Géométrie analytique
Avec GeGebra,
on peut se contenter de montrer que les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite (IJ).
Calculs
Je n'ai pas pu aboutir les calculs dans repère (O, I, J), j'utise donc un autre repère :
Choisir le point D à l'intersection de la parallèle à d1 passant par O et de la parallèle à (BC) passant par A.
Dans le repère (O, C, D), les coordonnées des points de la la figure sont :
O(0, 0) ; A (a, 1) ; B(b, 0) ; C(1, 0) ; I(b, p) et J(1, q). D'où vect(BA):(a-b, 1) et vect(CA):(a-1, 1)
Le parallélisme se traduit par la colinéarité des vecteurs :
vect(OI) = λ vect(CA) , d'où b = λ(a-1) et p = λ, soit p = b/(a-1) et I(b, b/(a-1)).
vect(OJ) = ν vect(BA), d'où 1 = ν(a-b) et q = ν, soit q = 1/(a-b) et J(1, 1/(a-b)).
La droite de coefficient directeur m passant par I a pour équation y - p = m(x-b).
Cette droite passe par J, si q - p = m(1-b) d'où m = (a-1-b)/[(a-b)(a-1)].
On vérifie que les coordonnées de A vérifient l'équation y - b/(a-1) = m(x-b) !
Démonstration par les angles inscrits
Soit O un point de [BC].
Par parallélisme des côtés : IOJ = BAC = α.
Soit les cercles circonscrits à IOB et JOC qui se recoupent en K.
Étudions les angles inscrits qui interceptent [OK] :
OIK = OBK et OJB = OCK, d'où OIK + OJK = OBK + OCK.
Les suppléments de ces sommes sont égaux, donc BKC = IOJ = α.
K est donc situé sur le cercle circonscrit à ABC.
Dans ce cercle, on a l'égalité des angles inscrits : ABK = ACK.
Montrons que K est aligné avec I et et J en calculant l'angle IKJ :
IKJ = IKB + BAC + CAJ = BOI + α + JOC = 180°, car B, O et C sont alignés.
Terminons en montant que A est aligné avec I et et J en calculant l'angle IAJ, en passant par la somme des angles de divers triangles :
IAJ = IAB + α + CAJ = 180° - (AIB + IBA) + α + 180° - (AJC + ACJ).
En ajoutant et retranchant les angles ABK = ACK :
IAJ = 180° - (AIB + IBA + ABK) + α + 180° - (AJC + ACJ - ACK).
IAJ = 180° - (AIB + IBK) + α + 180° - (KJC + JCK).
D'où IAJ = IKB + BKC + CKJ = 180° : I, A et J sont alignés.
PS : bug bbcode lien
figure Alignement_sommet_triangle.ggb ?
Amicalement
Patrice
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