Point de Nagel et droites sécantes
Bonjour
Voici un nouveau problème
Soient $\triangle ABC$ un triangle et $N_a$ son point de Nagel.
On considère les droites $(BN_a)$ et $(CN_a).$
La droite $(BN_a)$ intersecte la droite $(AC)$ en $D.$
La droite $(CN_a)$ intersecte la droite $(AB)$ en $E.$
Soient $M$ et $T$ les milieux respectifs des segments $[BE]$ et $[CD]$.
Soit $P$ le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $\triangle BEN_a$ et $\triangle CDN_a.$
Soit $\Delta_1$ la droite perpendiculaire à la droite $(PM)$ passant par $M.$
Soit $\Delta_2$ la droite perpendiculaire à la droite $(PT)$ passant par $T.$
Monter que $\Delta_1$ et $\Delta_1$ sont sécantes en un point appartenant au cercle circonscrit au triangle $\triangle ABC.$
Rappel : Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits.
Voici un nouveau problème
Soient $\triangle ABC$ un triangle et $N_a$ son point de Nagel.
On considère les droites $(BN_a)$ et $(CN_a).$
La droite $(BN_a)$ intersecte la droite $(AC)$ en $D.$
La droite $(CN_a)$ intersecte la droite $(AB)$ en $E.$
Soient $M$ et $T$ les milieux respectifs des segments $[BE]$ et $[CD]$.
Soit $P$ le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $\triangle BEN_a$ et $\triangle CDN_a.$
Soit $\Delta_1$ la droite perpendiculaire à la droite $(PM)$ passant par $M.$
Soit $\Delta_2$ la droite perpendiculaire à la droite $(PT)$ passant par $T.$
Monter que $\Delta_1$ et $\Delta_1$ sont sécantes en un point appartenant au cercle circonscrit au triangle $\triangle ABC.$
Rappel : Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits.
Réponses
-
Bonjour
Merci JLT pour l'illustration. On peut donc rajouter au problème de départ les deux constatations de JLT qui sont à démontrer. -
$P$ ne serait-il pas, par le plus grand des hasards, le centre de la rotation $r$ telle que:
$r(B) = D$ et $r(E) = C$?
Amicalement
Pappus
PS
Voici ma propre figure où j'ai rajouté un cercle -
Grosso modo, la construction de $P$ telle que nous l'a donnée Bouzar est celle (disparue à jamais) du centre de la similitude directe $r$ telle que: $r(B) = D$ et $r(E) = C$ mais puisque $BE = CD = p-a$, $r$ est une rotation.
Amicalement
Pappus -
Bonsoir,
Un résultat plus général
1. ABC un triangle
2. D, E deux points resp. de [AC], [AB] tels que BE = CD
3. (1), (2) les cercles circonscrits resp. aux triangles AEC, ADB
4. P le second point d’intersection de (1) et (2)
5. (3), (4) les cercles circonscrits resp. aux triangles BPE, CPD
6. N le second point d’intersection de (3) et (4).
Nous pouvons alors prouver que (AP) est la A-bissectrice de ABC.
Dans la situation évoquée, il reste à montrer que
1. N est le point de Nagel de ABC
Sincèrement
Jean-Louis -
Bon, en tout cas la remarque de pappus sur la rotation permet de montrer que $A,M,T$ sont sur le cercle de diamètre $[P,Q]$ ainsi que mes constatations expérimentales.
-
Bravo, JLT!
Et quelle est le centre de la rotation $s$ telle que $s(B) = C$ et $s(E) = D$?
Amicalement
Pappus -
Bonsoir
Voici une première méthode utilisant les coordonnées homogènes barycentriques.
$A(1:0:0).$
$B(0:1:0).$
$C(0:0:1).$
$(AB)$ a pour équation $z=0.$
$(AC)$ a pour équation $y=0.$
$N_a(b+c-a : c+a-b : a+b-c).$
Je trouve que :
$D(-a + b + c : 0 : a + b - c),$
$E(-a + b + c : a - b + c : 0),$
$M(-a + b + c : a - b + 3 c : 0),$
$T(-a + b + c : 0 : a + 3 b - c),$
$P(2 a - b - c : -b : -c).$
$\Delta_1$ a pour équation $(b - c) c (a - b + 3 c)x + (a - b - c) (b - c) cy+( -a^3 - b^3 + a^2 (b - 3 c) + a b (b - c) + b c^2)z=0.$
$\Delta_2$ a pour équation $-b (b - c) (a + 3 b - c)x+( -a^3 - 3 a^2 b + a^2 c - a b c + b^2 c +a c^2 - c^3)y + b (b - c) (-a + b + c)z=0.$
$\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes en $Q(-a^2 : b (b - c) : c (-b + c)).$
Les coordonnées homogènes barycentriques de $Q$ vérifient l'équation $a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y=0,$ donc $Q$ appartient au cercle circonscrit au triangle $\triangle ABC.$ -
Concernant les constatations expérimentales de JLT :
La bissectrice intérieure issue de $A$ a pour équation $-cy+bz=0.$ Le point $P(2 a - b - c : -b : -c)$ appartient bien à cette bissectrice.
La bissectrice extérieure en $A$ a pour équation $-cy-bz=0.$ On a :
$\begin{vmatrix}
0& -c & -b \\
(b - c) c (a - b + 3 c)&(a - b - c) (b - c) c & -a^3 - b^3 + a^2 (b - 3 c) + a b (b - c) + b c^2 \\
-b (b - c) (a + 3 b - c) & -a^3 - 3 a^2 b + a^2 c - a b c + b^2 c + a c^2 - c^3 & b (b - c) (-a + b + c)
\end{vmatrix} =0.$
Les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$ et la bissectrice extérieure en $A$ sont concourantes. -
@pappus : c'est $Q$ (=l'intersection entre $\Delta_1$ et $\Delta_2$). En effet, soit $Q'$ le centre de la rotation $r'$ envoyant $B$ sur $C$ et $E$ sur $F$. Alors $Q'$ envoie $\overrightarrow{EB}$ sur $\overrightarrow{FC}$, donc l'angle de cette rotation est $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AT})=(\overrightarrow{QM},\overrightarrow{QT})$. D'autre part, $r'$ envoie $M$ sur $T$, donc $Q$ et $Q'$ se trouvent tous deux sur la bissectrice de $[M,T]$ et vérifient $(\overrightarrow{Q'M},\overrightarrow{Q'T})=(\overrightarrow{QM},\overrightarrow{QT})$. On en déduit que $Q'=Q$.
Finalement, la rotation de centre $Q$ et d'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ envoie $B$ sur $C$, donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{QB},\overrightarrow{QC})$, ce qui prouve que $A,B,Q,C$ sont cocycliques. -
Oui, JLT!
J'attendais plutôt de toi qui est sans doute un spécialiste de la théorie des groupes l'utilisation de la décomposition d'une rotation en produit de deux symétries mais peu importe.
Maintenant que l'exercice de Bouzar est pratiquement terminé(?), même si on pourrait en donner des solutions à la Pierre utilisant l'algèbre linéaire ou bien à la Rescassol avec les nombres complexes, on peut s'interroger sur la façon de résoudre la plupart des exercices de ce genre donnés aux Olympiades.
Tout d'abord une bonne connaissance de la géométrie du triangle et des propriétés des premiers points de la liste de Kimberling.
Ensuite celle de la construction du centre d'une similitude directe c'est à dire savoir reconnaître cette construction au milieu de la complexité d'une figure.
Enfin savoir faire le produit de deux similitudes directes et ici en l'occurrence celui de deux rotations c'est à dire connaître ce que j'ai appelé la mère de toutes les configurations: la configuration des trois similitudes!
Amicalement
Pappus
PS
Pourquoi ai-je mis un point d'interrogation?
Parce qu'il faudrait expliquer pourquoi $P$ est sur la bissectrice intérieure et $Q$ sur la bissectrice extérieure!
Est-on sûr que ce soit toujours le cas?
Et c'est peut être là que se trouve la supériorité de la méthode de Pierre! -
Finalement, Bouzar est ausi fort que Pierre.
Je doute que la méthode synthétique puisse prouver que $P$ est sur la bisectrice intérieure et $Q$ sur la bissectrice extérieure à moins de se décarcasser encore plus!
Amicalement
Pappus -
Bonjour,
l'approche synthétique que j'ai proposée, le permet.
Sincèrement
Jean-Louis -
J'ai rajouté sur ma précédente figure deux cercles: tout d'abord le cercle exinscrit dans l'angle $\widehat A$ de centre $I_A$ avec ses points de contact $F \in BC$, $G\in AB$, $H \in AC$.
Avec les notations de ma figure précédente, il est facile de vérifier que:
1° $r(G) = A$ et $r(A) = H$ et par suite $P$ est le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle $GAH$. C'est le deuxième cercle que j'ai rajouté sur ma figure!
2° $P$ est le milieu du segment $AI_A$, autrement dit $P$ appartient bien à la bissectrice intérieure/
Il faudrait que j'aille sur le site de Jean-Louis pour comparer cette solution avec la sienne mais pour le moment j'ai surtout envie de faire ma méridienne!
Amicalement
Pappus -
Bonjour,
Pour répondre à JLT qui en parlait dans un autre fil, voilà la solution à ma façon:
Voilà d'abord ma figure: -
Bonjour,
Voyons ce que cet exercice devient lorsqu'on le reprend en utilisant Sage. Je rappelle que Sage est "a free open-source mathematics software system licensed under the GPL. It combines the power of many existing open-source packages into a common Python-based interface".
Ce programme se télécharge depuis http://www.sagemath.org/.
Dans ce qui suit, le point clef serait une implémentation efficace de la procédure reduce. Pour l'instant, je n'ai pas encore bien en mains les mécanismes de typage, et l'implémentation de "reduce" est quelque peu bricolée.
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Bonjour!
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