Lebossé-Hémery et Feuerbach

Quelques précision sur la façon dont je termine les calculs, peut-être que d'autres forumeurs pourront apporter leur pierre à l'édifice.

Puisque $\omega$ est le barycentre de $(O,1)$ et $(G,-3)$ la question 1 montre que
$$
\Omega(O)-3\Omega(G)=-2\Omega(\omega)+\frac{3}{2} OG^2
$$
d'où en remplaçant par les valeurs que j'ai déjà indiquées (et $OG^2=R^2-\frac{1}{9} (a^2+b^2+c^2)$ obtenue à la question 2),
$$
2\Omega(\omega)=\frac{1}{2}R^2+2Rr+r^2+\frac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)-p^2.
$$

Il reste à montrer que $2p^2-(a^2+b^2+c^2)=8Rr+2r^2$ pour conclure. Pour ce faire je pars de $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$. En développant il vient
$$
S^2=p\left[p^3-(a+b+c)p^2+(ab+ac+bc)p-abc]
$$
Or $a+b+c=2p$ et $r=\frac{S}{p}$ donc
$$
r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-\frac{abc}{p}
$$
puis comme $4RS=abc$, il vient $4Rrp=abc$ d'où $r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-4Rr$. Enfin $2(ab+ac+bc)=(2p)^2-(a^2+b^2+c^2)$ d'où la relation manquante qui montre que la puissance de $\omega$ par rapport à $(I,r)$ est bien $\frac{R^2^}{4}-Rr$.

Amicalement,
Gilles