Arcsinus arcsinum fricat.
Théorème de Viviani
Bonjour,
dans un zouli livre que le papa Noël m'a apporté, il y a un théorème associé à Vincenzo Viviani (1622 - 1703)
Il est dit que Galilée prit Viviani comme collaborateur du fait de son talent.
C'est un chouquette théorème, démontrable en 6eme-5eme et je me demandais si il n'y avait pas tout plein de démonstrations.
Ce que je trouve chouquette, c'est cette idée qu'un keutru est vrai dans un certain endroit et pas ailleurs.
S
[Mise à dimension de l'image. Bruno]
dans un zouli livre que le papa Noël m'a apporté, il y a un théorème associé à Vincenzo Viviani (1622 - 1703)
Théorème de Viviani a écrit:Placez un point dans un triangle équilatéral. De ce point, tracez une ligne en direction de chacun des côtés, de telle sorte que les lignes soient perpendiculaires à chaque côté. Peu importe où vous placez le point, la somme des distances perpendiculaires entre le point et les côtés est égale à la hauteur du triangle.
C'est un chouquette théorème, démontrable en 6eme-5eme et je me demandais si il n'y avait pas tout plein de démonstrations.
Ce que je trouve chouquette, c'est cette idée qu'un keutru est vrai dans un certain endroit et pas ailleurs.
S
[Mise à dimension de l'image. Bruno]
Réponses
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Bonjour Samok.
Très connu des statisticiens, ce théorème permet de représenter des variables de somme fixée (par exemple les fréquences de trois sous populations distinctes qui font la population complète). Il me semble que les chimistes l'utilisent pour les alliages de trois métaux.
Cordialement. -
La démonstration qui me semble la plus simple est de faire passer une parallèle à la base par le point : Une parallèle à un côté d'un triangle équilatéral détermine un nouveau triangle équilatéral. Puis on recommence. Et on trouve que la somme des trois distances aux côté est la hauteur.
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Bonjour sieur Gérard,
la démonstration qui m'est venue est plus simple, mais bon comme tout est relatif.
[Merci sieur Bruno pour la mise à l'échelle, je sais pas ce que fait ce point I mais je le trouve joli)
S -
De rien.
Bruno -
Pourquoi le théorème de Viviani entraine-t-il que le point de Fermat , quand il est situé à l'intérieur du triangle quelconque$ABC$, réalise le mimimum de la fonction $M \mapsto MA + MB+ MC$?
Bonne Année
Pappus -
on peut généraliser aux sommets d'un polyèdre ?
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Samok,
On peut avoir ta démonstration ? la mienne est sans mots (juste les égalités de longueurs sur la figure.
Cordialement. -
samok et moi avons dû lire le même livre parallèlement.
La démonstration est basée sur trois petits triangles équilatéraux ( dont les hauteurs sont les chemins du point jusqu'au bord du grand triangle ) que l'on glisse et pivote pour faire apparaître la hauteur cherchée ( preuve de Kawasaki selon le livre ).
J'ai également trouvé ce résultat et cette preuve très intéressant. -
On applique Pythagore trois fois
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[Edit : Je n'avais pas vu le message précédent quand j'ai écrit cela. mais le dessin est le bon, aux noms près. Merci JLT]
OK, ma preuve :
Comme je n'ai pas de logiciel de dessin sur cet ordinateur, je le fais avec des mots : ABC est le triangle équilatéral, I le point intérieur. La parallèle à BC en I coupe AB et AC en B' et C' respectivement. La parallèle à AB' en I coupe AC' en C". I se projette en J, K et L sur les côtés AB, BC et CA.
IL est la hauteur du triangle équilatéral IC'C", qu'on retrouve en C'H (H est donc sur IC"). En prolongeant C'H d'une longueur égale à IJ on obtient la hauteur C'H' du triangle équilatéral AB'C' (H' est donc sur AB'). on recommence pour rajouter IK à la hauteur relative à A et on a obtenu que IJ+IK+IL est la longueur d'une hauteur du triangle équilatéral.
En gros, on s'est ramené d'un point intérieur à un point sur un côté, puis à un sommet.
Cordialement. -
Merci !
-
Bonne nuit,
Dans le dessin de JLT il n'y a pas le point I dit "de Bruno" !
Bon, je sors, mais il ne sera pas dit que je ne dis jamais rien en géométrie.
Bien cordialement. -
C. de Pluquaire, c'est plutôt le point de Samok (:P).
Bruno -
Ce qui m'était venue spontanément est ce qu'a donnée JLT et qui est jouable en 6eme-5eme, découpage et égalité d'aires.
Par ailleurs voici un lien pour l'autre démonstration évoquée avant : monstration de Kawasaki
Il y a moyen de procéder analytiquement, on arrive alors en Tle S (calcul de la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé). L'idée d'utiliser Pythagore m'a effleuré l'esprit mais je voyais une suite abominable non susceptible d'aboutir. Etes-vous allé jusqu'au bout AitJospeh ?
S -
Bonjour,
La démonstration par les aires me semble la plus simple. Elle permet aussi de comprendre que cela va coincer pour un triangle quelconque.
Sinon le résultat se généralise à un point M quelconque, situé éventuellement à l'extérieur du triangle équilatéral, à condition de compter algébriquement les aires des triangles...
Etonnant non?
Christian -
Super la Kawasaki !
je ne connaissais pas la démo du message 5163 de JLT : Sympa. Mais la démo avec les surfaces est évidemment la plus immédiate...
En attendant d'en découvrir d'autres.
C'est un peu de la varappe
Merci Samok pour ce fil décontractant -
Bon avec les propos de Christian, on arrive si je ne m'abuse au post-bac, les aires algébriques de triangle, à un facteur près, sont des déterminants.
Voici une figure l'illustrant où $h_i$ sont des nombres positifs :
Y a-t-il un moyen sioux pour que les images soient à la bonne taille et par là même éviter un travail de la modération ? Merci JLT]
S -
@samok : pour faire des images plus petites, tu peux choisir l'une des options suivantes :
1) Si tu as fabriqué ton image à partir de Geogebra en "exportant le graphique en tant qu'image", tu dois tomber sur un menu -
Voilà donc une application du théorème de Viviani à la démonstration du théorème de Fermat.
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Voilà, j'ai essayé de concrétiser sur géogébra (premier vrai usage) :
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Joli ! !
est-ce dans le JDE ? je ne le pense pas -
Merci sieur Pappus,
j'aimerais avoir une version 4eme avec ce maudit théorème (je l'ai souvent bâclé dans cette classe) qui dit des choses entre un triangle rectangle et un cercle admettant un côté pour diamètre . -
Merci Gérard, beaucoup plus claire que sans mot et avec des mots votre figure (je n'osais dire que je ne comprenais là où vous vouliez en venir).
S -
Maintenant, il est clair que la démo des aires est plus simple
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les géomètres a écrit:Ils désertent une île déserte.
S -
C'est marrant ce théorème. Je me souviens avoir séché dessus juste après la guerre.
Il devait sans doute être proposé dans un Lebossé-Hémery de l'époque. -
Merci Pappus de me rappeler mes souvenirs de Lycée. j'avais moi aussi eu des difficultés.
par la somme des aires des triangles MAB et MAC c'est très vite fait !
Cordialement. -
Bonsoir,
Une prolongation ? En considérant la figure de JLT ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,803296,803463#msg-803463, quel est le lieu du point $M$ pour que la mesure de l'angle "normal" $\widehat{C'A'B'}$ reste égale à $\dfrac{\pi}{2}$ ?
Amicalement. -
Bonsoir
Voici quelques preuves :
http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT 6690/Viviani's Theorem/VivianiEssay.html
Bonne Année à tous
[Correction du lien. AD] -
Merci Bouzar mais le lien ne fonctionne pas.
S -
Bonjour,
Mon cher pappus, j'ai toujours su que tu étais capable de dessiner un arc avec ou sans Cabri.
Meilleurs voeux, amicalement. -
AitJoseph écrivait:
> On applique Pythagore trois fois
Bonsoir, avez- vous finalement réussi par cette méthode ? -
Bonjour.
N'oublions pas les diagrammes de phases ternaires.
Mon préféré est Lait-Œuf-Farine... -
Une belle application pour ceux qui font des études de chimie :-)
-
Bonjour,
Expressions constantes dans un triangle
1) O étant un point fixe dans un angle A, l'on mène par O une transversale coupant les côtés de l'angle en B et C ; S et S' étant les aires des triangles OAB et OAC, montrer que 1/S + 1/S' est indépendant de la transversale particulière que l'on a tracée.
2) ABC étant un triangle équilatéral et M un point intérieur au triangle, montrer que la somme des distances de M aux côtés du triangle est constante.
3) Un rectangle de base b et hauteur h étant inscrit dans un triangle de base b' et hauteur h', montrer que b/b' + h/h' = 1.
Solutions
1) Par O menons la parallèle à (AC), qui coupe (AB) en M ; d'après le théorème de Thalès, AB/AM = BC/OC (1). D'après le théorème des chevrons, AB/AM = Aire(OAB)/Aire(OAM) et BC/OC = Aire(BAC)/Aire(OAC). La proportion (1) peut donc s'écrire Aire(OAB)/Aire(OAM) = Aire(BAC)/Aire(OAC), soit S/Aire(OAM) = (S+S')/S', soit encore 1/Aire(OAM) = (S+S')/SS' = 1/S + 1/S' ; or, l'aire de OAM ne dépend pas de la transversale.
Conclusion : 1/S + 1/S' est indépendant de la transversale particulière ayant été tracée.
2) Soient a la longueur du côté ; P, Q, R les projections de M sur AB, BC et CA ; AH la hauteur issue de A.
Aire(MAB)+Aire(MBC)+Aire(MCA) = Aire(ABC) = BC.AH/2 et donc BC.AH/2 = AB.MP/2 + BC.MQ/2 + CA.MR/2 et donc a.AH/2 = a.MP/2 + a.MQ/2 + a.MR/2
Conclusion : MP+MQ+MR = AH = a31/2/2
3) Soient ABC le triangle, de base BC = b' et hauteur AH = h', et DEFG le rectangle inscrit, de base EF = b et hauteur GF = h. D'après le théorème de Thalès, on a AD/AB = b/b' et BD/BA = h/h'. D'où b/b' + h/h' = AD/AB + DB/AB = AB/AB.
Conclusion : b/b' + h/h' = 1
Et voici l'équivalent 3D du théorème de Viviani
Soient un tétraèdre régulier (pyramide faite de 4 triangles équilatéraux) ABCD et un point M intérieur au tétraèdre ; montrer que la somme des distances MP, MQ, MR, MS aux 4 faces du tétraèdre est indépendante du point considéré.
Solution
Soit a la longueur des arètes du tétraèdre et P, Q, R, S les projections de M sur ABC, BCD, CDA et DAB.
Soit AH la hauteur issue de A.
Vol(ABCD) = AH.Aire(BCD)/3 et aussi Vol(ABCD) = Vol(MABC)+Vol(MBCD)+Vol(MCDA)+Vol(MDAB) et donc
AH.Aire(BCD)/3 = Vol(MABC)+Vol(MBCD)+Vol(MCDA)+Vol(MDAB) et donc
AH.Aire(BCD)/3 = MP.Aire(ABC)/3 + MQ.Aire(BCD)/3 + MR.Aire(CDA)/3 + MS.Aire(DAB)/3
Le tétraèdre étant régulier, Aire(ABC) = Aire(BCD) = Aire(CDA) = Aire(DAB).
Conclusion : MP+MQ+MR+MS = AH, qui est indépendant de M.
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