3 hauteurs, un triangle
Bonjour,
C'est surement un grand classique, mais je ne trouve pas. Comment construire un triangle dont on connait les trois hauteurs ?
C'est surement un grand classique, mais je ne trouve pas. Comment construire un triangle dont on connait les trois hauteurs ?
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Réponses
Les longueurs des hauteurs $h_a, h_b, h_c$ du triangle $\triangle ABC$ sont les racines de l'équation :
$2Rx^3 -(p^2 + r^2 + 4rR)x^2 + 4p^2rx - 4p^2r^2 = 0.$
Les longueurs $a, b, c$ des côtés du triangle $\triangle ABC$ sont les racines de l'équation :
$x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4rR)x - 4prR = 0.$
Grâce aux formules de Viète, tu en tires des équations qui donneront $a, b, c.$
Des formules bien connues mais sont elles encore au programme, on a:
$a.h_a = b.h_b = c.h_c = 2S$
Les longueurs des côtés sont proportionnelles aux inverses des longueurs des hauteurs!
Donc etc......
Amicalement
Pappus
les (longueurs) des hauteurs sont inversement proportionnelles aux (longueurs) des côtés correspondants.
Toute méthode qui permet de construire l'inverse d'un nombre conduit, appliquée trois fois, à un triangle semblable à celui désiré.
La suite est facile.
On peut fabriquer "d"un coup" les trois inverses des hauteurs en utilisant la puissance du point P par rapport au cercle circonscrit comme dans le fil proposé par "o": ce n'est pas "tordu" de penser à "puissance" quand on pense à "inverse"!
Plus élégante, la méthode "duale": on construit un triangle T dont les côtés sont les hauteurs données; alors les hauteurs de T sont proportionnelles aux côtés du triangle désiré! Hélas cette méthode n'est pas universelle: elle ne marche que dans le cas où les hauteurs données vérifient l'inégalité triangulaire, ce qui n'est pas toujours le cas!
Cordialement
Paul
PS: pas étonnant que Pappus tire plus vite que moi!
Une fois ces conditions remplies ; il faut calculer le facteur de proportionnalité $2S$ en fonction de $(h_a,h_b,h_c)$.
Amicalement
Pappus
[La case LaTeX.
Oui tout ceci est exact, mais il faut quand même exprimer $S$ en fonction de $h_A, h_B$ et $h_C.$
@Pappus: Pour que le problème ait une solution, il faut (et il suffit), certes, que les inverses des hauteurs vérifient l'inégalité triangulaire, mais pour que la méthode "duale" fonctionne, il faut que T existe et donc il faut, de plus, que les hauteurs données vérifient l'inégalité triangulaire.
@Pappus et Bouzar: je me trompe sans doûte mais je ne vois pas qu'il y ait quoi que ce soit à calculer: une fois qu'on a tracé un triangle ABC semblable à celui désiré, ne suffit-il pas de marquer un point H sur la hauteur issue de A de ce traingle ABC (de telle façon que AH égale précisément la hauteur demandée dans l'énoncé), puis de tracer le triangle semblable à ABC dont AH est la hauteur pour assurer que ce dernier est bien le désiré?
Cordialement
Paul
Pour rassurer Pappus, on a bien vu les formules pour calculer la surface d'un triangle ...
o
Je maintiens ma position, quitte à ce qu'elle soit détruite par Pappus, Bouzar ou JLT qui sont jusqu'à lors pis que la..coniques depuis mon dernier message: c'est l'intérêt de ce forum que de pouvoir oser affirmer en prenant le risque d'être contredit et de devoir (éventuellement) reconnaître qu'on s'est planté!
Amicalement
Paul
D'accord avec depasse et JLT
"...une fois qu'on a tracé un triangle ABC semblable à celui désiré...", par exemple :$$\dfrac{a}{h_b}=\dfrac{b}{h_a}=\dfrac{c}{\dfrac{h_ah_b}{h_c}}$$
Ensuite faut discuter les conditions.
Amicalement.
et d'abord merci pour vos réponses;
ensuite, pour les "conditions" dont parle b.s, je ne vois pas qu'on puisse faire plus simple que d'énoncer:
"Etant donnés trois nombres (positifs), ils sont les longueurs des hauteurs d'un (unique) triangle si, et seulement si, leurs inverses vérifient l'inégalité triangulaire".
Bonne et chaude journée!
Paul
On ordonne $ h_a \geq h_b \geq h_c$, et alors on aura $ a \leq b \leq c.$
Analyse,
On dessine, si cela est possible, un triangle $AB'C'$ dont les côtés $B'C', C'A, AB'$ sont respectivement proportionnels à $h_bh_c, h_ch_a, h_ah_b$. On élève la hauteur $AH{_A'}$, puis on " marque un point $H_A$ sur la hauteur issue de $A$ de ce traingle $ABC$ " vérifiant $AH_A=h_a$, la parallèle à $(B'C')$ passant par $H_A$ coiupe $(AB')$ en $B$ et $(AC')$ en $C$. $ABC$ est le triangle recherché.
Synthèse : construction possible si $\mid AC - CB \mid < AB < AC + BC$ , c'est à dire si $h_a, h_b, h_c$ vérifient :
$$\mid h_ah_c - h_ch_b \mid < h_ah_b < h_ah_c + h_ch_b $$ ou encore $$ \mid \dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_a} \mid <\dfrac{1}{h_b} < \dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_a}$$
Comme on a ordonné $h_a \geq h_b \ geq h_c$, on peut supprimer ici les valeurs absolues.
Amicalement.
Cordialement
Paul