Mon idée est que la construction est impossible parce qu'une projection stéréographique centrée au point donné transforme la sphère en droite projective complexe et que les points distincts de $\infty$ sont tous équivalents modulo les similitudes.
Mais je n'arrive pas à rédiger une preuve rigoureuse.
Je n'avais pas vu ce problème que je découvre par le lien de Jacquot . Je connais une construction simple de l'antipode en utilisant un vrai tableau ( plan ) en plus de la sphère et du compas .
Tu notes $M$ le point dont tu cherches l'antipode . Sur la sphère tu traces un cercle de centre $M$ et tu choisis trois points $A,B,C$ sur ce cercle . Après tu fais un petit saut vers ton tableau plat , tu reproduis ton triangle $ABC$ et tu construis $O$ le centre de son cercle circonscrit .
Tu traces la perpendiculaire à $(AO)$ en $O$ et sur cette droite tu places un point $M$ avec $AM$ pris sur la sphère et le point $M'$ tel que $AMM'$
soit un triangle rectangle en $A$ .
Il n'y a plus qu'à reporter la longueur $AM'$ sur la sphère .
Dis-moi si ça marche:
Je cherche l'antipode du point P (pôle).
Je trace un cercle de centre P le plus grand possible Il sera en-deçà de l'équateur.
Je place trois points K,L M sur ce cercle, Puis je construis les points A, B, C comme indiqué ci-dessous Construction au compas seul...
À condition qu'elle reste valable sur la sphère.
j'avais déja pensé à un truc comme ca, malheureusement la construction du centre d'un cercle au compas seul (une des constructions, il y a plusieurs méthodes) ne s'applique pas sur la sphère il me semble. (les propriétés utilisées pour la démonstration font intervenir des vraies droites et des vraies distances "Euclidiennes")
on est un peu dans le même cas que : partager un cercle en 3 arcs égaux.
c'est facile dans le plan, en restant sur la sphère c'est un challenge ...
Bonjour,
Il ne s'agit pas ici de retrouver le centre perdu d'un cercle, mais de construire le centre du cercle circonscrit d'un triangle. soland en a présenté une, avec le compas seul, qui s' articule sur l'inversion.
Il.me semble qu'elle reste valide sur la sphère.
Amicalement. jacquot
Réponses
Mon idée est que la construction est impossible parce qu'une projection stéréographique centrée au point donné transforme la sphère en droite projective complexe et que les points distincts de $\infty$ sont tous équivalents modulo les similitudes.
Mais je n'arrive pas à rédiger une preuve rigoureuse.
soland.
Je n'avais pas vu ce problème que je découvre par le lien de Jacquot . Je connais une construction simple de l'antipode en utilisant un vrai tableau ( plan ) en plus de la sphère et du compas .
Domi
Tu traces la perpendiculaire à $(AO)$ en $O$ et sur cette droite tu places un point $M$ avec $AM$ pris sur la sphère et le point $M'$ tel que $AMM'$
soit un triangle rectangle en $A$ .
Il n'y a plus qu'à reporter la longueur $AM'$ sur la sphère .
Je n'ai pas le courage d'illustrer :-(
Domi
Question évidente : peut-on le faire en restant sur la sphère ?
Dis-moi si ça marche:
Je cherche l'antipode du point P (pôle).
Je trace un cercle de centre P le plus grand possible Il sera en-deçà de l'équateur.
Je place trois points K,L M sur ce cercle, Puis je construis les points A, B, C comme indiqué ci-dessous
Construction au compas seul...
À condition qu'elle reste valable sur la sphère.
Amicalement. jacquot
j'avais déja pensé à un truc comme ca, malheureusement la construction du centre d'un cercle au compas seul (une des constructions, il y a plusieurs méthodes) ne s'applique pas sur la sphère il me semble. (les propriétés utilisées pour la démonstration font intervenir des vraies droites et des vraies distances "Euclidiennes")
on est un peu dans le même cas que : partager un cercle en 3 arcs égaux.
c'est facile dans le plan, en restant sur la sphère c'est un challenge ...
Il ne s'agit pas ici de retrouver le centre perdu d'un cercle, mais de construire le centre du cercle circonscrit d'un triangle.
soland en a présenté une, avec le compas seul, qui s' articule sur l'inversion.
Il.me semble qu'elle reste valide sur la sphère.
Amicalement. jacquot