Construction au compas seul
Réponses
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Bonjour soland,
Je n'ai pas regardé ta construction de près, mais n'est-elle pas exploitable pour trouver l'antipode d'un point de la sphère que tu cherchais il y a quelques temps?
Amicalement. jacquot -
Si c'est le cas, je n'ai pas trouvé.
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Bonjour Soland
si j'ai bien compris, il faut choisir "visuellement" les bons points $d,e$, les mauvais étant les symétriques de $c$ par rapport au milieu de $\left[ ab\right] $ et de $b$ par rapport au milieu de $\left[ ac\right] $.
De plus, il est préférable que $o^{\prime }$ soit à l'extérieur du cercle d'inversion, sinon la construction de son inverse est assez pénible (surtout s'il est proche du centre du cercle)
En tout cas, c'est très astucieux et plus rapide que chercher le point commun à deux médiatrices
Cordialement. Poulbot -
@poulbot
c et d sont du même côté de la droite ab.
La construction classique nécessite 3 cercles de même rayon "idoïne" centrés en a, b, c, le tracé de deux médiatrices et le tracé du cercle circonscrit.
C'est un peu plus court que la construction donnée ici, mais le compas est tellement plus élégant et précis.
Je me rappelle que la première partie provient d'un matheux bien connu (pas Morley...), mais qui ?
Cordialement. -
Bon, soland, je pose la question autrement:
Cette construction reste-t-elle valide sur une sphère?
Si oui, je pense que nous sauronsz résoudre le problème de l'antipode.
Amicalement. jacquot -
Merci Soland
j'ignore qui est ton matheux bien connu mais je sais Georg Mohr, vers $1660$, avait procédé ainsi ;
- Construire la projection orthogonale $B^{\prime }$ de $B$ sur $AC$
- Utiliser la relation $R=\dfrac{BC.BA}{2.BB^{\prime }}$ pour construire $R$
Cordialement. Poulbot -
Comment démontre-t-on cette formule de Mohr ?
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Ce n'est pas l'abbé Mascheroni, le matheux inconnu ?
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Bonjour,
pas pour cette construction ci.Ce n'est pas l'abbé Mascheroni, le matheux inconnu ?
il a donné une construction du centre d'un cercle étant donné ce cercle
pas d'une construction étant donné trois points d'un cercle pas encore tracé.
cette derniere construction il la propose via les médiatrices et via la construction du point d'intersection de deux droites définies par deux points de la droite, au compas seul, qui est une vraie abomination.
(il renvoie à chaque étape à une construction antérieure et donc la construction finale effective est un magma de cercles dans tous les sens)
comme Napoléon a donné une construction différente de celle de Mascheroni pour le centre d'un cercle déja tracé, peut être bien que cette construction ci est de Napoléon aussi, qui sait. -
Bonjour
je mettrais bien une piécette sur Steiner au vu de l'énorme quantité de résultats qui lui sont dus. En outre, il connaissait l'inversion.
A ce propos, quelqu'un sait-il qui fut à l'origine de l'introduction de l'inversion?
Cordialement. Poulbot -
Bonjour,
Giusto Bellavitis, je crois.
bien cordialement
kolotoko -
Bonjour kolokoto
c'est aussi ce que je croyais jusqu'à ce que je constate que UNIVERSALIS l'attribue à Steiner (1824).
Cordialement. Poulbot -
@poulbot
Merci pour lae calcul de R
Pour l'inversion, il faudrait consulter Mathematical Thought from Ancient to Modern Times de Morris Kline. Dans mes souvenirs, on la doit à Jakob Steiner, dans ses travaux de 1824 publiés avec quelque retard.
Ni Mohr, ni Mascheroni ne pouvaient justifier la seconde partie de la construction par inversion (Euclides Danicus (1672) et Geometria del compasso, 1797, à Pavie). Il existe cependant une justification par triangles semblables.
Cordialement. -
@poulbot, merci pour la construction de R
Pour l'invention de l'inversion, il s'agit de Jakob Steiner en 1824 (dans mes souvenirs). Il faudrait consulter Mathematical Thought From Ancient to Modern Times de Morris Kline.
Mohr et Mascheroni auraient pu justifier la seconde partie de la construction via des triangles semblables.
Cordialement. -
Pour la construction de Mascheroni c'est celle là :
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Et la justification par triangles semblables de la seconde partie de la construction initiale
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Bonjour
cette construction est-elle vraiment due à Napoléon?
On peut en douter au vu de ces deux pages tirées du Journal de Mathématiques Elémentaires de 1878 :
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Je reprends un fil perdu dans les profondeurs des archives.
On donne une sphère S et l'un de ses points p. construire, au compas, l'antipode q de p sur S. -
Mon idée est de tracer l'intersection C de S et du plan médiateur de [pq]. La suite est alors facile.
Pour tracer C, l'ouverture du compas doit être $R \sqrt{2}$, où $R$ est le rayon de S.
On peut reporter 4 fois cette ouverture sur C (contre 6 fois si l'on travaillait dans le plan).
D'où la procédure suivante.
(1) Tracer un cercle K pas trop éloigné de C avec une ouverture $r=|NE|$
(2) Reporter $r$ deux fois sur K, de part et d'autre de E, ce qui donne les points F, G, F', G'.
(3) Diviser (hors sphère...) GG' en 4.
(4) Remplacer $r$ par $r+|GG'|/4$.
Un premier calcul montre une convergence rapide vers la solution.
A améliorer... -
L'énoncé demande à être précisé.
"On donne une sphère S", mais sous quelle forme ?
Donne-t-on une représentation plane de la sphère ? Si oui de quelle façon ?
Ou se donne-t-on un ballon rond dans l'espace ?
Si l'on dispose d'un grand cercle C passant par p comme sur la 1ère figure, c'est facile.
On note a et b l'intersection avec C d'un petit cercle de centre p.
Alors q est l'intersection avec C de médiatrice du segment [a,b] .
Mais on a utilisé la règle en plus du compas... -
La première figure ne montre pas un grand cercle.
J'imagine une sphère qui a la même qualité de surface qu'un tableau noir et un compas laissant des traces fines de craie.
Plutôt un ballon rond; mais alors bien rond.
Tester la perfection d'une sphère est difficile...
Si l'on peut transposer les distances sur une surface plane auxiliaire, un peu de calcul fait l'affaire.
Je cherche une construction traçable sur la sphère elle-même; donc pas de règle. -
Voici un lien vers l'ancienne discussion
Nous pourrions fusionner. Soland y voit-il un inconvénient ?
(
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