Équation cartésienne d'une bissectrice

.

Pappus ... a écrit:

et miracle tout se passe dans l'anneau $ \mathbb{Z}[x,y]$.

Faut bien reconnaître que les triplets pythagoriciens $(3,4,5)$ et $(5,12,13)$ aident la mayonnaise à prendre.

d'Alexandrie a écrit:

Il n'y a pas de bissectrices intérieures ou extérieures dans le problème de linsday2000.

C'est exact, mais Bouzar a introduit un triangle ; du coup il y a bien des bissectrices intérieures et extérieures en chaque sommet du triangle. C'est un prolongement non dénué d'intérêt du problème posé.

Bruno

Bonsoir,

Voilà un début:

\begin{itemize}
\item $D_1$ a pour équation $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ dans un repère orthonormé, et permutation circulaire, expression qui sera désormais sous entendue, vue sa prolifération naturelle.
$D_1$, $D_2$ et $D_3$ définissent un triangle $A_1A_2A_3$ ($A_1=D_2 \cap D_3$) dont voici quelques éléments:

\item On pose $D=(a_1b_2 - a_2b_1)(a_2b_3 - a_3b_2)(a_3b_1 - a_1b_3)$

\item $A_1(x_1;y_1)$ avec $x_1=\dfrac{b_2c_3 - b_3c_2}{a_2b_3 - a_3b_2}$ et $y_1=\dfrac{a_3c_2 - a_2c_3}{a_2b_3 - a_3b_2}$

\item Centre de gravité $G\left(\dfrac{NumGx}{D};\dfrac{NumGy}{D}\right)$ avec:
$NumGx=-c_3a_1^2b_2^2b_3+c_2a_1^2b_2b_3^2-2c_2a_1a_2b_1b_3^2+2c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$+2c_3a_1a_3b_1b_2^2-2c_1a_1a_3b_2^2b_3+c_3a_2^2b_1^2b_3-c_1a_2^2b_1b_3^2-2c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$+2c_2a_2a_3b_1^2b_3-c_2a_3^2b_1^2b_2+c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumGy=2c_3a_1^2a_2b_2b_3+c_2a_1^2a_2b_3^2-c_3a_1^2a_3b_2^2-2c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$-2c_3a_1a_2^2b_1b_3-c_1a_1a_2^2b_3^2 +2c_2a_1a_3^2b_1b_2+c_1a_1a_3^2b_2^2+c_3a_2^2a_3b_1^2$
$+2c_1a_2^2a_3b_1b_3-c_2a_2a_3^2b_1^2 -2c_1a_2a_3^2b_1b_2$

\item Hauteur issue de $A_1$ : $b_1 x -a_1 y + \dfrac{-a_1a_2c_3+ a_1a_3c_2-b_1b_2c_3+b_1b_3c_2}{a_2b_3-a_3b_2}=0$

\item Orthocentre $H\left(\dfrac{NumHx}{D};\dfrac{NumHy}{D}\right)$ avec:
$NumHx=c_3a_1^2a_2a_3b_2 - c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3$
$ + c_2a_1a_2a_3^2b_1 - c_1a_1a_2a_3^2b_2 - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_3b_1b_2^2- c_1a_1a_3b_2^2b_3 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$NumHy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_3b_2b_3 - c_3a_1a_2^2b_1b_3 + c_2a_1a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_1b_1b_2^2b_3 - c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ - c_3a_2b_1^2b_2b_3 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 + c_2a_3b_1^2b_2b_3 - c_1a_3b_1b_2^2b_3$

\item Milieu de $[A_2A_3]$ :
$x_{23}=\dfrac{-a_1b_1b_2c_3 + a_3b_1^2c_2 + a_2b_1^2c_3 - a_1b_1b_3c_2 + 2a_1b_2b_3c_1 - a_2b_1b_3c_1 - a_3b_1b_2c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$
$y_{23}=\dfrac{a_1^2b_2c_3 + a_1^2b_3c_2 - a_1a_2b_1c_3 - a_1a_2b_3c_1 - a_1a_3b_1c_2 - a_1a_3b_2c_1 + 2a_2a_3b_1c_1}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}$

\item Médiatrice de $[A_2A_3]$ :
$b_1 x -a_1 y + \dfrac{Num}{2(a_3b_1 - a_1b_3)(a_1b_2 - a_2b_1)}=0$ avec:
$Num=a_1^3b_2c_3 - a_3b_1^3c_2 - a_2b_1^3c_3 + a_1^3b_3c_2 - a_1^2a_2b_1c_3 - a_1^2a_2b_3c_1$
$ - a_1^2a_3b_1c_2 - a_1^2a_3b_2c_1 + a_1b_1^2b_2c_3 + a_1b_1^2b_3c_2 + a_2b_1^2b_3c_1$
$ + a_3b_1^2b_2c_1 + 2a_1a_2a_3b_1c_1 - 2a_1b_1b_2b_3c_1$

\item Centre du cercle circonscrit $O\left(\dfrac{NumOx}{D};\dfrac{NumOy}{D}\right)$ avec:
$NumOx=-c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - c_3a_1^2b_2^2b_3 + c_2a_1^2b_2b_3^2$
$ + c_3a_1a_2^2a_3b_1 - c_1a_1a_2^2a_3b_3 - c_2a_1a_2a_3^2b_1 + c_1a_1a_2a_3^2b_2$
$ - c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2 - c_1a_1a_3b_2^2b_3$
$ + c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 - c_3a_2a_3b_1^2b_2 + c_2a_2a_3b_1^2b_3$
$ - c_2a_3^2b_1^2b_2 + c_1a_3^2b_1b_2^2$
$NumOy=c_3a_1^2a_2b_2b_3 + c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 - c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ - c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 + c_1a_1a_3^2b_2^2 - c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 + c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2 - c_1a_2a_3^2b_1b_2$
$ + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - c_1a_2b_1b_2b_3^2 - c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$

\item Doite d'Euler:
$(a_1a_2b_3 + a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 + 3b_1b_2b_3)x-(3a_1a_2a_3 + a_1b_2b_3 + a_2b_1b_3 + a_3b_1b_2)y+\dfrac{Num}{D}=0$ avec:
$Num=2c_3a_1^3a_2^2a_3b_2b_3 + c_2a_1^3a_2^2a_3b_3^2 - c_3a_1^3a_2a_3^2b_2^2$
$ - 2c_2a_1^3a_2a_3^2b_2b_3 + c_3a_1^3a_2b_2^2b_3^2 - c_2a_1^3a_3b_2^2b_3^2 - 2c_3a_1^2a_2^3a_3b_1b_3$
$ - c_1a_1^2a_2^3a_3b_3^2 + c_2a_1^2a_2^2b_1b_3^3 - c_1a_1^2a_2^2b_2b_3^3 + 2c_2a_1^2a_2a_3^3b_1b_2$
$ + c_1a_1^2a_2a_3^3b_2^2 - c_3a_1^2a_3^2b_1b_2^3 + c_1a_1^2a_3^2b_2^3b_3 + c_3a_1^2b_1b_2^3b_3^2$
$ - c_2a_1^2b_1b_2^2b_3^3 + c_3a_1a_2^3a_3^2b_1^2 + 2c_1a_1a_2^3a_3^2b_1b_3 - c_3a_1a_2^3b_1^2b_3^2$
$ - c_2a_1a_2^2a_3^3b_1^2-2c_1a_1a_2^2a_3^3b_1b_2 + 2c_2a_1a_2b_1^2b_2b_3^3 - c_1a_1a_2b_1b_2^2b_3^3$
$ + c_2a_1a_3^3b_1^2b_2^2 - 2c_3a_1a_3b_1^2b_2^3b_3 + 2c_1a_1a_3b_1b_2^3b_3^2 + c_1a_2^3a_3b_1^2b_3^2$ $+ c_3a_2^2a_3^2b_1^3b_2 - c_2a_2^2a_3^2b_1^3b_3 - c_3a_2^2b_1^3b_2b_3^2 + c_1a_2^2b_1^2b_2b_3^3$
$ - c_1a_2a_3^3b_1^2b_2^2 + 2c_3a_2a_3b_1^3b_2^2b_3 - 2c_2a_2a_3b_1^3b_2b_3^2 + c_2a_3^2b_1^3b_2^2b_3$
$ - c_1a_3^2b_1^2b_2^3b_3$

\item Longueurs des côtés:
$A_2A_3^2=\dfrac{(a_1^2 + b_1^2)(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{(a_3b_1 - a_1b_3)^2(a_1b_2 - a_2b_1)^2}$

\item Point de Lemoine $K\left(\dfrac{NumKx}{DenK};\dfrac{NumKy}{DenK}\right)$ avec:
$NumKx=c_3a_1^2a_2b_2b_3 - c_2a_1^2a_2b_3^2 - c_3a_1^2a_3b_2^2 + c_2a_1^2a_3b_2b_3$
$ + c_3a_1a_2^2b_1b_3 - c_1a_1a_2^2b_3^2 + c_2a_1a_3^2b_1b_2 - c_1a_1a_3^2b_2^2 + c_3a_1b_1b_2^2b_3$
$ + c_2a_1b_1b_2b_3^2 - 2c_1a_1b_2^2b_3^2 - c_3a_2^2a_3b_1^2 + c_1a_2^2a_3b_1b_3 - c_2a_2a_3^2b_1^2$
$ + c_1a_2a_3^2b_1b_2 + c_3a_2b_1^2b_2b_3 - 2c_2a_2b_1^2b_3^2 + c_1a_2b_1b_2b_3^2 - 2c_3a_3b_1^2b_2^2$ $+ c_2a_3b_1^2b_2b_3 + c_1a_3b_1b_2^2b_3$
$NumKy=-2c_3a_1^2a_2^2b_3 + c_3a_1^2a_2a_3b_2 + c_2a_1^2a_2a_3b_3 - 2c_2a_1^2a_3^2b_2$
$ - c_3a_1^2b_2^2b_3 - c_2a_1^2b_2b_3^2 + c_3a_1a_2^2a_3b_1 + c_1a_1a_2^2a_3b_3 + c_2a_1a_2a_3^2b_1$
$ + c_1a_1a_2a_3^2b_2 + c_2a_1a_2b_1b_3^2 + c_1a_1a_2b_2b_3^2 + c_3a_1a_3b_1b_2^2$
$ + c_1a_1a_3b_2^2b_3 - 2c_1a_2^2a_3^2b_1 - c_3a_2^2b_1^2b_3 - c_1a_2^2b_1b_3^2 + c_3a_2a_3b_1^2b_2$
$ + c_2a_2a_3b_1^2b_3 - c_2a_3^2b_1^2b_2 - c_1a_3^2b_1b_2^2$
$DenK=2(a_1^2a_2^2b_3^2 - a_1^2a_2a_3b_2b_3 + a_1^2a_3^2b_2^2 + a_1^2b_2^2b_3^2 - a_1a_2^2a_3b_1b_3$
$ - a_1a_2a_3^2b_1b_2 - a_1a_2b_1b_2b_3^2 - a_1a_3b_1b_2^2b_3 + a_2^2a_3^2b_1^2 + a_2^2b_1^2b_3^2$
$ - a_2a_3b_1^2b_2b_3 + a_3^2b_1^2b_2^2)$

\item Aire du triangle $A_1A_2A_3$ (au signe près): $\dfrac{(a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1)^2}{2D}$

\end{itemize}

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Le plus simplement du monde, en utilisant les définitions, sauf que c'est Matlab
qui a fait les calculs. Le fichier ci-joint est suffisamment commenté:

Bonsoir

sujet plutôt ancien mais qui m'intéresse ... question bète mais dans la formule de Bouzar, comment définit-on le signe de la matrice ... je n'ai pas trouvé

Merci
Paul

Je fais l'exo de Pappus:

J'ai une droite $d:=[a\times abscisse + b\times ordonnee + c=0]$ et un point $M:=(x,y)$

Je cherche la distance de $M$ à $d$. Je sais que le vecteur $u:=(a,b)$ est normal à $d$.
Je cherche un point $K$ sur $d$ tel que $\overrightarrow{KM}$ est colinéaire à $u$.
Mes inconnues sont donc trois nombres $x_K,y_K,r$ dont j'exige que $(x-x_K)=ar$ et $(y-y_K)=br$ et $ax_K+by_K+c=0$.

:X :X du calcul..

Bon, en même temps, tout se ramène à la recherche de $r$, via $a(x-ar) + b(y-br)+c=0$, ce qui n'est pas trop méchant... $ax+by+c = (a^2 + b^2)r$. Or $KM^2 = r^2(a^2+b^2)$ (ie $r^2||u||^2$). Donc $KM^2 = r(ax+by+c)$ donc effectivement $KM^2 = \frac{(ax+by+c)^2}{(a^2 + b^2)}=(dist(M,d))^2$ (je vais me coucher un peu plus cultivé)

Christophe : a écrit:

$ dist(M,d)$ est proportionnel à $ ax_M+by_M+c$

Tu es sûr ? Depuis quand $|x|$ est proportionnel à $x$ ?



Bruno

Oui, la notation entre barre verticale c'est pour les déterminants en général.

Bon, à 2H du mat avec le nez dans le guidon.. Mais je dresse un petit bilan de ce que "j'ai appris" à cette occasion:

Si $\sum a_i^2 = \sum b_i^2=1$ alors le polynôme $Q:=(c+\sum a_iX_i)^2- (d+\sum b_iX_i)^2$ est le carré d'un polynôme qui, en les $X_i$, est de degré local au plus 1 pour chaque $X_i$

(ou alors $Q$ est lui-même de degré local 1 en chaque $X_i$, mais j'y crois moins). C'est marrant ça...

Plaçons nous dans un $\C$-Hilbert. Soient $u,v$ des vecteurs de norme 1. C'est "trivial" qu'il existe une forme linéaire $g$ telle que:


(Peut-être que je délire à 12H du matin )

AAh, oui au fait, précision: je délirais complètement tout à l'heure. Ce n'est ni linéaire, ni le carré d'un truc linéaire. C'est bêtement le produit de deux trucs linéaires (a²-b² = (a-b)(a+b) ) et c'est bien pour ça que ça donne une réunion de deux hyperplans bissecteurs

Je suis vraiment irrécupérable en calcul, si ça devait être confirmé...

Bonjour paul18.

Ok j'arrive à calculer l'eq. de la bissectrice (bien que j'ai du mal à comprendre comme l'eq. d'une droite peut faire le distinguo entre bissectrice extérieure et intérieure)

La méthode de détermination de l'équation cartésienne repose sur l'égalité des distances d'un point des bissectrices d'une paire de droites concourantes. Le résultat obtenu est l'équation de la conique impropre constituée de la réunion des deux bissectrices. Parmi les bissectrices de deux droites le distinguo entre bissectrice extérieure et bissectrice intérieure n'a aucun sens. C'est seulement quand on parle de demi-droites de même origine qu'il prend du sens :

La bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites $(AB)$ et $(AC)$ est l'axe de la symétrie qui échange $(AB)$ et $(AC)$ ; ce n'est pas l'ensemble des points du plan équidistant de ces deux droites. Quant à la bissectrice extérieure de cet angle, c'est la perpendiculaire en $A$ à la bissectrice intérieure.

Bruno

Du temps de ma jeunesse folle, on apprenait que si l'union de deux droites issues de $O$ a pour équation $$P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2=0,$$ alors l'union des bissectrices a pour équation $$x\partial P/\partial y=y\partial P/\partial x$$

profCPGE

j'aurais aimé (pour ma culture perso) savoir s'il existait une expression générale ; dans ce cas particulier, j'ai simplement introduit une condition d'angle (via un produit scalaire) pour savoir si j'utilise $+d$ ou $-d$ ... mais je trouve pas ça forcement élégant

Merci pour ces infos forts utiles

Paul