Droites concourantes 7
Bonjour
Un nouvel exercice.
Soit un triangle $\triangle ABC$, $G$ son centre de gravité.
Soient $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ respectivement les pieds des perpendiculaires passant par $G$ à $(BC) , (AC), (AB)$
Soient $A_{2} ,B_{2}$ et $C_{2}$ respectivement les symétriques de $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ par la symétrie centrale de centre $G.$
Montrer que les droites $(AA_{2}), (BB_{2})$ et $(CC_{2})$ sont concourantes en un point qui est le conjugué isotomique de l’orthocentre $H$ du triangle $ \triangle ABC$.
Un nouvel exercice.
Soit un triangle $\triangle ABC$, $G$ son centre de gravité.
Soient $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ respectivement les pieds des perpendiculaires passant par $G$ à $(BC) , (AC), (AB)$
Soient $A_{2} ,B_{2}$ et $C_{2}$ respectivement les symétriques de $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ par la symétrie centrale de centre $G.$
Montrer que les droites $(AA_{2}), (BB_{2})$ et $(CC_{2})$ sont concourantes en un point qui est le conjugué isotomique de l’orthocentre $H$ du triangle $ \triangle ABC$.
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Réponses
Tout revient à montrer que les droites $AH$ et $AA_2$ sont isotomiques c'est à dire que $A'$ est le milieu du segment $H_AA_3$ où $H_A = AH \cap BC$ et $A_3 = AA_2\cap BC$ et $A'$ le milieu de $BC$.
Voici la figure où pour plus de clarté, je n'ai gardé que ce qui intéresse le sommet $A$ et la droite $BC$.
On passe du point $A_1$ au point $A_3$ en faisant d'abord la symétrie centrale de centre $G$ c'est à dire une homothétie de rapport $-1$ qui envoie $A_1$ sur $A_2$ suivie de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ (pourquoi?) qui envoie $A_2$ sur $A_3$.
Au total, on aura fait une homothétie de rapport $-1\times 3 = -3$ et de centre $AG\cap BC = A'$
Ainsi $\overrightarrow{A'A_3} = -3\overrightarrow{A'A_1}$
Mais sait-on encore aujourd'hui composer les homothéties?
Permettez moi d'en douter!
Evidemment il nous reste pour nous consoler le théorème fondamental de la géométrie affine qui devrait pouvoir être récité sans problème devant le jury somnolent!
De plus: $\overrightarrow{A'H_A} = 3\overrightarrow{A'A_1}$ par projection orthogonale sur $BC$ de l'égalité $\overrightarrow{A'A} = 3\overrightarrow{A'G}$
Par suite $\overrightarrow{A'A_3} =- \overrightarrow{A'H_A} $
CQFD
Amicalement
Pappus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 6.pdf p. 34...
Sincèrement
Jean-Louis