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Quatre cercles touchants

Envoyé par MomoFatou 
MomoFatou
Quatre cercles touchants
il y a sept années
bonsoir

Quatre cercles se touchant ou s'embrassant vérifient $$k^2 + m^2 + n^2 + p^2 = \frac 12(k + m + n + p)^2,$$ où $k,m,n,p$ sont les courbures !

Avec les compliments de M. Bignoll, qui revient des Seychelles
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
Bonsoir,

Où est la question ?
Où est le dessin ?

Cordialement,

Rescassol
MomoFatou
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
Bonsoir Rescassol

[attachment 27690 Image32.png]


Nakkash alias MomoFatou
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
$$2\Big(\frac 11+\frac14+\frac19+\frac1{36}\Big)=\Big(\frac 11+\frac12+\frac13-\frac 16\Big)^2$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par AD.
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
Un théorème de Descartes généralisé par Soddy et Gosset.
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
Et trois articles du Monthly en paquet bonus
[attachment 27691 Descartes.pdf]
[attachment 27692 Descartes_2.pdf]
[attachment 27693 Descartes_3.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Descartes.pdf (612.7 KB)
ouvrir | télécharger - Descartes_2.pdf (1.03 MB)
ouvrir | télécharger - Descartes_3.pdf (453.8 KB)
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
Bonjour
on peut également consulter le remarquable article de Coxeter sur ce sujet.
[attachment 27705 Coxeter.pdf]
Cordialement. Poulbot
bs
Re: Quatre cercles touchants
il y a sept années
avatar
Bonjour,

Comme rappelé dans les différents liens proposés, cette harmonieuse relation a été retrouvée en 1936 par Sir Frederick Soddy, Prix Nobel de chimie en 1921 pour ses travaux sur les isotopes.

Comme mentionné également dans les liens, Soddy a présenté "sa" découverte sous forme de poème intitulé The Kiss Precise
que voici :

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.

In Nature, June 20, 1936, sir Frederick Soddy.


Autre lien.

Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par bs.
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