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Lebossé-Hémery et Feuerbach

Envoyé par Gilles 
Lebossé-Hémery et Feuerbach
il y a sept années
Bonjour,

Je viens de terminer un exercice du Lebossé Hémery, qui donne une démonstration calculatoire du théorème de Feuerbach sans le dire, mais je crois que je suis passé à côté de quelque chose.

[attachment 25234 img299-Copie.jpg]

Les questions 1 et 2 ne posent pas de soucis, pour la question 3, je trouve $\Omega_{(I)}(O)=OI^2-r^2=R^2-2Rr-r^2$ pour la puissance de $O$ par rapport au cercle $(I,r)$ et $\Omega_{(I)}(G)=\frac{2}{9}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{3}p^2$ en utilisant la question 1 et le fait que la puissance de $A$ par rapport à $(I,r)$ est $(p-a)^2$.

C'est ensuite que je rate quelque chose. Pour calculer la puissance de $\omega$, je n'ai rien trouvé de mieux que de calculer $I\omega^2$ avec la relation de Stewart dans le triangle $IO\omega$. C'est idiot, puisque la question qui suit nécessite justement de calculer $I\omega^2$.
Quelle est donc la propriété de la puissance qui permet de calculer celle de $\omega$ à partir de celles de $O$ et $G$ ? J'ai pensé à utiliser $\overrightarrow{O\omega}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OG}$ ou le fait que $(O\omega GH)$ est une division harmonique, mais sans succès.

Merci pour vos idées.
Re: Lebossé-Hémery et Feuerbach
il y a sept années
avatar
Bonjour Gilles. Il me semble que la question 1 doit servir ne pas oublier que H est un barycentre de O et G.

Bruno
Re: Lebossé-Hémery et Feuerbach
il y a sept années
Ah mais oui bien sûr ! D'où l'étude du cas $\gamma=0$ demandée.

Merci Bruno. :)-D
Re: Lebossé-Hémery et Feuerbach
il y a sept années
Quelques précision sur la façon dont je termine les calculs, peut-être que d'autres forumeurs pourront apporter leur pierre à l'édifice.

Puisque $\omega$ est le barycentre de $(O,1)$ et $(G,-3)$ la question 1 montre que
$$
\Omega(O)-3\Omega(G)=-2\Omega(\omega)+\frac{3}{2} OG^2
$$
d'où en remplaçant par les valeurs que j'ai déjà indiquées (et $OG^2=R^2-\frac{1}{9} (a^2+b^2+c^2)$ obtenue à la question 2),
$$
2\Omega(\omega)=\frac{1}{2}R^2+2Rr+r^2+\frac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)-p^2.
$$

Il reste à montrer que $2p^2-(a^2+b^2+c^2)=8Rr+2r^2$ pour conclure. Pour ce faire je pars de $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$. En développant il vient
$$
S^2=p\left[p^3-(a+b+c)p^2+(ab+ac+bc)p-abc]
$$
Or $a+b+c=2p$ et $r=\frac{S}{p}$ donc
$$
r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-\frac{abc}{p}
$$
puis comme $4RS=abc$, il vient $4Rrp=abc$ d'où $r^2=-p^2+(ab+ac+bc)-4Rr$. Enfin $2(ab+ac+bc)=(2p)^2-(a^2+b^2+c^2)$ d'où la relation manquante qui montre que la puissance de $\omega$ par rapport à $(I,r)$ est bien $\frac{R^2^}{4}-Rr$.

Amicalement,
Gilles
Re: Lebossé-Hémery et Feuerbach
il y a sept années
avatar
Bien vu Maître !

Bruno
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