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Équation cartésienne d'une bissectrice

Envoyé par linsday2000 
Équation cartésienne d'une bissectrice
09 mars 2012, 03:41
Bonsoir, j'aimerais vous questionner comment trouver les équations cartésiennes des bissectrices des droites.
Je connais la méthode de la pente et l'intersection des droites, cependant, dans cet exercice lors du corrigé je ne sais pas sur quel concept ils s'appuient ??
Voici l'énoncé :
On suppose le plan muni d'un repère orthonormé. Former les équations cartésiennes des bissectrices des droites
$${\mathcal{D}}_1 :3x + 4y - 7 = 0\text{ et }{\mathcal{D}}_2 :5x - 12y + 7 = 0$$
Et voici le corrigé : [mp.cpgedupuydelome.fr]
[attachment 22840 linsday.png]
Bonne soirée
Re: equation cartesienne de bissectrice de droite
09 mars 2012, 06:50
avatar
Bonjour lindsay2000.

Ils utilisent la caractérisation suivante de la paire des bissectrices : ensemble des points équidistants des deux droites sécantes données ; ensuite ils appliquent le calcul de la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé.

Bruno
Re: equation cartesienne de bissectrice de droite
09 mars 2012, 11:21
.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/09/2012 05:39 par pldx1.
Re: equation cartesienne de bissectrice de droite
09 mars 2012, 12:07
avatar
Bonjour

Soit $ A_{1}A_{2}A_{3} $ un triangle avec $ \left\|\begin{array}{cc}A_{2}A_{3}\ : & D_{1}(x,y)\equiv a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\\\\ A_{3}A_{1}\ : & D_{2}(x,y)\equiv a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\\\\ A_{1}A_{2}\ : & D_{3}(x,y)\equiv a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0\end{array}\right\|. $

Une équation de la bissectrice intérieure issue de $A_1$ est donnée par :
$ \boxed{\ \mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}a_{1}& b_{1}\\\ a_{2}& b_{2}\end{array}\right|\cdot\frac{D_{2}(x,y)}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}a_{1}& b_{1}\\\ a_{3}& b_{3}\end{array}\right|\cdot\frac{D_{3}(x,y)}{\sqrt{a_{3}^{2}+b_{3}^{2}}}=0\ } .$

Un exemple : Soit $ABC$ un triangle tel que $ \left\|\begin{array}{cc}AB\ : & 4x-3y-1=0\\\\ AC\ : & 3x+4y-7=0\\\\ BC\ : & 7x+y-33=0\end{array}\right\| .$
Une équation de la bissectrice intérieure issue de $A$ est donnée par :
$ \mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|\cdot\frac{4x-3y-1}{5}+\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 3 & 4\end{array}\right|\cdot\frac{3x+4y-7}{5}=0 $
soit
$ x-7y+6=0.$
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
09 mars 2012, 19:44
c'est bon merci énormement ,vous m'avez bbien aidé à comprendre mieux.
Bonne soirée
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
11 mars 2012, 01:55
Il n'y a pas de bissectrices intérieures ou extérieures dans le problème de linsday2000.
Pourquoi donc en parler, c'est inutile!
On écrit seulement l'égalité:$\dfrac{(3x+4y-7)^2}{3^2+4^2}-\dfrac{(5x+12y+7)^2}{5^2+12^2}=0$ c'est à dire:
$(5^2+12^2)(3x+4y-7)^2 - (3^2+4^2)(5x+12y+7)^2 = 0$ et on factorise cette différence de deux carrés et miracle tout se passe dans l'anneau $\Z[x,y]$.
Amicalement
Pappus
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
11 mars 2012, 08:10
avatar
Citation
Pappus ...
et miracle tout se passe dans l'anneau $ \mathbb{Z}[x,y]$.
Faut bien reconnaître que les triplets pythagoriciens $(3,4,5)$ et $(5,12,13)$ aident la mayonnaise à prendre.

Citation
d'Alexandrie
Il n'y a pas de bissectrices intérieures ou extérieures dans le problème de linsday2000.
C'est exact, mais Bouzar a introduit un triangle ; du coup il y a bien des bissectrices intérieures et extérieures en chaque sommet du triangle. C'est un prolongement non dénué d'intérêt du problème posé.

Bruno
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
11 mars 2012, 11:50
Effectivement Bouzar pose une autre question intéressante mais qui n'a rien à voir avec le problème de linnsday2000.
Il me semble avoir déjà parlé du problème de Bouzar dans un autre fil et cela d'une façon beaucoup plus générale.
Comment trouver non seulement les équations des bissectrices intérieure ou extérieures mais aussi celles de tous les objets géométriques associés au triangle, hauteurs, médianes, symédianes, cercle circonscrit, cercles inscrit ou exinscrits, ellipses de Steiner, longueurs des côtés, aire du triangle, rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, etc, etc... en fonction de la matrice $\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}$, le repère choisi étant orthonormé.
Amicalement
Pappus
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
14 mars 2012, 20:01
Bonsoir,

Voilà un début:

\begin{itemize}
\item $D_1$ a pour équation $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ dans un repère orthonormé, et permutation circulaire, expression qui sera désormais sous entendue, vue sa prolifération naturelle.
$D_1$, $D_2$ et $D_3$ définissent un triangle $A_1A_2A_3$ ($A_1=D_2 \cap D_3$) dont voici quelques éléments:

\item On pose $D=(a_1b_2 - a_2b_1)(a_2b_3 - a_3b_2)(a_3b_1 - a_1b_3)$

\item $A_1(x_1;y_1)$ avec $x_1=\dfrac{b_2c_3 - b_3c_2}{a_2b_3 - a_3b_2}$ et $y_1=\dfrac{a_3c_2 - a_2c_3}{a_2b_3 - a_3b_2}$

\item Centre de gravité $G\left(\dfrac{NumGx}{D};\dfrac{NumGy}{D}\right)$ avec:
$NumGx=-c_3a_1^2b_2^2b_3+c_2a_1^2b_2b_3^2-2c_2a_1a_2b_1b_3^2+2c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$+2c_3a_1a_3b_1b_2^2-2c_1a_1a_3b_2^2b_3+c_3a_2^2b_1^2b_3-c_1a_2^2b_1b_3^2-2c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$+2c_2a_2a_3b_1^2b_3-c_2a_3^2b_1^2b_2+c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumGy=2c_3a_1^2a_2b_2b_3+c_2a_1^2a_2b_3^2-c_3a_1^2a_3b_2^2-2c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$-2c_3a_1a_2^2b_1b_3-c_1a_1a_2^2b_3^2 +2c_2a_1a_3^2b_1b_2+c_1a_1a_3^2b_2^2+c_3a_2^2a_3b_1^2$
$+2c_1a_2^2a_3b_1b_3-c_2a_2a_3^2b_1^2 -2c_1a_2a_3^2b_1b_2$

\item Hauteur issue de $A_1$ : $b_1 x -a_1 y + \dfrac{-a_1a_2c_3+ a_1a_3c_2-b_1b_2c_3+b_1b_3c_2}{a_2b_3-a_3b_2}=0$

\item Orthocentre $H\left(\dfrac{NumHx}{D};\dfrac{NumHy}{D}\right)$ avec:
$NumHx=c_3a_1^2a_2a_3b_2 - c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3$
$ + c_2a_1a_2a_3^2b_1 - c_1a_1a_2a_3^2b_2 - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_3b_1b_2^2- c_1a_1a_3b_2^2b_3 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$NumHy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_3b_2b_3 - c_3a_1a_2^2b_1b_3 + c_2a_1a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_1b_1b_2^2b_3 - c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ - c_3a_2b_1^2b_2b_3 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 + c_2a_3b_1^2b_2b_3 - c_1a_3b_1b_2^2b_3$

\item Milieu de $[A_2A_3]$ :
$x_{23}=\dfrac{-a_1b_1b_2c_3 + a_3b_1^2c_2 + a_2b_1^2c_3 - a_1b_1b_3c_2 + 2a_1b_2b_3c_1 - a_2b_1b_3c_1 - a_3b_1b_2c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$
$y_{23}=\dfrac{a_1^2b_2c_3 + a_1^2b_3c_2 - a_1a_2b_1c_3 - a_1a_2b_3c_1 - a_1a_3b_1c_2 - a_1a_3b_2c_1 + 2a_2a_3b_1c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$

\item Médiatrice de $[A_2A_3]$ :
$b_1 x -a_1 y + \dfrac{Num}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}=0$ avec:
$Num=a_1^3b_2c_3 - a_3b_1^3c_2 - a_2b_1^3c_3 + a_1^3b_3c_2 - a_1^2a_2b_1c_3 - a_1^2a_2b_3c_1$
$ - a_1^2a_3b_1c_2 - a_1^2a_3b_2c_1 + a_1b_1^2b_2c_3 + a_1b_1^2b_3c_2 + a_2b_1^2b_3c_1$
$ + a_3b_1^2b_2c_1 + 2a_1a_2a_3b_1c_1 - 2a_1b_1b_2b_3c_1$

\item Centre du cercle circonscrit $O\left(\dfrac{NumOx}{D};\dfrac{NumOy}{D}\right)$ avec:
$NumOx=-c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1^2b_2^2b_3 + c_2a_1^2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_2^2a_3b_1 - c_1a_1a_2^2a_3b_3 - c_2a_1a_2a_3^2b_1 + c_1a_1a_2a_3^2b_2$
$ - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2 - c_1a_1a_3b_2^2b_3$
$ + c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$ - c_2a_3^2b_1^2b_2 + c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumOy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 + c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 - c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ - c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 + c_1a_1a_3^2b_2^2 - c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - c_1a_2b_1b_2b_3^2 - c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$

\item Doite d'Euler:
$(a_1a_2b_3 + a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 + 3b_1b_2b_3)x-(3a_1a_2a_3 + a_1b_2b_3 + a_2b_1b_3 + a_3b_1b_2)y+\dfrac{Num}{D}=0$ avec:
$Num=2c_3a_1^3a_2^2a_3b_2b_3 + c_2a_1^3a_2^2a_3b_3^2 - c_3a_1^3a_2a_3^2b_2^2$
$ - 2c_2a_1^3a_2a_3^2b_2b_3 + c_3a_1^3a_2b_2^2b_3^2 - c_2a_1^3a_3b_2^2b_3^2 - 2c_3a_1^2a_2^3a_3b_1b_3$
$ - c_1a_1^2a_2^3a_3b_3^2 + c_2a_1^2a_2^2b_1b_3^3 - c_1a_1^2a_2^2b_2b_3^3 + 2c_2a_1^2a_2a_3^3b_1b_2$
$ + c_1a_1^2a_2a_3^3b_2^2 - c_3a_1^2a_3^2b_1b_2^3 + c_1a_1^2a_3^2b_2^3b_3 + c_3a_1^2b_1b_2^3b_3^2$
$ - c_2a_1^2b_1b_2^2b_3^3 + c_3a_1a_2^3a_3^2b_1^2 + 2c_1a_1a_2^3a_3^2b_1b_3 - c_3a_1a_2^3b_1^2b_3^2$
$ - c_2a_1a_2^2a_3^3b_1^2-2c_1a_1a_2^2a_3^3b_1b_2 + 2c_2a_1a_2b_1^2b_2b_3^3 - c_1a_1a_2b_1b_2^2b_3^3$
$ + c_2a_1a_3^3b_1^2b_2^2 - 2c_3a_1a_3b_1^2b_2^3b_3 + 2c_1a_1a_3b_1b_2^3b_3^2 + c_1a_2^3a_3b_1^2b_3^2$ $+ c_3a_2^2a_3^2b_1^3b_2 - c_2a_2^2a_3^2b_1^3b_3 - c_3a_2^2b_1^3b_2b_3^2 + c_1a_2^2b_1^2b_2b_3^3$
$ - c_1a_2a_3^3b_1^2b_2^2 + 2c_3a_2a_3b_1^3b_2^2b_3 - 2c_2a_2a_3b_1^3b_2b_3^2 + c_2a_3^2b_1^3b_2^2b_3$
$ - c_1a_3^2b_1^2b_2^3b_3$

\item Longueurs des côtés:
$A_2A_3^2=\dfrac{(a_1^2 + b_1^2)(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{(a_3b_1 - a_1b_3)^2(a_1b_2 - a_2b_1)^2}$

\item Point de Lemoine $K\left(\dfrac{NumKx}{DenK};\dfrac{NumKy}{DenK}\right)$ avec:
$NumKx=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 + c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ + c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 - c_1a_1a_3^2b_2^2 + c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 - 2c_1a_1b_2^2b_3^2 - c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2$
$ + c_1a_2a_3^2b_1b_2 + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - 2c_2a_2b_1^2b_3^2 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 - 2c_3a_3b_1^2b_2^2$ $+ c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$
$NumKy=-2c_3a_1^2a_2^2b_3 + c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - 2c_2a_1^2a_3^2b_2$
$ - c_3a_1^2b_2^2b_3 - c_2a_1^2b_2b_3^2 + c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3 + c_2a_1a_2a_3^2b_1$
$ + c_1a_1a_2a_3^2b_2 + c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2$
$ + c_1a_1a_3b_2^2b_3 - 2c_1a_2^2a_3^2b_1 - c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 + c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$ + c_2a_2a_3b_1^2b_3 - c_2a_3^2b_1^2b_2 - c_1a_3^2b_1b_2^2$
$DenK=2(a_1^2a_2^2b_3^2 - a_1^2a_2a_3b_2b_3 + a_1^2a_3^2b_2^2 + a_1^2b_2^2b_3^2 - a_1a_2^2a_3b_1b_3$
$ - a_1a_2a_3^2b_1b_2 - a_1a_2b_1b_2b_3^2 - a_1a_3b_1b_2^2b_3 + a_2^2a_3^2b_1^2 + a_2^2b_1^2b_3^2$
$ - a_2a_3b_1^2b_2b_3 + a_3^2b_1^2b_2^2)$

\item Aire du triangle $A_1A_2A_3$ (au signe près): $\dfrac{(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{2D}$

\end{itemize}

Cordialement,

Rescassol
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
14 mars 2012, 21:01
Mon cher Rescassol
Il faudrait que tu nous expliques comment tu t'y es pris pour nous sortir ces expressions aussi rébarbatives même si elles sont probablement vraies.
En tout cas ce n'est pas moi qui dira le contraire.
Amicalement
Pappus
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
14 mars 2012, 21:31
Bonsoir,

Le plus simplement du monde, en utilisant les définitions, sauf que c'est Matlab
qui a fait les calculs. Le fichier ci-joint est suffisamment commenté:
[attachment 22894 Cartesiennes.zip]

Cordialement,

Rescassol
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Cartesiennes.zip (1.1 KB)
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
15 mars 2012, 10:04
Bonjour,

La médiane $(A_1G)$:
$(-a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + 2a_2a_3b_1)x + (a_2b_1b_3 - 2a_1b_2b_3 + a_3b_1b_2)y + (-a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2) = 0$

La symédiane $(A_1K)$ : $u_1x+v_1y+w_1=0$ avec:
$u_1=- 2b_1a_2^2a_3^2 + a_1a_2^2a_3b_3 - b_1a_2^2b_3^2 + a_1a_2a_3^2b_2 + a_1a_2b_2b_3^2 -b_1a_3^2b_2^2 + a_1a_3b_2^2b_3$
$v_1=- b_1a_2^2a_3b_3 + a_1a_2^2b_3^2 - b_1a_2a_3^2b_2 - b_1a_2b_2b_3^2 + a_1a_3^2b_2^2- b_1a_3b_2^2b_3 + 2a_1b_2^2b_3^2$
$w_1=- b_1c_3a_2^2a_3 + a_1c_3a_2^2b_3 - b_1c_2a_2a_3^2 - b_1c_2a_2b_3^2 + a_1c_2a_3^2b_2- b_1c_3a_3b_2^2 + a_1c_3b_2^2b_3 + a_1c_2b_2b_3^2$

Centre du cercle d'Euker: $\omega \left(\dfrac{Num\omega x}{D};\dfrac{Num\omega y}{D}\right)$ avec:
$Num\omega x=c_3a_1^2a_2a_3b_2-c_2a_1^2a_2a_3b_3-c_3a_1^2b_2^2b_3+c_2a_1^2b_2b_3^2$
$-c_3a_1a_2^2a_3b_1+c_1a_1a_2^2a_3b_3+c_2a_1a_2a_3^2b_1-c_1a_1a_2a_3^2b_2$
$-3c_2a_1a_2b_1b_3^2+3c_1a_1a_2b_2b_3^2+3c_3a_1a_3b_1b_2^2-3c_1a_1a_3b_2^2b_3$
$+c_3a_2^2b_1^2b_3-c_1a_2^2b_1b_3^2-3c_3a_2a_3b_1^2b_2+3c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$-c_2a_3^2b_1^2b_2+c_1a_3^2b_1b_2^2$
$Num\omega y=3c_3a_1^2a_2b_2b_3+c_2a_1^2a_2b_3^2-c_3a_1^2a_3b_2^2-3c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$-3c_3a_1a_2^2b_1b_3-c_1a_1a_2^2b_3^2+3c_2a_1a_3^2b_1b_2+c_1a_1a_3^2b_2^2$
$+c_3a_1b_1b_2^2b_3-c_2a_1b_1b_2b_3^2+c_3a_2^2a_3b_1^2+3c_1a_2^2a_3b_1b_3$
$-c_2a_2a_3^2b_1^2-3c_1a_2a_3^2b_1b_2-c_3a_2b_1^2b_2b_3+c_1a_2b_1b_2b_3^2$
$+c_2a_3b_1^2b_2b_3-c_1a_3b_1b_2^2b_3$

Cordialement,

Rescassol

PS:Ci-joint deux fonctions annexes que j'avais oublié de fournir : [attachment 22898 Fonctions.zip]
Remarque: la fonction d'intersection de deux droites est la même en complexes ou en cartésiennes.
paul18
Re: equation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 00:11
Bonsoir

sujet plutôt ancien mais qui m'intéresse ... question bète mais dans la formule de Bouzar, comment définit-on le signe de la matrice ... je n'ai pas trouvé

Merci
Paul
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 00:48
avatar
Bonsoir
$\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|=7 \times (-3)- 1 \times 4 =-25<0$ donc
$\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|=-1.$
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 01:41
Je fais l'exo de Pappus:

J'ai une droite $d:=[a\times abscisse + b\times ordonnee + c=0]$ et un point $M:=(x,y)$

Je cherche la distance de $M$ à $d$. Je sais que le vecteur $u:=(a,b)$ est normal à $d$.
Je cherche un point $K$ sur $d$ tel que $\overrightarrow{KM}$ est colinéaire à $u$.
Mes inconnues sont donc trois nombres $x_K,y_K,r$ dont j'exige que $(x-x_K)=ar$ et $(y-y_K)=br$ et $ax_K+by_K+c=0$.

:X :X du calcul..

Bon, en même temps, tout se ramène à la recherche de $r$, via $a(x-ar) + b(y-br)+c=0$, ce qui n'est pas trop méchant... $ax+by+c = (a^2 + b^2)r$. Or $KM^2 = r^2(a^2+b^2)$ (ie $r^2||u||^2$). Donc $KM^2 = r(ax+by+c)$ donc effectivement $KM^2 = \frac{(ax+by+c)^2}{(a^2 + b^2)}=(dist(M,d))^2$ (je vais me coucher un peu plus cultivé)
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 01:43
Ce qui est rigolo c'est que du coup, $dist(M,d)$ est proportionnel à** la valeur absolue de $ax_M+by_M+c$

** Merci Bruno
Re: equation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 08:29
avatar
Citation
Christophe :
$ dist(M,d)$ est proportionnel à $ ax_M+by_M+c$

Tu es sûr ? Depuis quand $|x|$ est proportionnel à $x$ :D ?



Bruno
Bouzar écrivait: [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopeir un message précédent. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Bonjour
C'est juste le signe du déterminant alors ? ... Merci pour la réponse.
Paul
Re: Équation cartésienne d'une bissectrice
17 novembre 2013, 11:43
Oui, la notation entre barre verticale c'est pour les déterminants en général.
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 11:49
Oups, oui, merci Bruno, j'ai ajouté un tag dans le post.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 12:06
Bon, à 2H du mat avec le nez dans le guidon.. Mais je dresse un petit bilan de ce que "j'ai appris" à cette occasion:

Si $\sum a_i^2 = \sum b_i^2=1$ alors le polynôme $Q:=(c+\sum a_iX_i)^2- (d+\sum b_iX_i)^2$ est le carré d'un polynôme qui, en les $X_i$, est de degré local au plus 1 pour chaque $X_i$

(ou alors $Q$ est lui-même de degré local 1 en chaque $X_i$, mais j'y crois moins). C'est marrant ça...

Plaçons nous dans un $\C$-Hilbert. Soient $u,v$ des vecteurs de norme 1. C'est "trivial" qu'il existe une forme linéaire $g$ telle que:

[$\forall x: (g(x))^2 = (u+v|x) \times (u-v|x)$] ou [$\forall x: (g(x))= (u+v|x) \times (u-v|x)$]?


(Peut-être que je délire à 12H du matin :D )
Ok j'arrive à calculer l'eq. de la bissectrice (bien que j'ai du mal à comprendre comme l'eq. d'une droite peut faire le distinguo entre bissectrice extérieure et intérieure)

Dans l'étape suivante, je cherche à déterminer les coordonnées du point situé à la distance d de D1 (et donc D2), mais je me retrouve systématiquement à l'extérieur du triangle ... il y a quelque chose que je n'ai pas saisi ...

Quelle est la généralité à la méthode de Bouzar ? il est parlé d'un lien dans un des fils ...

Merci par avance

Paul
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
17 novembre 2013, 22:49
AAh, oui au fait, précision: je délirais complètement tout à l'heure. Ce n'est ni linéaire, ni le carré d'un truc linéaire. C'est bêtement le produit de deux trucs linéaires (a²-b² = (a-b)(a+b) ) et c'est bien pour ça que ça donne une réunion de deux hyperplans bissecteurs :D

Je suis vraiment irrécupérable en calcul, si ça devait être confirmé...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
paul18 écrivait: [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
En fait ça marche si je mets que la distance à la droite est égale à -d et non d dans 2 cas sur 4 ... pourquoi ?
- cas 1 : angle vers le haut -> +d
- cas 2 : angle vers la droite -> +d
- cas 3 : angle vers le bas -> -d
- cas 4 : angle vers la gauche -> -d

Paul



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/11/2013 01:41 par AD.
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
18 novembre 2013, 09:23
avatar
Bonjour paul18.

Citation

Ok j'arrive à calculer l'eq. de la bissectrice (bien que j'ai du mal à comprendre comme l'eq. d'une droite peut faire le distinguo entre bissectrice extérieure et intérieure)

La méthode de détermination de l'équation cartésienne repose sur l'égalité des distances d'un point des bissectrices d'une paire de droites concourantes. Le résultat obtenu est l'équation de la conique impropre constituée de la réunion des deux bissectrices. Parmi les bissectrices de deux droites le distinguo entre bissectrice extérieure et bissectrice intérieure n'a aucun sens. C'est seulement quand on parle de demi-droites de même origine qu'il prend du sens :

La bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites $(AB)$ et $(AC)$ est l'axe de la symétrie qui échange $(AB)$ et $(AC)$ ; ce n'est pas l'ensemble des points du plan équidistant de ces deux droites. Quant à la bissectrice extérieure de cet angle, c'est la perpendiculaire en $A$ à la bissectrice intérieure.

Bruno
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
18 novembre 2013, 22:41
Citation
Bruno
Parmi les bissectrices de deux droites le distinguo entre bissectrice extérieure et bissectrice intérieure n'a aucun sens. C'est seulement quand on parle de demi-droites de même origine qu'il prend du sens :

je suis bien d'accord, .... d'où mon interrogation à la vue d'une eq. de droite ...

D'un point de vue purement analytique, comment savoir quand employer $+d$ ou $-d$ ? je peux utiliser le produit scalaire pour calculer l'angle, mais y a t'il une autre approche plus simple dès le calcul de : $ (\pm)d = \frac{a \centerdot x + b \centerdot y + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ? un autre déterminant ?

Merci

paul
mathprépa
Re: équation cartesienne de bissectrice de droite
19 novembre 2013, 12:18
Du temps de ma jeunesse folle, on apprenait que si l'union de deux droites issues de $O$ a pour équation $$P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2=0,$$ alors l'union des bissectrices a pour équation $$x\partial P/\partial y=y\partial P/\partial x$$

profCPGE
Re: Équation cartésienne d'une bissectrice
19 novembre 2013, 16:31
je n'ai pas été clair : je cherche à trouver un point sur la bissectrice intérieure au triangle, point situé à une distance $d$ des 2 droites concourantes ... selon le cas, il faut que utiliser $+d$ ou $-d$ ... mais comment généraliser ?

Paul
Re: Équation cartésienne d'une bissectrice
19 novembre 2013, 22:27
j'aurais aimé (pour ma culture perso) savoir s'il existait une expression générale ; dans ce cas particulier, j'ai simplement introduit une condition d'angle (via un produit scalaire) pour savoir si j'utilise $+d$ ou $-d$ ... mais je trouve pas ça forcement élégant

Merci pour ces infos forts utiles

Paul
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