Bonjour,
Expressions constantes dans un triangle
1) O étant un point fixe dans un angle A, l'on mène par O une transversale coupant les côtés de l'angle en B et C ; S et S' étant les aires des triangles OAB et OAC, montrer que 1/S + 1/S' est indépendant de la transversale particulière que l'on a tracée.
2) ABC étant un triangle équilatéral et M un point intérieur au triangle, montrer que la somme des distances de M aux côtés du triangle est constante.
3) Un rectangle de base b et hauteur h étant inscrit dans un triangle de base b' et hauteur h', montrer que b/b' + h/h' = 1.
Solutions
1) Par O menons la parallèle à (AC), qui coupe (AB) en M ; d'après le théorème de Thalès, AB/AM = BC/OC (1). D'après le théorème des chevrons, AB/AM = Aire(OAB)/Aire(OAM) et BC/OC = Aire(BAC)/Aire(OAC). La proportion (1) peut donc s'écrire Aire(OAB)/Aire(OAM) = Aire(BAC)/Aire(OAC), soit S/Aire(OAM) = (S+S')/S', soit encore 1/Aire(OAM) = (S+S')/SS' = 1/S + 1/S' ; or, l'aire de OAM ne dépend pas de la transversale.
Conclusion : 1/S + 1/S' est indépendant de la transversale particulière ayant été tracée.
2) Soient a la longueur du côté ; P, Q, R les projections de M sur AB, BC et CA ; AH la hauteur issue de A.
Aire(MAB)+Aire(MBC)+Aire(MCA) = Aire(ABC) = BC.AH/2 et donc BC.AH/2 = AB.MP/2 + BC.MQ/2 + CA.MR/2 et donc a.AH/2 = a.MP/2 + a.MQ/2 + a.MR/2
Conclusion : MP+MQ+MR = AH = a3
1/2/2
3) Soient ABC le triangle, de base BC = b' et hauteur AH = h', et DEFG le rectangle inscrit, de base EF = b et hauteur GF = h. D'après le théorème de Thalès, on a AD/AB = b/b' et BD/BA = h/h'. D'où b/b' + h/h' = AD/AB + DB/AB = AB/AB.
Conclusion : b/b' + h/h' = 1
Et voici l'équivalent 3D du théorème de Viviani
Soient un tétraèdre régulier (pyramide faite de 4 triangles équilatéraux) ABCD et un point M intérieur au tétraèdre ; montrer que la somme des distances MP, MQ, MR, MS aux 4 faces du tétraèdre est indépendante du point considéré.
Solution
Soit a la longueur des arètes du tétraèdre et P, Q, R, S les projections de M sur ABC, BCD, CDA et DAB.
Soit AH la hauteur issue de A.
Vol(ABCD) = AH.Aire(BCD)/3 et aussi Vol(ABCD) = Vol(MABC)+Vol(MBCD)+Vol(MCDA)+Vol(MDAB) et donc
AH.Aire(BCD)/3 = Vol(MABC)+Vol(MBCD)+Vol(MCDA)+Vol(MDAB) et donc
AH.Aire(BCD)/3 = MP.Aire(ABC)/3 + MQ.Aire(BCD)/3 + MR.Aire(CDA)/3 + MS.Aire(DAB)/3
Le tétraèdre étant régulier, Aire(ABC) = Aire(BCD) = Aire(CDA) = Aire(DAB).
Conclusion : MP+MQ+MR+MS = AH, qui est indépendant de M.