Droites concourantes 7

Bonjour,

Je pense que Jean-Louis serait d'accord avec moi pour dire qu'une solution synthétique est quand même préférable à cette débauche de calculs, surtout quand elle est simple à trouver, d'autant plus que Bouzar nous donne le point de concours comme isotomique de l'orthocentre $H$.
Tout revient à montrer que les droites $AH$ et $AA_2$ sont isotomiques c'est à dire que $A'$ est le milieu du segment $H_AA_3$ où $H_A = AH \cap BC$ et $A_3 = AA_2\cap BC$ et $A'$ le milieu de $BC$.
Voici la figure où pour plus de clarté, je n'ai gardé que ce qui intéresse le sommet $A$ et la droite $BC$.

On passe du point $A_1$ au point $A_3$ en faisant d'abord la symétrie centrale de centre $G$ c'est à dire une homothétie de rapport $-1$ qui envoie $A_1$ sur $A_2$ suivie de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ (pourquoi?) qui envoie $A_2$ sur $A_3$.
Au total, on aura fait une homothétie de rapport $-1\times 3 = -3$ et de centre $AG\cap BC = A'$
Ainsi $\overrightarrow{A'A_3} = -3\overrightarrow{A'A_1}$
Mais sait-on encore aujourd'hui composer les homothéties?
Permettez moi d'en douter!
Evidemment il nous reste pour nous consoler le théorème fondamental de la géométrie affine qui devrait pouvoir être récité sans problème devant le jury somnolent!
De plus: $\overrightarrow{A'H_A} = 3\overrightarrow{A'A_1}$ par projection orthogonale sur $BC$ de l'égalité $\overrightarrow{A'A} = 3\overrightarrow{A'G}$
Par suite $\overrightarrow{A'A_3} =- \overrightarrow{A'H_A} $
CQFD
Amicalement
Pappus