Droites parallèles.

mathematixor · July 2013

Bonsoir,
Je cherche à démontrer la propriété suivante "Si deux droites sont coupées par une sécante en formant deux angles alternes internes égaux alors elles sont parallèles."
Donc Je vais essayer de la démontrer par l'absurde. Je suppose que les deux droites sont sécantes en un point c par exemple formant un angle non nul, et que la sécante forme avec ces deux droites deux angles alternes-internes égaux. Voir la figure suivante :
img.php?i=130702063113457770.jpg]

Première méthode:
On a ^ABE^+^ABC^=180 Et ^ABE^=^BAC^
Donc dans le triangle ABC , ^BAC^+^ABC^+^ACB^ =180+^ACB^ > 180 ( absurde)
NB: ^ ^ c'est pour les angles.

Deuxième méthode:
^ABE^+^ABC^=180 Et ^ABE^=^BAC^
Dans le triangle ABC, ^BAC^+^ABC^+^ACB^ =180
On déduit de la première et la deuxième ligne que ^ACB^=0 (absurde car l'angle est non nul ).
Ma question est la suivante ; Est-ce-que ma deuxième méthode est juste ? Merci d'avance.

nicolas.patrois · July 2013

L’angle bleu en B est égal à l’angle bleu en A plus le rouge.

Braun · July 2013

@ Nicolas,
S'agit-il d'angles de droites ou de vecteurs?
Je suis tout désorienté :S

nicolas.patrois · July 2013

D’angles géométriques (de collège, quoi).

mathematixor · July 2013

Merci nicolas pour ta réponse, oui justement mais si on dit que l'angle rouge est nul ça relève une absurdité ?

gerard0 · July 2013

Non :

Si l'angle est nul, CA et CB sont des demi-droites confondues, donc les deux droites sont parallèles.

Cordialement.

mathematixor · July 2013

Merci gerad pour ta réponse.
Oui mais au départ j'ai supposé que les deux droites étaient différentes et sécantes et donc forment un angle non nul !!

mathematixor · July 2013

Alors personne ?

Bruno · July 2013

Bonjour mathematixor.

J'interviens un peu après la bagarre me semble-t-il mais j'aimerais savoir dans quel cadre géométrique tu t'es placé.

Je m'explique :
\begin{enumerate}
\item Si tu te situes en géométrie absolue c'est-à-dire les axiomes du livre I des éléments d'Euclide sauf le postulat des parallèles ou l'un de ses équivalents, tu n'as aucune chance de pouvoir démontrer ton résultat qui est exactement la forme presque originelle de ce cinquième postulat. Pour preuve, je te fais remarquer que tu utilises la somme des angles d'un triangle qui vaudrait un plat $(180^\circ$ ou $\pi)$ et l'on sait depuis les travaux de Legendre et de Lobatchevski datant du début du XIX$\rm^e$ siècle que c'est un énoncé équivalent à celui du cinquième postulat.

\item Si tu te situe dans le cadre de la géométrie d'Euclide avec le cinquième postulat, on applique alors tranquillement la somme des angles d'un triangle ce qui implique que la somme de deux de ses angles est strictement moindre que l'angle plat ; or si les angles alternes-internes sont égaux, les angles intérieurs et d'un même côté sont supplémentaire et ne peuvent pas être les angles d'un triangle.

Quant à ta seconde méthode, elle me paraît correcte.

Bruno

mathematixor · July 2013

Bonjour Bruno,
Merci pour ta réponse claire et complète . Oui je me situe dans le cadre de la géométrie d'Euclide , je voulais savoir si ma deuxième méthode était correcte, c'est-à-dire si à partir de ACB=0 ( l'angle est nul) on pouvait relever l'absurdité et tu l'as confirmé contrairement à Gerard; donc merci à toi , à nicolas et gerard pour vos réponses.
mathematixor.

Bouzar · July 2013

Bonjour
On suppose que les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{EBA}$, dits alternes-internes, sont égaux.
Soit $I$ le milieu de $[AB].$ Considérons la symétrie centrale de centre $I$
On sait que le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
Ainsi la symétrie centrale de centre $I$ transforme la droite $(AC)$ en une droite parallèle $(UV)$ passant par $B.$
On sait de plus que deux droites parallèles et une sécante déterminent des angles alternes-internes de même mesure.
Ainsi, on a :
$\widehat{CAB}=\widehat{UBA}.$
Or $\widehat{CAB} = \widehat{EBA}.$
On déduit $\widehat{EBA} = \widehat{UBA}.$
Les deux angles $\widehat{EBA}$ et $\widehat{UBA}$ sont dans le même demi-plan de frontière AB, qui ne contient pas AC ; ils ont même sommet, $B$, et un côté commun, $BA$.
Ils coïncident donc et ainsi $(UV) = (EB)$ et par conséquent, les droites $(AC)$ et $(EB)$ sont parallèles.
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