Distance minimale entre deux avions...

Et si les trajectoires ne se croisent pas? ( Droites non coplanaires)

Bonsoir,

Le pire des cas, en coplanaires, ils arrivent ensemble et il y a crash.
En non coplanaires, ensemble sur la verticale du point d'intersection.

Si à la distance la plus courte aucun des deux n'a atteint le point de croisement, ils continuent à s'en rapprocher et la distance se réduit, contradiction.

Voici un traitement analytique ou mécanique.

Pour obtenir des calculs simples, je choisis mon repère comme suit:
L'origine sera le point d'intersection des trajectoires rectilignes
L'unité de distance sera la distance des deux avions lorsque le deuxième passera à l'origine, (instant initial),
L'unité de temps sera la durée séparant les passages à l'origine des deux avions.
Le premier axe du repère (orthonormé) sera la trajectoire du 1er avion orientée dans le sens de son parcours.
Soit $y=ax$ l'équation de la 2e trajectoire dans ce repère.

On a alors $x_1(t)=t+1$ ; $ x_2(t)= kt$ ; $y_2(t)=ak.t $
$k$ et $ak$ sont les composantes de la vitesse du deuxième avion, éventuellement négatives.

Si l'on note $d$ la distance des deux avions, on a $$ d^2(t)=((k-1)t-1)^2+(ak)^2t^2=[(k-1)^2+a^2k^2]t^2-2(k-1)t+1$$
La dérivée de cette expression du second degré par rapport au temps est:
$$2[(k-1)^2+a^2k^2]t-2(k-1)$$
Elle s'annule en changeant de signe pour $t= \dfrac {k-1}{(k-1)^2+a^2k^2}$
C'est à cet instant-là que la distance des deux avions est minimale, d'accord?

Eh bien, prenons le paramétrage $a=1$ (trajectoires à 45°) et $k= 0,4$
on trouvera $t\approx -1,15$ ce qui signifie que la distance est minimale avant le passage du 1er avion au croisement des trajectoires et invalide par conséquent le "théorème d'Iknazeon", sauf erreur dans mes calculs que vous voudrez bien rprendre...

Maintenant il faut reconsidérer l'argument de Félix

ils continuent à [se] rapprocher [du point de croisement] et [donc] la [leur] distance se réduit,

Attention, si deux côtés d'un triangles diminuent, le troisième peut augmenter lorsque la déformation n'est pas homothétique...

Avant de calculer, je m'étais laissé enfumer...B-)-
Qu'en pensez-vous?

Amicalement. jacquot

Oui, j'avoue avoir visualisé en coplanaire, triangles semblables qui "rétrécissent", sans aller plus loin.

Bonne journée.

As-tu remarqué que le résultat est plus que sensible à la position de k par rapport à 1 ? Autrement dit, si tu fais le calcul en te basant sur les paramètres de l'avion le plus lent le résultat d'Iknazeon est juste (ce qui se comprend aisément). Il y a donc un théorème d'Iknazeon dont les hypothèses sont à préciser.

Dans un problème de contrôle aérien, en régime de croisière des transporteurs, le facteur k = 0,4 est irréaliste, les avions volent tous entre 750 km/h et 1000 km/h. Va donc voir sur ce site. ; en comparant les vitesses des avions qui s'affichent, lorsque tu cliques sur une silhouette, tu trouveras une fourchette réaliste de celles-ci.

Au fait, Après cela, je songe cependant à annuler le vol que je dois faire ce printemps.

Bruno

Bruno, je te répondais pendant que tu modifiais ton message.
Voudrais-tu donner ta formulation du théorème de Bruno-Iknazeon?:D

Ne suffit-il point de prendre le problème brutalement : Si on a un avion en $A(t)$ et un autre en $B(t)$, alors $\frac{d}{dt}\|A(t)B(t)\|^2=2(AB(t)|AB'(t))$. La distance est stationnaire ssi $AB$ est orthogonal à $AB'$, c'est-à-dire que le vecteur qui joint les avions doit être orthogonal à leur vitesse relative. Si les avions se déplacent à vitesse constante sur deux droites, la vitesse relative est constante et on peut poursuivre le calcul si on a le courage. Comme c'est symétrique par rapport aux deux avions, je ne vois pas comment un théorème pourrait privilégier le plus rapide (notion qui dépend du repère de toutes façons*). Par contre, la distance des deux droites est visiblement un minorant de la distance minimale, et c'est sans doute en ce sens-là qu'il faut comprendre le théorème du contrôle aérien.

* Edit, bon ça c'est un argument un peu idiot, puisqu'on considère que les droites sont fixes...

Merci Remarque. C'est plus amusant de laisser l'analyste calculer sans approximations .

Bruno

Bonjour,
Voici un fac simile de l'écran d'un contrôleur du ciel rélaisée à l'aide du tableur de Geogebra :

contre-exemple présenté plus haut.
Il apparaît clairement que la distance est minimale avant que l'un des deux avions ne soit passé à l'intersection de leurs trajectoires.

Si les deux avions volent à des altitudes différentes, ça ne change rien, puisque ça revient à ajouter la constante $(\Delta h)^2$ au carré de la distance, ce qui ne modifie pas sa dérivée.

Maintenant, il serait intéressant de retrouver l'énoncé original d'un hypothétique "Théorème des contrôleurs du ciel" que, visiblement, Iknazeon a énoncé de façon incorrecte dans son message initial.
Bruno et remarque s'y sont essayés.

Pour ma part, je pense qu'il s'agit de quelque chose du genre:
"Sitôt que l'un des avions a dépassé le point d'intersection des trajectoires, on peut relâcher la surveillance, même si la distance relative des avions peut encore décroître un peu au-delà..."

Amicalement. jacquot

Pardon, remarque,
Je me suis mal exprimé.
Tu as parfaitement analysé le problème et tes considérations sur la psition initiale et la vitesse relative donnent un point de vue intéressant.

Simplement, je me demandais quelle est la loi qu'Iknazeon a lue ou entendue quelque part, et qu' il a énoncée fallacieusement dans son message initial...
Là, nous ne pouvons faire que des hypothèses.

Amicalement. jacquot.

remarque a écrit:

..Si les deux avions n'ont pas encore atteint leur croisement (...), il semble raisonnable de penser que leur distance décroît

Ben non, justement, c'est ce que je me suis appliqué à mettre en évidence avec mon contre-exemple, illustré par la figure ci-dessus.

Bonsoir,

Oui, c'est avec un petit dessin de ce genre que je me suis convaincu de mon idiotie.

Vu l'heure où tu avais envoyé ton message de réfutation, j'espère ne pas t'avoir causé une nuit blanche, Jacquot !

Bonjour
supposons qu'à un instant donné les avions soient en $B$ et en $C$ et se dirigent tous les deux vers le point $A$ à vitesses constantes $v_{1}$ et $v_{2}$ avec $k=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}<1$; supposons en outre que $\alpha =\widehat{BAC}$ soit aigu et que leur distance minimale soit atteinte quand ils sont respectivement en $B_{m}$ et $C_{m}$.
Sauf erreur de ma part, on a, si $\mu =\dfrac{AB}{AC}$,
$\dfrac{\overline{AB_{m}}}{\overline{AB}}=\dfrac{1}{\mu }\dfrac{\left( k-\mu \right) \left( k\cos \alpha -1\right) }{k^{2}-2k\cos \alpha +1}$
$\dfrac{\overline{AC_{m}}}{\overline{AC}}=\dfrac{\left( k-\mu \right) \left( k-\cos \alpha \right) }{k^{2}-2k\cos \alpha +1}$
ce qui d'ailleurs colle bien avec $\overrightarrow{B_{m}C_{m}}\perp \left( \overrightarrow{V_{2}}-\overrightarrow{V_{1}}\right) $.
Du coup aucun des deux n'aura dépassé le point $A$ quand leur distance sera minimale si et seulement si $\dfrac{\overline{AB_{m}}}{\overline{AB}}$ et $\dfrac{\overline{AC_{m}}}{\overline{AC}}$ sont tous les deux $>0$, soit si et seulement si $\dfrac{v_{1}}{v_{2}}<\min \left( \cos \alpha ,\frac{AB}{AC}\right) $ ce qui est parfaitement possible, même avec des vitesses voisines, pourvu que $\alpha $ soit assez petit
Cordialement. Poulbot