La droite d'Euler est de Steiner

Quel est le point jaune dans la classification de Kimberling ?

C'est aussi le point de Feuerbach du triangle antimédial ! Mais comment s'en convaincre ?

exo facile : montrer que les droites d'Euler du triangle ABC, de son triangle exinscrit et de son triangle antimédial sont concourantes.

Bonjour
Avec le truc de Morley par rapport au cercle circonscrit, le premier énoncé est faisable sachant que la droite d'Euler du triangle $ABC$ a pour équation $s_2z-s_1s_3\overline{z}=0.$

Bonsoir bs, le 1881 n'avait rien à voir avec Cerruti, mais c'est par une sorte de prémonition pessimiste soudaine ce soir-là concernant le président d'un pays ami. Je ne puis en dire plus.

Bonsoir

Montrons que les droites d'Euler du triangle $\triangle ABC$, de son triangle exinscrit et de son triangle antimédial sont concourantes.
L'équation barycentrique de la droite d'Euler du triangle $\triangle ABC$ est
$(-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2))x+(a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)y -(a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2)z=0.$
L'équation barycentrique de la droite d'Euler du triangle antimédial est
$(-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2))x+ (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)y -(a^2 - b^2) (a^2 +b^2 - c^2)z=0.$
L'équation barycentrique de la droite d'Euler du triangle exinscrit est
$-b (b - c) c (-a + b + c)x+ a (a - c) c (a - b + c)y -a (a - b) b (a + b - c)z=0.$
Le déterminant \begin{vmatrix}
(-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2)) & (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) & -(a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2) \\
(-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2)) & (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) & -(a^2 - b^2) (a^2 +b^2 - c^2) \\
-b (b - c) c (-a + b + c) & a (a - c) c (a - b + c) & -a (a - b) b (a + b - c)
\end{vmatrix} est nul.
Donc les droites d'Euler du triangle $\triangle ABC$, de son triangle exinscrit et de son triangle antimédial sont concourantes.

Bonjour Misère
Je vous rassure elles sont juste.

L'antipoint d'Euler a pour coordonnées barycentriques $(a^2 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2), b^2 (-a^2 + b^2) (b^2 - c^2),
c^2 (-a^2 + c^2) (-b^2 + c^2))$.

Bonjour
Merci Jean-Louis pour ce quickie. Il ne reste plus à titre d'exercice à montrer la généralisation y figurant.

Bonjour,

C'est à dire $z=\dfrac{s_2}{s_1}$ avec Morley, l'intermédiaire étant à l'infini.
Je précise que la composée de l'isotomie et de l'isogonalité est donnée par $\displystyle f(z)=\dfrac{3s_3z+s_2s_3\overline{z}+s_1s_3-s_2^2}{s_2z+s_1s_3\overline{z}+3s_3-s_1s_2}$.

Cordialement,

Rescassol