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3 hauteurs, un triangle

Envoyé par Utilisateur anonyme 
Utilisateur anonyme
3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Bonjour,

C'est surement un grand classique, mais je ne trouve pas. Comment construire un triangle dont on connait les trois hauteurs ?
[attachment 28003 3_hauteurs_1_triangle_bis.html].
(Dans ce fichier la hauteur EF est variable et dépend de D, si sa longueur est fixe, comment placer D ?)

Il y bien cette méthode, mais pour l'instant je ne comprends pas comment l’idée de faire comme cela peut germer. [www.flickr.com]
Merci,
o
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Je pense qu'il faut comprendre : construire un triangle dont on connait les longueurs des trois hauteurs.
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Bonjour

Les longueurs des hauteurs $h_a, h_b, h_c$ du triangle $\triangle ABC$ sont les racines de l'équation :
$2Rx^3 -(p^2 + r^2 + 4rR)x^2 + 4p^2rx - 4p^2r^2 = 0.$

Les longueurs $a, b, c$ des côtés du triangle $\triangle ABC$ sont les racines de l'équation :
$x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4rR)x - 4prR = 0.$

Grâce aux formules de Viète, tu en tires des équations qui donneront $a, b, c.$
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Il me semble quand même qu'il y a quelques conditions à respecter.
Des formules bien connues mais sont elles encore au programme, on a:
$a.h_a = b.h_b = c.h_c = 2S$
Les longueurs des côtés sont proportionnelles aux inverses des longueurs des hauteurs!
Donc etc......
Amicalement
Pappus
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Bonjour,
les (longueurs) des hauteurs sont inversement proportionnelles aux (longueurs) des côtés correspondants.
Toute méthode qui permet de construire l'inverse d'un nombre conduit, appliquée trois fois, à un triangle semblable à celui désiré.
La suite est facile.
On peut fabriquer "d"un coup" les trois inverses des hauteurs en utilisant la puissance du point P par rapport au cercle circonscrit comme dans le fil proposé par "o": ce n'est pas "tordu" de penser à "puissance" quand on pense à "inverse"!
Plus élégante, la méthode "duale": on construit un triangle T dont les côtés sont les hauteurs données; alors les hauteurs de T sont proportionnelles aux côtés du triangle désiré! Hélas cette méthode n'est pas universelle: elle ne marche que dans le cas où les hauteurs données vérifient l'inégalité triangulaire, ce qui n'est pas toujours le cas!
Cordialement
Paul

PS: pas étonnant que Pappus tire plus vite que moi!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par depasse.
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Ce sont les inverses des longueurs des hauteurs qui doivent vérifier l'inégalité triangulaire.
Une fois ces conditions remplies ; il faut calculer le facteur de proportionnalité $2S$ en fonction de $(h_a,h_b,h_c)$.
Amicalement
Pappus

[La case LaTeX. :) AD]
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Bonjour
Oui tout ceci est exact, mais il faut quand même exprimer $S$ en fonction de $h_A, h_B$ et $h_C.$
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Grillé par pappus :)-D
JLT
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Avec $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$ et en remplaçant $a$, $b$, $c$ par $2S/h_a$, etc. on peut exprimer $S$ en fonction de $h_a,h_b,h_c$.
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Rebonjour,

@Pappus: Pour que le problème ait une solution, il faut (et il suffit), certes, que les inverses des hauteurs vérifient l'inégalité triangulaire, mais pour que la méthode "duale" fonctionne, il faut que T existe et donc il faut, de plus, que les hauteurs données vérifient l'inégalité triangulaire.
@Pappus et Bouzar: je me trompe sans doûte mais je ne vois pas qu'il y ait quoi que ce soit à calculer: une fois qu'on a tracé un triangle ABC semblable à celui désiré, ne suffit-il pas de marquer un point H sur la hauteur issue de A de ce traingle ABC (de telle façon que AH égale précisément la hauteur demandée dans l'énoncé), puis de tracer le triangle semblable à ABC dont AH est la hauteur pour assurer que ce dernier est bien le désiré?
Cordialement
Paul
Utilisateur anonyme
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Merci pour toutes les reponses et desole de repondre un peu tard mais j'etais a l'ecole. Je vais voir ce que je peux faire avec tout ca.
Pour rassurer Pappus, on a bien vu les formules pour calculer la surface d'un triangle ...

o
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Bonsoir "o" ou peut-être bonne nuit!

Je maintiens ma position, quitte à ce qu'elle soit détruite par Pappus, Bouzar ou JLT qui sont jusqu'à lors pis que la..coniques depuis mon dernier message: c'est l'intérêt de ce forum que de pouvoir oser affirmer en prenant le risque d'être contredit et de devoir (éventuellement) reconnaître qu'on s'est planté!
Amicalement
Paul
JLT
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
@depasse : je suis d'accord avec toi.
bs
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Bonjour,

D'accord avec depasse et JLT :)

"...une fois qu'on a tracé un triangle ABC semblable à celui désiré...", par exemple :$$\dfrac{a}{h_b}=\dfrac{b}{h_a}=\dfrac{c}{\dfrac{h_ah_b}{h_c}}$$

Ensuite faut discuter les conditions.

Amicalement.
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Bonjour,
et d'abord merci pour vos réponses;
ensuite, pour les "conditions" dont parle b.s, je ne vois pas qu'on puisse faire plus simple que d'énoncer:
"Etant donnés trois nombres (positifs), ils sont les longueurs des hauteurs d'un (unique) triangle si, et seulement si, leurs inverses vérifient l'inégalité triangulaire".
Bonne et chaude journée!
Paul
bs
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
avatar
Bonjour,

On ordonne $ h_a \geq h_b \geq h_c$, et alors on aura $ a \leq b \leq c.$

Analyse,

On dessine, si cela est possible, un triangle $AB'C'$ dont les côtés $B'C', C'A, AB'$ sont respectivement proportionnels à $h_bh_c, h_ch_a, h_ah_b$. On élève la hauteur $AH{_A'}$, puis on " marque un point $H_A$ sur la hauteur issue de $A$ de ce traingle $ABC$ " vérifiant $AH_A=h_a$, la parallèle à $(B'C')$ passant par $H_A$ coiupe $(AB')$ en $B$ et $(AC')$ en $C$. $ABC$ est le triangle recherché.

Synthèse : construction possible si $\mid AC - CB \mid < AB < AC + BC$ , c'est à dire si $h_a, h_b, h_c$ vérifient :
$$\mid h_ah_c - h_ch_b \mid < h_ah_b < h_ah_c + h_ch_b $$ ou encore $$ \mid \dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_a} \mid <\dfrac{1}{h_b} < \dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_a}$$
Comme on a ordonné $h_a \geq h_b \ geq h_c$, on peut supprimer ici les valeurs absolues.

[attachment 28027 trihau.JPG]


Amicalement.
Utilisateur anonyme
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Merci, c'etait la notion de "puissance d'un point par rapport a un cercle" qui me manquait. Maintenant j'ai compris le truc pour obtenir les inverses. Voila un fichier geogebra pour traiter le probleme
[attachment 28028 3_hauteurs_1_triangle_ter.html]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 3_hauteurs_1_triangle_ter.html (7 KB)
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Et si on partait d'un triangle dont les côtés sont les hauteurs qu'on connaît ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
@ gairequin: c'est le coup de ma méthode "duale" (voir plus haut) : elle ne marche que si les hauteurs vérifient l'inégalité triangulaire.
Cordialement
Paul
Re: 3 hauteurs, un triangle
il y a six années
Oops, j'avais pas vu ;)
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