zeta_{2}t_{1}+\zeta_{1}t_{2}$ (milieu commun de $F_{1},F_{2}$ et de $F_{3},F_{4}$) tandis que $D_{2}$ et $D_{3}$ ne sont autres que les deux ombilics.
   
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5. Il existe une et une seule collinéation qui fixe les ombilics et envoie $z_{1},z_{2}$ sur $\pm1$. C'est une similitude. En transmutant $\Psi$ par cette similitude on arrive à la transformation: \[ \left(\vz:\vt:\vzz\right)\mapsto\left(\frac{1}{\vz}:\frac{1}{\vt}:\frac{1}{\vzz}\right) \] Autrement dit, $\Psi$ est l'isoconjugaison ayant les quatre foyers pour points fixes. Dans ce contexte, le faisceau des coniques "rouges" (par $F_{1},\, F_{2},\, D_{2},\, D_{3}$) et le faisceau des coniques "bleues" (par $F_{3},\, F_{4},\, D_{2},\, D_{3}$) ne sont autres que les faisceaux admettant respectivement $F_{1},F_{2}$ comme points de base et comme points de Poncelet.
   
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6. En résumé, on permute les foyers de même nature d'une conique inscrite par l'isoconjugaison ayant les quatre centres inexinscrits pour points fixes (conjugaison isogonale). Le fait que ces points soit fixes traduit le fait que les cercles n'ont qu'un seul foyer. Dans le même temps, l'isoconjugaison par rapport aux quatre foyers permute le concours de deux tangentes avec son quatrième harmonique par rapport aux contacts.

1. Considérons une conique circonscrite et son perspecteur $P=p:q:r$. Les matrices des équations ponctuelles et tangentielles sont: \[ \boxed{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & r & q\\ r & 0 & p\\ q & p & 0 \end{array}\right)\;;\;\boxed{\mathcal{C}^{*}}=\left(\begin{array}{ccc} -p^{2} & pq & pr\\ pq & -q^{2} & qr\\ pr & qr & -r^{2} \end{array}\right) \]
   
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2. Nous allons utiliser le triangle anticévien $\mathcal{A}=\left(A_{p},\, B_{p},\, C_{p}\right)$ défini par le fait que $ABC$ est le triangle cévien de $P$ par rapport à $\mathcal{A}$. Construction Geogebra: si $P_{a}$ est le $ABC$ cévien de $P$ alors $A_{p}$ est l'inverse de $P$ dans le demi-cercle $\left[A,\, P_{a}\right]$. Les barycentriques normalisés du triangle anticévien sont: \[ \boxed{\mathcal{A}}\simeq\left(\begin{array}{ccc} \dfrac{-p}{q+r-p} & \dfrac{p}{p+r-q} & \dfrac{p}{p+q-r}\\ \dfrac{q}{q+r-p} & \dfrac{-q}{p+r-q} & \dfrac{q}{p+q-r}\\ \dfrac{r}{q+r-p} & \dfrac{r}{p+r-q} & \dfrac{r}{p+q-r} \end{array}\right) \]
   
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3. On peut alors utiliser les formules de changement de base dans une forme quadratique pour obtenir les matrices des équations ponctuelles et tangentielles par rapport au triangle $\mathcal{A}$: \[ \boxed{new\,\mathcal{C}}\simeq\left(\begin{array}{ccc} -\dfrac{\left(p+r-q\right)\left(p+q-r\right)}{q+r-p} & p+q-r & p+r-q\\ p+q-r & -\dfrac{\left(q+r-p\right)\left(p+q-r\right)}{p+r-q} & q+r-p\\ p+r-q & q+r-p & -\dfrac{\left(q+r-p\right)\left(p+r-q\right)}{p+q-r} \end{array}\right) \] \[ \boxed{new\,\mathcal{C}^{*}}\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{1}{p+q-r} & \dfrac{1}{p+r-q}\\ \dfrac{1}{p+q-r} & 0 & \dfrac{1}{q+r-p}\\ \dfrac{1}{p+r-q} & \dfrac{1}{q+r-p} & 0 \end{array}\right) \] Il suffit donc d'adopter le point de vue "anti-cévien" pour pouvoir appliquer les méthodes valables pour les coniques inscrites.
   
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4. Par propriété générale des coniques, le centre se trouve sur la droite joignant le sommet $A_{p}$ avec le milieu de la corde $\left[B,C\right]$. Ce point est donc le cevadiv des points $P$ et $G=$X(2,$ABC$). On obtient: \[ U\simeq\left(\begin{array}{c} p\left(q+r-p\right)\\ q\left(p+r-q\right)\\ r\left(p+q-r\right) \end{array}\right) \] Il est remarquable que $U$ possède les mêmes barycentriques vis à vis de $\mathcal{A}$. On obtient évidemment le même résultat en prenant le pôle de la droite de l'infini, ou en passant par le point de service (isotomique de $P$ par rapport à $\mathcal{A}$).
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   circonscrite.png (ex-22816)
   
   
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5. Nous construisons alors le point $E$, isogonal de $U$ vis à vis de $\mathcal{A}$. On obtient ses barycentriques en écrivant que les droites $A_{p}U,\, A_{p}E$ sont également inclinées sur les droites $A_{p}B_{p},\, A_{p}C_{p}$ (formule des tangentes), ou bien en faisant les calculs dans le triangle $\mathcal{A}$, en substituant les carrés des longueurs, puis en transmutant le tout par la matrice $\boxed{\mathcal{A}}$. On obtient: \[ E\simeq\left(\begin{array}{c} p\left(\left(\dfrac{q+r-p}{p}-2\right)a^{2}+\dfrac{p+q-r}{q}\, b^{2}+\dfrac{p+r-q}{r}\, c^{2}\right)\\ q\left(\dfrac{p+q-r}{p}\, a^{2}+\left(\dfrac{p+r-q}{q}-2\right)b^{2}+\dfrac{q+r-p}{r}\, c^{2}\right)\\ r\left(\dfrac{p+r-q}{p}\, a^{2}+\dfrac{q+r-p}{q}\, b^{2}+\left(\dfrac{p+q-r}{r}-2\right)c^{2}\right) \end{array}\right) \]
   
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6. Traçons les cercles $\Gamma_{a}$ etc. passant par $A_{p},B,C$ etc. Leurs équations sont: \[ \Gamma_{a}\simeq yza^{2}+b^{2}zx+c^{2}xy-\left(x+y+z\right)x\,\dfrac{rp\, b^{2}+pq\, c^{2}-rq\, a^{2}}{p\left(q+r-p\right)} \] Digression. Ces cercles concourent en: \[ D\simeq\dfrac{p\left(q+r-p\right)}{rp\, b^{2}+pq\, c^{2}-rq\, a^{2}}:\dfrac{q\left(p+r-q\right)}{rqa^{2}+pqc^{2}-b^{2}rp}:\dfrac{r\left(p+q-r\right)}{rqa^{2}+b^{2}rp-pqc^{2}} \]
   
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7. Le point $A'$ est la deuxième intersection du cercle $\Gamma_{a}$ et de $A_{p}E$. Ses barycentriques sont: \[ A'\simeq\left(\begin{array}{c} p\left(p-q-r\right)\, a^{2}\\ q\left(p+r-q\right)a^{2}-2p\left(p-q\right)\, b^{2}-2pq\, c^{2}\\ r\left(p+q-r\right)a^{2}-2p\left(p-r\right)\, c^{2}-2rp\, b^{2} \end{array}\right) \]
   
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8. Écrivons les axes focaux de la conique sous la forme $U+k\,\overrightarrow{V\left(t\right)}$ avec $\overrightarrow{V\left(t\right)}\simeq1:t:-1-t$. Alors les $\overrightarrow{V}$ dirigent le gudule bissecteur du couple de droites $UA_{p},UA'$. On trouve: \[ Eq\left(t\right)\doteq\left(\left(q-r\right)a^{2}+p\left(c^{2}-b^{2}\right)\right)t^{2}+2\left(qa^{2}-pb^{2}\right)t+\left(q\left(a^{2}-c^{2}\right)+\left(r-p\right)b^{2}\right) \] Comme il se doit, cette équation est invariante par la transformation: \[ t\mapsto\dfrac{-\Sc\, t-b^{2}}{a^{2}t+\Sc} \] qui est l'homographie involutive entre paramètres correspondant au passage à l'orthopoint. On remarquera que les points fixes correspondent aux ombilics dont les paramètres sont: \[ t_{\Omega}=-\dfrac{\Sc}{a^{2}}\pm\dfrac{2\, iS}{a^{2}} \]
   
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9. Évidemment, on trouve les mêmes directions en utilisant les couples $UB_{p},UB'$ ou $UC_{p},UC'$. Ou encore en utilisant le gudule bissecteur du couple $BC,\, AG_{u}$ où $G_{u}$ est le point gudulique de la conique circonscrite (sa quatrième intersection avec le cercle circonscrit). Lorsque $P=$X(6), l'équation $Eq\left(t\right)$ est identiquement nulle: ce point est le perspecteur du \emph{cercle} circonscrit.
   
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10. Dans la base de données de Kimberling, on trouve 66 points $P$ en tout tels que le discriminant en $t$ soit un carré, autrement dit tels que $V_{1},V_{2}$ soient rationnels en $a,b,c$. Parmi eux, il y a le cercle ($P=$X(6)), huit paraboles ($P$ sur inSteiner) et 57 autres cas.
    
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11. L'étape suivante consiste à obtenir les centres $\omega_{1},\omega_{2}$ des deux cercles de base. Ils sont situés sur la médiatrice de $\left[A_{p},\, A'\right]$ et, respectivement, sur les droites $UV_{1}$ et $UV_{2}$. Lorsque l'un des points $\omega$ est à l'infini, la conique est une parabole. Sinon, on calcule les cercles $\gamma_{1}\left(\omega_{1},A'\right)$ et $\gamma_{2}\left(\omega_{2},\, A'\right)$, et leurs intersections avec, respectivement, les droites $UV_{2}$ et $UV_{1}$. Les discriminants de ces deux intersections droite-cercle sont opposés, rappelant que seuls deux des quatre foyers analytiques sont des points visibles.
    
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12. Parmi les 57 coniques bifocales, il y en a 37 pour lesquelles le deuxième discriminant n'est pas un carré. Il arrive que ce discriminant change de signe lorsque le triangle change de forme, avec, par exemple, des facteurs $\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$. En de tels cas, la nature de la conique change avec la forme du triangle. D'autres fois, les termes non carrés sont néanmoins définis, par exemple $a^{2}+b^{2}+c^{2}$, pour $P=$X(694).
    
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13. Pour les 20 cas "sans problèmes", nous avons ($Df$ direction focale visible, $Do$ direction orthogonale): \[ \begin{array}{rrrrrr} P & U & Do & Df & F_{1} & F_{2}\\ 7 & 3160 & 514 & 516 & 175 & 176\\ 101 & & 517 & 513 & 109\\ 106 & & 513 & 517\\ 281 & & 522 & 515 & 4\\ 294 & & 514 & 516 & 105\\ 644 & & 519 & 3667 & 100\\ 645 & & 740 & & 99\\ 651 & & 516 & 514 & 934\\ 666 & & & 812 & 927\\ 1017 & & 513 & 517\\ 1178 & & 512 & 511\\ 1783 & & 515 & 522 & 108\\ 1989 & & 523 & 30 & 265\\ 2311 & & 512 & 511 & 741\\ 2316 & & 513 & 517 & 106\\ 2338 & & 3900 & 971 & 103\\ 2341 & & 523 & 30 & 759\\ 3939 & & 518 & 3309 & 101\\ 4627\\ 4845 & & & & 2291 \end{array} \] Nous remarquons qu'un seul centre est nommé, alors qu'il existe 139 points $P$ dont le $cevadiv\left(X\left(2\right),P\right)$ est nommé.