Triangle à coordonnées entières

Bonjour soland,

Je crois que j'ai écrit beaucoup d'âneries hier, c'était la Saint Confucion dé la Moultiplicacion y Divicion

Je reprendrai la réflexion.
Amicalement. jacquot

Bonjour,

Dans le même ordre d'idée : Montrer que les sommets d'un triangle équilatéral ne peuvent pas avoir de coordonnées entières dans un repère orthonormal direct du plan.

A+

bonsoir,

je pense avoir enfin montré que les nombres non-obliques sont bien ceux qui n'ont aucun diviseur premier égal à $1$ modulo $4$:

1)
a)Tout premier $p$ égal à $1$ (modulo $4$) est la longueur d'un segment oblique à extrémités entières : en effet il est la somme de deux carrés et non nuls et distincts. $p=u^2+v^2$ est donc l'hypothénuse du triangle rectangle de côtés de l'angle droit $2uv$ et $u^2-v^2$ (l'un parallèle à un axe, l'autre à l'autre), hypothénuse bien oblique puisque ni $2uv$ ni $u^2-v^2$ ne sont nuls.

b)Il est clair que si un entier est la longueur d'un segment à extrémités entières, il en va de même pour tout multiple de cet entier.

conclusion: tout entier qui admet un diviseur premier égal à $1$ (modulo $4$) est la longueur d'un segment oblique.

2) Supposons qu'existe un entier $q$ n'admettant aucun diviseur premier égal à $1$ (modulo $4$) et pourtant longueur d'un segment oblique à extrémités entières.
On a $q=u^2+v^2$; quitte à diviser $u$ et $v$ par $(u,v)$ on peut les considérer étrangers.
Soit $r$ un diviseur premier impair de $q$, donc égal à $3$ (modulo $4$); On a $u^2+v^2=0$ (modulo $r$), ce qui est absurde car d'une part $-1$ n'est pas un carré (modulo $r$) et d'autre part $u$ et $v$ sont étrangers. Ainsi notre malheureux $q$, s'il existe, est une puissance de $2$ vu que, par hypothèse, il n'a pas de diviseur premier égal à $1$ (modulo $4$) et qu'on vient de montrer qu'il n'en a pas non plus d'égal à $3$ (modulo $4$).

(D(i)eux, qu'il est pénible que tous les nombres premiers ne soient pas impairs!:X).

- $q$ ne peut être $1$ car $u$ ou $v$ serait $0$, cas exclus d'entrée de jeu;
- $q$ ne peut être $2$ car $u$ et $v$ seraient $1$ et donc égaux, cas exclus d'entrée de jeu;
- $q$ ne peut être multiple de $4$ car la somme de deux carrés étrangers est (modulo $4$) $1$ ou $2$.

Euh, il doit y avoir plus simple.

En tout cas $q$ n'existe pas et donc:

Un entier est la longueur d'un segment oblique si et seulement si il a un diviseur premier égal à $1$ (modulo $4$).

A bientôt
Paul

@Soland
Je ne suis pas sûr de bien comprendre ton "Deux côtés obliques" dans ton message ci-dessus:
Un triangle $T$ rectangle en $O$ dont les côtés de l'angle droit sont portés par les axes n'a qu'un côté oblique (son hypothénuse), mais peut-être assures-tu qu'alors il existe toujours un segment oblique qui a la même longueur qu'un des côtés de l'angle droit de $T$, autrement dit peut-être assures-tu que tout triangle à côtés et sommets entiers a au plus un côté dont la longueur est un nombre sans diviseur premier égal à $1$ (modulo $4$).
Eclaire moi s'il te plaît:)
Paul