Lebossé-Hémery et Feuerbach
dans Géométrie
Bonjour,
Je viens de terminer un exercice du Lebossé Hémery, qui donne une démonstration calculatoire du théorème de Feuerbach sans le dire, mais je crois que je suis passé à côté de quelque chose.
Je viens de terminer un exercice du Lebossé Hémery, qui donne une démonstration calculatoire du théorème de Feuerbach sans le dire, mais je crois que je suis passé à côté de quelque chose.
Réponses
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Bonjour Gilles. Il me semble que la question 1 doit servir ne pas oublier que H est un barycentre de O et G.
Bruno -
Ah mais oui bien sûr ! D'où l'étude du cas $\gamma=0$ demandée.
Merci Bruno. -D -
Quelques précision sur la façon dont je termine les calculs, peut-être que d'autres forumeurs pourront apporter leur pierre à l'édifice.
Puisque $\omega$ est le barycentre de $(O,1)$ et $(G,-3)$ la question 1 montre que
$$
\Omega(O)-3\Omega(G)=-2\Omega(\omega)+\frac{3}{2} OG^2
$$
d'où en remplaçant par les valeurs que j'ai déjà indiquées (et $OG^2=R^2-\frac{1}{9} (a^2+b^2+c^2)$ obtenue à la question 2),
$$
2\Omega(\omega)=\frac{1}{2}R^2+2Rr+r^2+\frac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)-p^2.
$$
Il reste à montrer que $2p^2-(a^2+b^2+c^2)=8Rr+2r^2$ pour conclure. Pour ce faire je pars de $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$. En développant il vient
$$
S^2=p\left[p^3-(a+b+c)p^2+(ab+ac+bc)p-abc]
$$
Or $a+b+c=2p$ et $r=\frac{S}{p}$ donc
$$
r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-\frac{abc}{p}
$$
puis comme $4RS=abc$, il vient $4Rrp=abc$ d'où $r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-4Rr$. Enfin $2(ab+ac+bc)=(2p)^2-(a^2+b^2+c^2)$ d'où la relation manquante qui montre que la puissance de $\omega$ par rapport à $(I,r)$ est bien $\frac{R^2^}{4}-Rr$.
Amicalement,
Gilles -
Bien vu Maître !
Bruno
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