Équation cartésienne d'une bissectrice
dans Géométrie
Bonsoir, j'aimerais vous questionner comment trouver les équations cartésiennes des bissectrices des droites.
Je connais la méthode de la pente et l'intersection des droites, cependant, dans cet exercice lors du corrigé je ne sais pas sur quel concept ils s'appuient ??
Voici l'énoncé :
On suppose le plan muni d'un repère orthonormé. Former les équations cartésiennes des bissectrices des droites
$${\mathcal{D}}_1 :3x + 4y - 7 = 0\text{ et }{\mathcal{D}}_2 :5x - 12y + 7 = 0$$
Et voici le corrigé : http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?numExo=1921
Je connais la méthode de la pente et l'intersection des droites, cependant, dans cet exercice lors du corrigé je ne sais pas sur quel concept ils s'appuient ??
Voici l'énoncé :
On suppose le plan muni d'un repère orthonormé. Former les équations cartésiennes des bissectrices des droites
$${\mathcal{D}}_1 :3x + 4y - 7 = 0\text{ et }{\mathcal{D}}_2 :5x - 12y + 7 = 0$$
Et voici le corrigé : http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?numExo=1921
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Réponses
Ils utilisent la caractérisation suivante de la paire des bissectrices : ensemble des points équidistants des deux droites sécantes données ; ensuite ils appliquent le calcul de la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé.
Bruno
Soit $ A_{1}A_{2}A_{3} $ un triangle avec $ \left\|\begin{array}{cc}A_{2}A_{3}\ : & D_{1}(x,y)\equiv a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\\\\ A_{3}A_{1}\ : & D_{2}(x,y)\equiv a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\\\\ A_{1}A_{2}\ : & D_{3}(x,y)\equiv a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0\end{array}\right\|. $
Une équation de la bissectrice intérieure issue de $A_1$ est donnée par :
$ \boxed{\ \mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}a_{1}& b_{1}\\\ a_{2}& b_{2}\end{array}\right|\cdot\frac{D_{2}(x,y)}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}a_{1}& b_{1}\\\ a_{3}& b_{3}\end{array}\right|\cdot\frac{D_{3}(x,y)}{\sqrt{a_{3}^{2}+b_{3}^{2}}}=0\ } .$
Un exemple : Soit $ABC$ un triangle tel que $ \left\|\begin{array}{cc}AB\ : & 4x-3y-1=0\\\\ AC\ : & 3x+4y-7=0\\\\ BC\ : & 7x+y-33=0\end{array}\right\| .$
Une équation de la bissectrice intérieure issue de $A$ est donnée par :
$ \mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|\cdot\frac{4x-3y-1}{5}+\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 3 & 4\end{array}\right|\cdot\frac{3x+4y-7}{5}=0 $
soit
$ x-7y+6=0.$
Bonne soirée
Pourquoi donc en parler, c'est inutile!
On écrit seulement l'égalité:$\dfrac{(3x+4y-7)^2}{3^2+4^2}-\dfrac{(5x+12y+7)^2}{5^2+12^2}=0$ c'est à dire:
$(5^2+12^2)(3x+4y-7)^2 - (3^2+4^2)(5x+12y+7)^2 = 0$ et on factorise cette différence de deux carrés et miracle tout se passe dans l'anneau $\Z[x,y]$.
Amicalement
Pappus
C'est exact, mais Bouzar a introduit un triangle ; du coup il y a bien des bissectrices intérieures et extérieures en chaque sommet du triangle. C'est un prolongement non dénué d'intérêt du problème posé.
Bruno
Il me semble avoir déjà parlé du problème de Bouzar dans un autre fil et cela d'une façon beaucoup plus générale.
Comment trouver non seulement les équations des bissectrices intérieure ou extérieures mais aussi celles de tous les objets géométriques associés au triangle, hauteurs, médianes, symédianes, cercle circonscrit, cercles inscrit ou exinscrits, ellipses de Steiner, longueurs des côtés, aire du triangle, rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, etc, etc... en fonction de la matrice $\begin{bmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}$, le repère choisi étant orthonormé.
Amicalement
Pappus
Voilà un début:
\begin{itemize}
\item $D_1$ a pour équation $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ dans un repère orthonormé, et permutation circulaire, expression qui sera désormais sous entendue, vue sa prolifération naturelle.
$D_1$, $D_2$ et $D_3$ définissent un triangle $A_1A_2A_3$ ($A_1=D_2 \cap D_3$) dont voici quelques éléments:
\item On pose $D=(a_1b_2 - a_2b_1)(a_2b_3 - a_3b_2)(a_3b_1 - a_1b_3)$
\item $A_1(x_1;y_1)$ avec $x_1=\dfrac{b_2c_3 - b_3c_2}{a_2b_3 - a_3b_2}$ et $y_1=\dfrac{a_3c_2 - a_2c_3}{a_2b_3 - a_3b_2}$
\item Centre de gravité $G\left(\dfrac{NumGx}{D};\dfrac{NumGy}{D}\right)$ avec:
$NumGx=-c_3a_1^2b_2^2b_3+c_2a_1^2b_2b_3^2-2c_2a_1a_2b_1b_3^2+2c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$+2c_3a_1a_3b_1b_2^2-2c_1a_1a_3b_2^2b_3+c_3a_2^2b_1^2b_3-c_1a_2^2b_1b_3^2-2c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$+2c_2a_2a_3b_1^2b_3-c_2a_3^2b_1^2b_2+c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumGy=2c_3a_1^2a_2b_2b_3+c_2a_1^2a_2b_3^2-c_3a_1^2a_3b_2^2-2c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$-2c_3a_1a_2^2b_1b_3-c_1a_1a_2^2b_3^2 +2c_2a_1a_3^2b_1b_2+c_1a_1a_3^2b_2^2+c_3a_2^2a_3b_1^2$
$+2c_1a_2^2a_3b_1b_3-c_2a_2a_3^2b_1^2 -2c_1a_2a_3^2b_1b_2$
\item Hauteur issue de $A_1$ : $b_1 x -a_1 y + \dfrac{-a_1a_2c_3+ a_1a_3c_2-b_1b_2c_3+b_1b_3c_2}{a_2b_3-a_3b_2}=0$
\item Orthocentre $H\left(\dfrac{NumHx}{D};\dfrac{NumHy}{D}\right)$ avec:
$NumHx=c_3a_1^2a_2a_3b_2 - c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3$
$ + c_2a_1a_2a_3^2b_1 - c_1a_1a_2a_3^2b_2 - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_3b_1b_2^2- c_1a_1a_3b_2^2b_3 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$NumHy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_3b_2b_3 - c_3a_1a_2^2b_1b_3 + c_2a_1a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_1b_1b_2^2b_3 - c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ - c_3a_2b_1^2b_2b_3 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 + c_2a_3b_1^2b_2b_3 - c_1a_3b_1b_2^2b_3$
\item Milieu de $[A_2A_3]$ :
$x_{23}=\dfrac{-a_1b_1b_2c_3 + a_3b_1^2c_2 + a_2b_1^2c_3 - a_1b_1b_3c_2 + 2a_1b_2b_3c_1 - a_2b_1b_3c_1 - a_3b_1b_2c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$
$y_{23}=\dfrac{a_1^2b_2c_3 + a_1^2b_3c_2 - a_1a_2b_1c_3 - a_1a_2b_3c_1 - a_1a_3b_1c_2 - a_1a_3b_2c_1 + 2a_2a_3b_1c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$
\item Médiatrice de $[A_2A_3]$ :
$b_1 x -a_1 y + \dfrac{Num}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}=0$ avec:
$Num=a_1^3b_2c_3 - a_3b_1^3c_2 - a_2b_1^3c_3 + a_1^3b_3c_2 - a_1^2a_2b_1c_3 - a_1^2a_2b_3c_1$
$ - a_1^2a_3b_1c_2 - a_1^2a_3b_2c_1 + a_1b_1^2b_2c_3 + a_1b_1^2b_3c_2 + a_2b_1^2b_3c_1$
$ + a_3b_1^2b_2c_1 + 2a_1a_2a_3b_1c_1 - 2a_1b_1b_2b_3c_1$
\item Centre du cercle circonscrit $O\left(\dfrac{NumOx}{D};\dfrac{NumOy}{D}\right)$ avec:
$NumOx=-c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1^2b_2^2b_3 + c_2a_1^2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_2^2a_3b_1 - c_1a_1a_2^2a_3b_3 - c_2a_1a_2a_3^2b_1 + c_1a_1a_2a_3^2b_2$
$ - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2 - c_1a_1a_3b_2^2b_3$
$ + c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$ - c_2a_3^2b_1^2b_2 + c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumOy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 + c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 - c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ - c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 + c_1a_1a_3^2b_2^2 - c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - c_1a_2b_1b_2b_3^2 - c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$
\item Doite d'Euler:
$(a_1a_2b_3 + a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 + 3b_1b_2b_3)x-(3a_1a_2a_3 + a_1b_2b_3 + a_2b_1b_3 + a_3b_1b_2)y+\dfrac{Num}{D}=0$ avec:
$Num=2c_3a_1^3a_2^2a_3b_2b_3 + c_2a_1^3a_2^2a_3b_3^2 - c_3a_1^3a_2a_3^2b_2^2$
$ - 2c_2a_1^3a_2a_3^2b_2b_3 + c_3a_1^3a_2b_2^2b_3^2 - c_2a_1^3a_3b_2^2b_3^2 - 2c_3a_1^2a_2^3a_3b_1b_3$
$ - c_1a_1^2a_2^3a_3b_3^2 + c_2a_1^2a_2^2b_1b_3^3 - c_1a_1^2a_2^2b_2b_3^3 + 2c_2a_1^2a_2a_3^3b_1b_2$
$ + c_1a_1^2a_2a_3^3b_2^2 - c_3a_1^2a_3^2b_1b_2^3 + c_1a_1^2a_3^2b_2^3b_3 + c_3a_1^2b_1b_2^3b_3^2$
$ - c_2a_1^2b_1b_2^2b_3^3 + c_3a_1a_2^3a_3^2b_1^2 + 2c_1a_1a_2^3a_3^2b_1b_3 - c_3a_1a_2^3b_1^2b_3^2$
$ - c_2a_1a_2^2a_3^3b_1^2-2c_1a_1a_2^2a_3^3b_1b_2 + 2c_2a_1a_2b_1^2b_2b_3^3 - c_1a_1a_2b_1b_2^2b_3^3$
$ + c_2a_1a_3^3b_1^2b_2^2 - 2c_3a_1a_3b_1^2b_2^3b_3 + 2c_1a_1a_3b_1b_2^3b_3^2 + c_1a_2^3a_3b_1^2b_3^2$ $+ c_3a_2^2a_3^2b_1^3b_2 - c_2a_2^2a_3^2b_1^3b_3 - c_3a_2^2b_1^3b_2b_3^2 + c_1a_2^2b_1^2b_2b_3^3$
$ - c_1a_2a_3^3b_1^2b_2^2 + 2c_3a_2a_3b_1^3b_2^2b_3 - 2c_2a_2a_3b_1^3b_2b_3^2 + c_2a_3^2b_1^3b_2^2b_3$
$ - c_1a_3^2b_1^2b_2^3b_3$
\item Longueurs des côtés:
$A_2A_3^2=\dfrac{(a_1^2 + b_1^2)(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{(a_3b_1 - a_1b_3)^2(a_1b_2 - a_2b_1)^2}$
\item Point de Lemoine $K\left(\dfrac{NumKx}{DenK};\dfrac{NumKy}{DenK}\right)$ avec:
$NumKx=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 + c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ + c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 - c_1a_1a_3^2b_2^2 + c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 - 2c_1a_1b_2^2b_3^2 - c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2$
$ + c_1a_2a_3^2b_1b_2 + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - 2c_2a_2b_1^2b_3^2 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 - 2c_3a_3b_1^2b_2^2$ $+ c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$
$NumKy=-2c_3a_1^2a_2^2b_3 + c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - 2c_2a_1^2a_3^2b_2$
$ - c_3a_1^2b_2^2b_3 - c_2a_1^2b_2b_3^2 + c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3 + c_2a_1a_2a_3^2b_1$
$ + c_1a_1a_2a_3^2b_2 + c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2$
$ + c_1a_1a_3b_2^2b_3 - 2c_1a_2^2a_3^2b_1 - c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 + c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$ + c_2a_2a_3b_1^2b_3 - c_2a_3^2b_1^2b_2 - c_1a_3^2b_1b_2^2$
$DenK=2(a_1^2a_2^2b_3^2 - a_1^2a_2a_3b_2b_3 + a_1^2a_3^2b_2^2 + a_1^2b_2^2b_3^2 - a_1a_2^2a_3b_1b_3$
$ - a_1a_2a_3^2b_1b_2 - a_1a_2b_1b_2b_3^2 - a_1a_3b_1b_2^2b_3 + a_2^2a_3^2b_1^2 + a_2^2b_1^2b_3^2$
$ - a_2a_3b_1^2b_2b_3 + a_3^2b_1^2b_2^2)$
\item Aire du triangle $A_1A_2A_3$ (au signe près): $\dfrac{(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{2D}$
\end{itemize}
Cordialement,
Rescassol
Il faudrait que tu nous expliques comment tu t'y es pris pour nous sortir ces expressions aussi rébarbatives même si elles sont probablement vraies.
En tout cas ce n'est pas moi qui dira le contraire.
Amicalement
Pappus
Le plus simplement du monde, en utilisant les définitions, sauf que c'est Matlab
qui a fait les calculs. Le fichier ci-joint est suffisamment commenté:
La médiane $(A_1G)$:
$(-a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + 2a_2a_3b_1)x + (a_2b_1b_3 - 2a_1b_2b_3 + a_3b_1b_2)y + (-a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2) = 0$
La symédiane $(A_1K)$ : $u_1x+v_1y+w_1=0$ avec:
$u_1=- 2b_1a_2^2a_3^2 + a_1a_2^2a_3b_3 - b_1a_2^2b_3^2 + a_1a_2a_3^2b_2 + a_1a_2b_2b_3^2 -b_1a_3^2b_2^2 + a_1a_3b_2^2b_3$
$v_1=- b_1a_2^2a_3b_3 + a_1a_2^2b_3^2 - b_1a_2a_3^2b_2 - b_1a_2b_2b_3^2 + a_1a_3^2b_2^2- b_1a_3b_2^2b_3 + 2a_1b_2^2b_3^2$
$w_1=- b_1c_3a_2^2a_3 + a_1c_3a_2^2b_3 - b_1c_2a_2a_3^2 - b_1c_2a_2b_3^2 + a_1c_2a_3^2b_2- b_1c_3a_3b_2^2 + a_1c_3b_2^2b_3 + a_1c_2b_2b_3^2$
Centre du cercle d'Euker: $\omega \left(\dfrac{Num\omega x}{D};\dfrac{Num\omega y}{D}\right)$ avec:
$Num\omega x=c_3a_1^2a_2a_3b_2-c_2a_1^2a_2a_3b_3-c_3a_1^2b_2^2b_3+c_2a_1^2b_2b_3^2$
$-c_3a_1a_2^2a_3b_1+c_1a_1a_2^2a_3b_3+c_2a_1a_2a_3^2b_1-c_1a_1a_2a_3^2b_2$
$-3c_2a_1a_2b_1b_3^2+3c_1a_1a_2b_2b_3^2+3c_3a_1a_3b_1b_2^2-3c_1a_1a_3b_2^2b_3$
$+c_3a_2^2b_1^2b_3-c_1a_2^2b_1b_3^2-3c_3a_2a_3b_1^2b_2+3c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$-c_2a_3^2b_1^2b_2+c_1a_3^2b_1b_2^2$
$Num\omega y=3c_3a_1^2a_2b_2b_3+c_2a_1^2a_2b_3^2-c_3a_1^2a_3b_2^2-3c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$-3c_3a_1a_2^2b_1b_3-c_1a_1a_2^2b_3^2+3c_2a_1a_3^2b_1b_2+c_1a_1a_3^2b_2^2$
$+c_3a_1b_1b_2^2b_3-c_2a_1b_1b_2b_3^2+c_3a_2^2a_3b_1^2+3c_1a_2^2a_3b_1b_3$
$-c_2a_2a_3^2b_1^2-3c_1a_2a_3^2b_1b_2-c_3a_2b_1^2b_2b_3+c_1a_2b_1b_2b_3^2$
$+c_2a_3b_1^2b_2b_3-c_1a_3b_1b_2^2b_3$
Cordialement,
Rescassol
PS:Ci-joint deux fonctions annexes que j'avais oublié de fournir :
sujet plutôt ancien mais qui m'intéresse ... question bète mais dans la formule de Bouzar, comment définit-on le signe de la matrice ... je n'ai pas trouvé
Merci
Paul
$\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|=7 \times (-3)- 1 \times 4 =-25<0$ donc
$\mathrm{sign}\left|\begin{array}{cc}7 & 1\\\ 4 &-3\end{array}\right|=-1.$
J'ai une droite $d:=[a\times abscisse + b\times ordonnee + c=0]$ et un point $M:=(x,y)$
Je cherche la distance de $M$ à $d$. Je sais que le vecteur $u:=(a,b)$ est normal à $d$.
Je cherche un point $K$ sur $d$ tel que $\overrightarrow{KM}$ est colinéaire à $u$.
Mes inconnues sont donc trois nombres $x_K,y_K,r$ dont j'exige que $(x-x_K)=ar$ et $(y-y_K)=br$ et $ax_K+by_K+c=0$.
:X :X du calcul..
Bon, en même temps, tout se ramène à la recherche de $r$, via $a(x-ar) + b(y-br)+c=0$, ce qui n'est pas trop méchant... $ax+by+c = (a^2 + b^2)r$. Or $KM^2 = r^2(a^2+b^2)$ (ie $r^2||u||^2$). Donc $KM^2 = r(ax+by+c)$ donc effectivement $KM^2 = \frac{(ax+by+c)^2}{(a^2 + b^2)}=(dist(M,d))^2$ (je vais me coucher un peu plus cultivé)
** Merci Bruno
Tu es sûr ? Depuis quand $|x|$ est proportionnel à $x$ ?
Bruno
[Inutile de recopeir un message précédent. Un lien suffit. AD]
Bonjour
C'est juste le signe du déterminant alors ? ... Merci pour la réponse.
Paul
Si $\sum a_i^2 = \sum b_i^2=1$ alors le polynôme $Q:=(c+\sum a_iX_i)^2- (d+\sum b_iX_i)^2$ est le carré d'un polynôme qui, en les $X_i$, est de degré local au plus 1 pour chaque $X_i$
(ou alors $Q$ est lui-même de degré local 1 en chaque $X_i$, mais j'y crois moins). C'est marrant ça...
Plaçons nous dans un $\C$-Hilbert. Soient $u,v$ des vecteurs de norme 1. C'est "trivial" qu'il existe une forme linéaire $g$ telle que:
(Peut-être que je délire à 12H du matin )
Dans l'étape suivante, je cherche à déterminer les coordonnées du point situé à la distance d de D1 (et donc D2), mais je me retrouve systématiquement à l'extérieur du triangle ... il y a quelque chose que je n'ai pas saisi ...
Quelle est la généralité à la méthode de Bouzar ? il est parlé d'un lien dans un des fils ...
Merci par avance
Paul
Je suis vraiment irrécupérable en calcul, si ça devait être confirmé...
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]
En fait ça marche si je mets que la distance à la droite est égale à -d et non d dans 2 cas sur 4 ... pourquoi ?
- cas 1 : angle vers le haut -> +d
- cas 2 : angle vers la droite -> +d
- cas 3 : angle vers le bas -> -d
- cas 4 : angle vers la gauche -> -d
Paul
La méthode de détermination de l'équation cartésienne repose sur l'égalité des distances d'un point des bissectrices d'une paire de droites concourantes. Le résultat obtenu est l'équation de la conique impropre constituée de la réunion des deux bissectrices. Parmi les bissectrices de deux droites le distinguo entre bissectrice extérieure et bissectrice intérieure n'a aucun sens. C'est seulement quand on parle de demi-droites de même origine qu'il prend du sens :
La bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites $(AB)$ et $(AC)$ est l'axe de la symétrie qui échange $(AB)$ et $(AC)$ ; ce n'est pas l'ensemble des points du plan équidistant de ces deux droites. Quant à la bissectrice extérieure de cet angle, c'est la perpendiculaire en $A$ à la bissectrice intérieure.
Bruno
je suis bien d'accord, .... d'où mon interrogation à la vue d'une eq. de droite ...
D'un point de vue purement analytique, comment savoir quand employer $+d$ ou $-d$ ? je peux utiliser le produit scalaire pour calculer l'angle, mais y a t'il une autre approche plus simple dès le calcul de : $ (\pm)d = \frac{a \centerdot x + b \centerdot y + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ? un autre déterminant ?
Merci
paul
profCPGE
Paul
Merci pour ces infos forts utiles
Paul