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construction de l'antipode

Envoyé par soland 
soland
construction de l'antipode
05 octobre 2013, 18:09
Bonjour.

J'ai une grande boule dont la surface sert de tableau noir et un compas qui me permet de dessiner des cercles sur la sphère.

Quelqu'un connaît-il une construction (au compas seul) du point antipode d'un point donné ?

Merci

soland
Re: construction de l'antipode
06 octobre 2013, 01:04
avatar
Je ne la connais pas, mais rien que l'idée de faire de la géométrie sur une sphère m'intéresse....
Re: construction de l'antipode
18 octobre 2013, 11:01
avatar
Je relance le fil.

Mon idée est que la construction est impossible parce qu'une projection stéréographique centrée au point donné transforme la sphère en droite projective complexe et que les points distincts de $\infty$ sont tous équivalents modulo les similitudes.

Mais je n'arrive pas à rédiger une preuve rigoureuse.

soland.
Re: construction de l'antipode
20 novembre 2013, 18:18
avatar
Bonsoir :D

Je n'avais pas vu ce problème que je découvre par le lien de Jacquot . Je connais une construction simple de l'antipode en utilisant un vrai tableau ( plan ) en plus de la sphère et du compas .

Domi
Re: construction de l'antipode
20 novembre 2013, 18:49
avatar
Ce problème me tarabsute depuis longtemps. Quelle est cette construction simple ?
Re: construction de l'antipode
20 novembre 2013, 19:50
avatar
Tu notes $M$ le point dont tu cherches l'antipode . Sur la sphère tu traces un cercle de centre $M$ et tu choisis trois points $A,B,C$ sur ce cercle . Après tu fais un petit saut vers ton tableau plat , tu reproduis ton triangle $ABC$ et tu construis $O$ le centre de son cercle circonscrit .

Tu traces la perpendiculaire à $(AO)$ en $O$ et sur cette droite tu places un point $M$ avec $AM$ pris sur la sphère et le point $M'$ tel que $AMM'$
soit un triangle rectangle en $A$ .

Il n'y a plus qu'à reporter la longueur $AM'$ sur la sphère .

Je n'ai pas le courage d'illustrer sad smiley

Domi
Re: construction de l'antipode
20 novembre 2013, 19:59
avatar
Bien vu ! Une espèce de rabattement.

Question évidente : peut-on le faire en restant sur la sphère ?
Re: construction de l'antipode
20 novembre 2013, 23:00
avatar
Bonsoir soland,

Dis-moi si ça marche:
Je cherche l'antipode du point P (pôle).
Je trace un cercle de centre P le plus grand possible Il sera en-deçà de l'équateur.
Je place trois points K,L M sur ce cercle, Puis je construis les points A, B, C comme indiqué ci-dessous
[attachment 30634 Antipode.png]

à égale distance de P, donc aussi à égale distance de son antipode P'. Si mon compas est assez grand, ils sont dans l'hémisphère opposée à P ; ils pourraient même être proches de P'.

On pourrait alors terminer avec la construction que tu indiques dans Construction au compas seul...
À condition qu'elle reste valable sur la sphère.

Amicalement. jacquot



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/11/2013 23:42 par jacquot.


Re: construction de l'antipode
21 novembre 2013, 01:22
Bonjour,

j'avais déja pensé à un truc comme ca, malheureusement la construction du centre d'un cercle au compas seul (une des constructions, il y a plusieurs méthodes) ne s'applique pas sur la sphère il me semble. (les propriétés utilisées pour la démonstration font intervenir des vraies droites et des vraies distances "Euclidiennes")

on est un peu dans le même cas que : partager un cercle en 3 arcs égaux.
c'est facile dans le plan, en restant sur la sphère c'est un challenge ...
Re: construction de l'antipode
21 novembre 2013, 09:39
avatar
Bonjour,
Il ne s'agit pas ici de retrouver le centre perdu d'un cercle, mais de construire le centre du cercle circonscrit d'un triangle.
soland en a présenté une, avec le compas seul, qui s' articule sur l'inversion.

Il.me semble qu'elle reste valide sur la sphère.
Amicalement. jacquot
Re: construction de l'antipode
21 novembre 2013, 15:25
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