courbe assez tordue

En attendant Monseigneur, je poste cette animation fournie par wims.

Bonjour
Un petit rappel : Si $\gamma:t\mapsto (x(t) ,y(t) , z(t))$ est deux fois dérivables en un point $s$ et si $\gamma'(s)$ et $\gamma "(s)$ ne sont pas colinéaires, alors le plan $\gamma(s) + \mathbb{R}\gamma '(s) + \mathbb{R}\gamma"(s)$ est appelé plan osculateur à $Im(\gamma)$ au point $\gamma(s).$

Objectif : obtenir directement une équation du plan osculateur en calculant un déterminant.
Soit $M(t)$ de coordonnées $(x(t), y(t), z(t))$.
La méthode propose d'obtenir directement une équation du plan osculateur en calculant un déterminant.
Le plan osculateur est un plan affine \(P\) a une équation \(aX+bY+cZ+d=0\) dans le repère utilisé, et sa direction est le plan vectoriel \(\vec{P}\) d'équation \(aX+bY+cZ=0\).
L'équation du plan osculateur est $\begin{vmatrix} X- x(t) & Y-y(t) & Z-z(t) \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y ''(t) & z''(t) \end{vmatrix} = 0$ et traduit le fait que le vecteur \(\overrightarrow{MN}\), où \(N\) est de coordonnées \((X,Y,Z)\) est coplanaire avec les vecteurs tangente et accélération.

Une autre façon de faire :
Puisque les inconnues sont $a,b,c,d$, il est nécessaire et suffisant de résoudre le système linéaire suivant :
$$ \left(\begin{array}{cccc}x(t) & y(t) & z(t)&1 \\ x'(t) & y'(t) & z'(t)&0 \\ x''(t) & y''(t) & z''(t)&0 \end {array}\right)\, \left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c\\d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).$$
Si le vecteur dérivé et le vecteur dérivé seconde sont linéairement indépendants, alors ce système est un système linéaire homogène de rang 3, qui admet une droite vectorielle comme ensemble de solutions.
L'équation du plan osculateur n'est définie qu'à un facteur près.

Quelle est l'équation du plan osculateur en un point de la courbe $\gamma$ de classe $\mathcal C^2$ définie dans l'espace projectif (de dimension 3) par les équations paramétriques:
$(X:Y:Z:T) = (f_1(t):f_2(t):f_3(t):f_4(t))$?
On pourra ensuite regarder ce qui se passe dans la carte affine $T =1$
Amicalement
Pappus

Je ne sais pas trop ce qu'est la définition d'une cubique gauche de l'espace projectif de dimension 3, sans doute celle d'une courbe algébrique non plane de l'espace qu'un plan quelconque coupe en 3 points.
Soit $\Gamma$ une telle cubique gauche et soient $A$ et $B$ deux points fixes de cette cubique.
Un plan $P$ passant par la droite $AB$ recoupe la cubique en un troisième point et un seul $M_P$ et il est clair que l'application
$\Delta_{AB} \longmapsto \mathcal E; P \mapsto M_P$ de la droite projective $\Delta_{AB}$ dans l'espace projectif $\mathcal E$ est rationnelle.
Une cubique gauche a donc une structure de droite projective dont il est facile de voir qu'elle ne dépend pas du choix des points $A$ et $B$.
Conclusion: toute cubique gauche est unicursale et la courbe de JLT n'est que l'une d'entre elles.
Amicalement
Pappus