Trois disques dans un triangle équilatéral

Domi · July 2013

Bonsoir à tous

Un petit problème vu sur un autre site :

29017

Juge Ti · July 2013

Bonjour Domi,

Je trouve $20\sqrt{3}(\sqrt[3]{2}-1)\approx 9.003929$.

Domi · July 2013

Bonsoir Juge Ti , c'est aussi mon résultat pour l'approximation 9,003929...

Bravo pour l'expression avec les radicaux , comment la justifies-tu ?

Domi

samok · July 2013

Purée, c'est chaud !
J'ai déjà du mal à voir pourquoi la configuration est unique.

S

Domi · July 2013

Salut Samok

Il faut un peu d'entraînement pour aborder sereinement les sangakus , ça ressemble à un exercice de collège , mais ce n'en vraiment pas un . Ici on arrive quand même à se convaincre assez facilement de l'unicité de la solution .

La racine cubique annoncée par le Juge laisse présager une solution assez sophistiquée

Domi

Juge Ti · July 2013

J'ai un peu honte de ma méthode dénuée de toute subtilité : avec Al-Kashi j'ai exprimé les longueurs des côtés des trois petits triangles en fonction de deux d'entre elles (le côté gauche du triangle du bas et le côté droit du triangle du haut), j'ai calculé leurs aires, et j'ai utilisé la formule donnant le rayon du cercle inscrit en fonction de l'aire et du périmètre $r=2S/(a+b+c)$.

Ensuite j'ai Maple a gentiment résolu le système $r_1=r_2=r_3$, qui se ramène à une équation du troisième degré avec une unique solution réelle, ce qui montre au passage l'unicité de la configuration. Une fois les longueurs de tous les côtés obtenues, il a suffi d'appliquer la formule donnant le rayon du cercle exinscrit $R=2S/(-a+b+c)$ et de simplifier.

Vu la simplicité du résultat final, je suppose qu'il y a une méthode plus simple et plus élégante, mais je ne la vois pas du tout. Si nos experts passent par ici, ils la trouveront peut-être.

Domi · July 2013

Dénué de subtilité , si on veut

J'attends de voir si on peut faire plus court . Si les solutions des sangakus sont toujours relativement simples , les moyens pour les établir sont souvent laborieux ( Maple ne doit pas être autorisé

) .

Domi

poulbot · July 2013

Bonjour
une question toute bête : comment faire la figure? (en supposant que l'on dispose d'un logiciel qui trace des coniques, genre Cabri ou Geogebra, car une construction à la règle et au compas est impossible)
Bien cordialement. Poulbot

poulbot · July 2013

Voici une possibilité

$AB=BC=CA=CU=UV=a$
$H$ est sur le cercle de diamètre $\left[ AV\right] $ et sur l'hyperbole équilatère de centre $A$ , asymptote $AC$ et passant par $V$; $H^{\prime }$ est la projection de $H$ sur $AC$. Le centre $J$ du cercle dont on demande le diamètre$\left( d=a\sqrt{3}\left( \root{3}\of{2}-1\right) \right) $ est sur la médiatrice de $\left[ CH^{\prime }\right] $ et sur la parallèle en $C$ à $AB$. Le reste en découle facilement.
Il semblerait, en tout cas, qu'il faille résoudre le problème avant de pouvoir faire exactement la figure.
Bien cordialement. Poulbot 29030

jacquot · July 2013

Bonjour,
Voici une figure ajustable (plugin). On peut déplmacer la point M
Il semblerait que les angles aient des valeurs simples, mais je ne sais pas le démontrer

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<title>Sangaku - GeoGebra Feuille de travail dynamique</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta name="generator" content="GeoGebra" />
<style type="text/css"></style>
</head>
<body>
<table border="0" width="610">
<tr><td>
<h2>Sangaku</h2>
<p>
</p>

<applet name="ggbApplet" code="geogebra.GeoGebraApplet" archive="geogebra.jar"
codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/"
width="610" height="578"mayscript="true">
<param name="ggbBase64" value="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"/>
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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Click here to install Java now</a>)
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<p>
</p>
<p><span style="font-size:small">jacquot, Créé avec <a href="http://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a></span></p></td></tr>
</table></body>
</html>

Domi · July 2013

Bonsoir Jacquot

Je n'arrive pas à voir ton image mais s'il s'agît d'une illustration de la figure initiale , les angles n'ont pas des valeurs simples :

29033

jacquot · July 2013

Voici mon image figée après un essai d'ajustement:

29034

Domi · July 2013

En effet le problème présente pas mal de pièges

Un angle très proche du demi-droit , un diamètre très proche de 9 cm , deux bissectrices intérieures et extérieures pratiquement dans le prolongement l'une de l'autre , ...

Ce problème doit être particulièrement épouvantable sans outil informatique .

Domi

poulbot · July 2013

Bonjour
avec les notations de Domi et sauf erreur
$\tan a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( 3+2\root{3}\of{2}+2\root{3}\of{4}\right) $
$\tan b=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( 1+2\root{3}\of{4}\right) $
ce qui n'est pas très parlant.
Cordialement. Poulbot

jacquot · July 2013

Le présence de $\root{3}\of{2}$ dans l'expression du diamètre calculé par Juge Ti montre bien que la figure n'est pas constructible à la règle et au compas. Cela aurait dû m'alerter : mon angle de 22,5° est évidemment faux.
Je ne vois pas de meilleure solution que celle de Juge Ti (tu).

Domi · July 2013

Ma méthode est assez proche de celle du Juge et on peut y arriver sans Maple en trichant un tout petit peu .

En notant $x=tan(\hat{a})$ et $y=tan(\hat{b})$ l'égalité des côtés du triangle se traduit par :
$\displaystyle{y=x-\sqrt{3}-\frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{3}x-1}}$ et $\displaystyle{x-\frac{\sqrt{3}x+1}{x-\sqrt{3}}-\frac{y+\sqrt{3}}{\sqrt{3}y-1}-\frac{\sqrt{3}y-1}{y+\sqrt{3}}=0}$ .
Si on a du courage on remplace $y$ dans la deuxième équation et on arrive à : $3\sqrt{3}x^6-54x^5+107\sqrt{3}x^4-252x^3+77\sqrt{3}x^2-38x+5\sqrt{3}=0$ .

L'équation a trois racines "évidentes" : $\displaystyle{\frac 1{\sqrt{3}}, \frac 3{\sqrt{3}},\frac 5{\sqrt{3}}}$ .

donc $(3x-\sqrt{3})(3x-3\sqrt{3})(3x-5\sqrt{3})(3x^3-9\sqrt{3}x^2+3x-\sqrt{3})=0$

L'unique racine réelle du facteur de degré 3 est $\displaystyle{x=\frac{3+2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}{\sqrt{3}}}$ et on peut éliminer les trois autres .

Après c'est facile , le rayon d'un petit cercle est $\displaystyle{r=\frac{20}{\sqrt{3}+x}}$ et celui du grand $\displaystyle{R=r.\frac{\sqrt{3}x+3}{\sqrt{3}x-1}=20\sqrt{3}(\sqrt[3]{2}-1)}$ .

On est quand même assez loin de l'idée que je me fais d'un beau problème de géométrie même si on peut voir un énoncé simple avec une solution complexe

Domi

Archimède · July 2013

La solution approximative qui semble erronée !

29051

Domi · July 2013

En effet l'arrondi n'est pas terrible .

Autant on peut louer l'intention de donner aux télespectateurs un peu de maths ludiques au petit déjeuner ( qui oserait ça en France ) , autant on peut critiquer le choix du problème et sa solution forcément tronquée .

Il est quand même assez amusant de voir qu'on peut créer facilement un petit problème difficile avec presque rien . On pourrait par exemple voir ce qui se passe si on inscrit seulement deux disques ou trois ou quatre , dans le triangle initial ...

J'ai personnellement découvert les sangakus sur ce site il y a quelques années et les rechercher est vraiment devenu une détente régulière .

Domi

Trois disques dans un triangle équilatéral

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