Construire un quadrilatère
Bonjour,
Une question sur un autre forum m'a parru intéressante.
On connait un quadrilatère par la longueur de ses côtés et son aire.
Construire ce quadrilatère.
Une solution intéressante a été proposée, mais j'en ai trouvé une autre qui me parait plus simple.
Avis aux amateurs.
Une question sur un autre forum m'a parru intéressante.
On connait un quadrilatère par la longueur de ses côtés et son aire.
Construire ce quadrilatère.
Une solution intéressante a été proposée, mais j'en ai trouvé une autre qui me parait plus simple.
Avis aux amateurs.
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Réponses
Un cas particulier intéressant est celui où l'aire $S$ du quadrilatère est maximum $S = S_{max}$.
Quelle est la valeur de $S_{max}$ en fonction des longueurs des côtés $a = AB$, $b = BC$, $c = CD$, $d = DA$?
Comment construire un tel quadrilatère?
Evidemment si $S >S_{max}$, il n'y a pas de solution.
Il reste le cas $0 <S<S_{max}$ dont je suppose que tu vas bientôt nous exposer ta construction.
Amicalement
Pappus
La solution que j'ai lue consiste à calculer la tangente de l'angle entre les deux diagonales. La formule est peu connue, et c'est pas cette solution qui me parait intéressante. Voila la mienne.
Soit un triangle, si on déplace un sommet sur la parallèle au côté opposé, on ne modifie pas l'aire.
Soit un quadrilatère, si on dépalace un sommet sur la parallèle à la diagonale qui est le côté opposé du sommet, on ne modifie pas l'aire.
Donc le jeu consiste à construire le quadrilatère en modifiant les sommets parallèlement à la diagonale correspondante.
Donc, la méthode, on construit le carré d'aire S. A partir d'un sommet, on déplace le sommet suivant parallèlement à la diagonale en appliquant la distance connue, et on continue de proche en proche.
Là, j'avoue ma honte, bien que le problème soit théoriquement possible, il semble que ça converge assez lentement. Graphiquement, j'ai abandonné, mais je n'ai pas essayé par programme.
[paragraphe HS supprimé]
Bonne nuit.
Ce n'est même pas un algorithme correct, puisque tu ne dis pas comment modifier concrètement tes points pour que cela "converge".
Au fait, par qui a été proposée la solution "intéressante" dont tu parles au premier post ?
Je pensais avoir été clair et précis dans mon explication.
Soit un triangle ABC.
Si je trace la parallèle à BC passant par A, alors si le point A se déplace sur cette parallèle, l'aire du triangle ABC reste invariante.
San le cas présent, on a un point D précisé par ailleurs. la distance AD est connue, donc on peut tracer 2 points A1 et A2 par intersection d'un cercle de centre D et de rayon DA connu avec la parallèle ci-dessus décrite. Il y a naturellement 2 solutions.
Ces points sont modifiés les uns après les autres à partir du quadrilatère nouvellement créé, jusqu'à obtenir une solution definitive après convergence.
Concernant la formule à laquelle j'ai fait allusion, de mémoire, elle est de la forme
S=(a² + b² - c² -d²) . tanA
C'est de mémoire et sans garantie.
Mais j'aimerais mieux que tu me dises franchement que ce que je dis ne t'intéresse pas.
J'avoue n'avoir rien compris à ta méthode qui ne m'a pas l'air très constructive!
Peux-tu nous donner le nom du site où tu as trouvé ce problème?
Amicalement
Pappus
Le site où j'ai vu ce calcul est un site de math, y'avait une référence dans un message que j'ai regardé, petit détail, je me souviens juste qu'il y avait un '@' dans le nom du site.
Concernant ma méthode, qui par ailleurs ne présente aucun intérêt sur le plan pratique, je ferai (demain ... aujourd'hui) un petit module qui le calcule.
Ces méthodes de calcul par approximations successives sont très intéressantes en général, et avec l'informatique, sont en plus très économiques et très sûres (petit exemple, l'intersection de 3 sphères). J'ai en tête un autre exemple très précis.
Cordialement.
Il est dommage que tes constructions soient aussi floues que tes souvenirs!
Amicalement
Pappus
En prenant l'une des diagonales comme inconnue, j'obtiens une équation monstrueuse mais bicarrée.
La construction est donc possible à la règle et au compas.
Il y a deux bornes pour l'aire, celle du quadrilatère inscrit et une autre, petite mais pas toujours nulle.
Cordialement.
Pour ce qui concerne l'intersection de trois sphères, je ne vois pas pourquoi aller chercher des approximations successives, à part pour le plaisir.
Voilà une fonction Matlab, facilement traduisible en n'importe quoi, vite faite ce matin qui utilise un calcul direct:
On prend un quadrilatère de sommets (0,0), (a,0), (x,y), (u,v), on exprime les contraintes de distance (avec b,c,d les longueurs des deuxième, troisième et quatrième côtés), le fait que l'aire (algébrique) est égale à S. Calculs en Sage : on trouve un équation du second degré en x.
Le sujet sur l'intersection de 3 sphères a été evoqué dernièrement, il résultait d'une colle proposée par CC, et j'ai honte de m'être laissé avoir comme un gamin. Mais par aileurs, j'ai parcouru un peu ce forum à la recherche du mot clé sphère et j'ai eu l'occasion de lire un truc assez étonnant. Bref, vaut mieux pas insister.
Concernant la méthode d'itération, même pour des fonction calculables, non seulement elle a fait ses preuves et surtout elle est particulièrement adaptée au traitement informatique.
Enfin, c'est pas la peine de me parler de logiciels comme Scilab, Matlab, Sage ou autres, Je ne les ai pas (pardon y'en a bien 2 ou 3 qui trainent dans ma machine mai je ne les utilise pas).
Mais pas du tout, une référence serait bienvenue pour une fois.
Bruno
J'ai pas pour habitude de noter les anomalies, mais ça ne m'empêche pas de m'en souvenir.
Voila ce dont il s'agit (c'est une discussion ancienne, (c'est à dire dans la partie archives).
Pour le calcul d'une position à partir d'un GPS, l'intersection calculée à partir de 3 satellites donne un point unique (sauf naturellement celui qui de trouve de l'autre côté).
Il est écrit que l'observation d'un quatrième satellite permet de déterminer l'intersection du cercle résultant du calcul à partir des 3 premiers avec la terre, autrement dit lever l'indétermination.
Ben non, les mesures sont faites à partir de 4 satellites au moins de façon à connaitre la précision probable du résultat.
Puisque tu parles de références, à celles que j'ai données à telle ou telle occasion, j'ai eu des réponses du type "qui c'est celui-là ?", "il publie sous un pseudo", "c'est plysicien, normal qu'il prèche pour sa paroisse", "tu donnes toujours des références qui t'arrangent" ou même citer 2 bouts de phrase d'un livre de 400 pages pour pouvoir dire "donc j'avais raison".
Par ailleurs, je sais que c'est très mal vu, et à juste titre, de donner des références sur d'autres forums. Donc, concernant les références, soit je m'abstiens, soit je suis très prudent.
Au bout de 5 passages, j'obtiens une précision de 1/5000.
Le module est à la disposition de ceux que ça intéresse.
Mon esemple numérique
AB=43.00
BC=63.50
CD=56.00
AD=86.80
S=3522.75
Le propre du "bon scientifique" est d'adapter ses méthodes aux problèmes, d'éventuellement en essayer plusieurs, et de dire 'celle là est mieux' avec des arguments solides. Le "bon scientifique" connaît la plupart des langages et logiciels scientifiques et n'utilise pas son ignorance comme argument.
Quant au problème du GPS, nous l'avons posé à l'école des mines d'Alès l'an dernier en projet d'analyse numérique. Effectivement, en dernière question, il était question de quatre satellites et il fallait trouver une solution approchée, c'est à dire un point proche de quatre sphères approximativement concourantes.
Cordialement,
Rescassol
PS: Je n'ai jamais prétendu être le prototype du "bon scientifique", j'essaie seulement.
Concernant l'intersection de 3 sphères, rassure-toi, j'ai fait 2 modules, l'un par méthode itérative, l'autre par méthode numétique exacte, et oh surprise, ça donne les mêmes valeurs.
D'abord, je ne suis pas un "bon scientifique". Cela n'empêche que je connais pas mal de langages et plus de logiciels que tu sembles le supposer.
Pourquoi j'utiliserais ces logiciels que j'ai chargé "pour voir" alors que je peux résoudre les problèmes posée en écrivant moi-même le module nécessaire ? D'aimlleurs à ce propos, j'ai suffisemment d'outils pour résoudre ce dont j'ai besoin. Avec Scilab, Matlab qui sont des "boites à outils" tu ne peux pas faire beaucoup plus que des applicatifs ponctuels, type simulation.
Enfin, à propos du GPS, quand tu as trouvé une "solution approchée" qu'est'ce que tu en fais, c'est celle là que tu donnes, ou tu essaye de trouver la solution "la plus probable" et si oui, comment tu fais ?
Déja il semble qu'on ait oublié comment on le fait en 2D, alors en 3D !!!
Et quels sont les comportements respectifs sur les exemples mal foutus, où il n'y a "presque" pas de solution ?
Je précise qu'en ce qui me concerne, j'ai donné mon code. Ce qui prouve que tu ne connais pas les logiciels que tu ne connais pas, ce qui est somme toute normal. Evite alors d'avoir un avis dessus.
Matlab est un véritable langage qui permet de faire du numérique, du formel, des IHM, de la programmation objet, et du C. La "plus probable", comme on te l'a déjà dit, n'a pas de sens tant que tu n'as pas précisé de quelle loi de probabilité tu parles.
Qui a oublié le 2D ? Pas moi. En tout cas, ça faisait partie du début du projet dont je parlais.
Cordialement,
Rescassol
Je ne vois pas le rapport avec notre discussion ; j'ai demandé une référence parce que j'ignore précisément quel est le \og\ truc assez étonnant \fg\ que tu dis avoir lu sur ce forum.
\og\ L'autre côté \fg\ de quoi ? Du plan des centres des sphères, mais connaît-on ce plan ? Chaque satellite se trouve sur une sphère centrée en un point $M$ dont on cherche la position et de rayon mesuré à partir du signal du dit satellite. Bien entendu, le plan de l'horizon du point $M$ assure que les trois satellites se trouvent en fait sur trois demi-sphères, mais cela fait une inconnue de taille sur ce plan des centres ; en dehors de l'éventualité où ces trois points seraient presque alignés. C'est pour cela que le quatrième satellite est indispensable pour déterminer le point $M$. Ensuite, la méthode impose effectivement des ajustements puisqu'on part de distances qui sont connues avec une certaine imprécision... Il me semble me souvenir que tu as prétendu pouvoir en remontrer aux physiciens sur les calculs d'incertitude !
Donc je n'ai pas les réponses à mes questions légitimes, mais je sais que c'est une de tes habitudes de glisser à autre chose.
A bon entendeur, salut !
Bruno
Par ailleurs j'ai bien compris le(s) message(s).
Et alors ? Tu trouves que l'attitude qui consiste à dire "je dis ce que je veux dans mon coin, tant pis si ça n'a pas de sens, et si on me fait une remarque, je me vexe et je boude", c'est rationnel ?
Cordialement,
Rescassol
Autre solution : A(0,0) B(43,0) C(46.87, 63.38) D(-4.04, 86.7)
Il n'y a visiblement pas unicité du résultat...
Oui Léon, j'avais les points d'intersection de deux cercles, j'en ai choisi un au hasard.
Cordialement,
Rescassol
Je propose une construction qui parait assez difficile. Je n'ai pas noté la source, et à la demande de Bruno, j'ai expliqué pourquoi, avec des arguments.
La solution strictement analytique est difficile et j'ai précisé dès le début qu'elle existait, mais que c'était pas celle là qui m'intéressait.
La méthode qui consiste à modifier la forme d'un triangle sans changer son aire me paraissait intéressante. J'ai voulu en faire profiter des membres de ce forum, ça n'a pas plu, j'en prends acte. C'est tout.
Par ailleurs, j'ai bien noté au passage que le calcul d'un point par observation GPS relève plus de l'astrologie que du calcul mathématique rigoureux. C'est une raison suffisante pour ne pas avoir de GPS.
Pour le problème précis faisant l'objet de ce topic, je crois aussi qu'il y a deux solutions, dans le cas général (ou zéro comme on me l'a fait justement remarquer).
Un dernier point, la méthode que j'ai exposée est à la portée d'un élève qui sait calculer une distance et une intersection droite-cercle. C'est accessoirement un intérêt de cette méthode, très utilisée en calcul numérique..
Tu es toujours aussi vague: Construction pas claire, pas de source, difficile, tu le dis, mais on ne sait pas pourquoi, la solution analytique existe, tu ne la donnes pas et elle ne t'intéresse pas, bon, pas grand chose dans tout ça. Pas plus clair, tu ne donnes pas les détails de ton algorithme, et encore moins ton code. Je ne vois pas ce que vient faire l'astrologie dans l'histoire, et les GPS ont prouvé leur efficacité, bon, avec un zeste de relativité. je te rappelle que ta question initiale était de "construire" le quadrilatère, pas de le "calculer".
Enfin, je rappelle que nous sommes sur un forum de géométrie et que je suis le seul à avoir donné une figure. Dois je en déduire que pour toi la géométrie n'a pas besoin de figure ?
En ce qui concerne ta méthode, donne ton code, qu'on puisse juger sur pièces.
Cordialement,
Rescassol
Bruno
Très flatté d'être déclaré avoir proposé un sujet récent sur les sphères, mais je ne m'en souviens absolument pas -D Par contre, merci de cette sortie, tu m'invites à en proposer un
La formule citée par dlzlogic à 12:41 le 16/02/2014 doit être corrigée
Si le quadrilatère convexe ABCD a pour cotés AB=a, BC=b, CD=c, DA=d et A pour angle des diagonales, son aire S = (b² + d² - a² - c²) tan(A) / 4
(Ne pas oublier le 1/4)
Où trouve-t-on une preuve de cette formule avec tangente ?
Merci.
Je pensais avoir décrit l'algorithme clairement. Voila le code.
C'est pas toi qui m'a proposé une colle sur les distances entre points calculées à l'aide du rang des lettres ?
Si c'est pas toi, alors accepte mes excuses.
Pour dzllogic :
- un algorithme écrit en français serait plus sympatique qu'un bout de code.
- de manière plus générale, pourquoi ne pas respecter tes interlocuteurs, en particulier en ne déformant pas leurs propos quand tu t'y réfères ou quand tu les rapportes ?
pour les amateurs de gros calculs, une vérification à faire qui donne une construction pas trop difficilement réalisable, mais probablement pas la meilleure.
On part des points $A$ et $B$ et du rectangle $ABB^{\prime }A^{\prime }$ d'aire celle du quadrilatère à construire.
Posant $\lambda =a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2},\mu =\dfrac{a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}}{\lambda }$, on considère les points $F$ et $F^{\prime }$ de la droite $AB$ pour lesquels $\overline{AF}\cdot \overline{AB}=\mu ,\overline{FF^{\prime }}\cdot \overline{AB}=\dfrac{\lambda }{4}$.
Alors, si $U$ est la projection orthogonale de $F^{\prime }$ sur $A^{\prime }B^{\prime }$, on a $UD\perp UF$, ce qui permet de compléter la figure.
Amicalement. Poulbot
Il y a des données apppochées et les concepteurs ont mis au point un algorithme parfaitement déterministe qui donne une solution. L'utilisateur n'a pas besoin de connaître l'algorithme. Evidemment, on ne demande pas à un pilote de savoir ce qu'il y a sous le capot.
En ce qui concerne ton code, tout n'est pas clair encore une fois:
Si je veux le compiler, je me sers de quoi ?
Passons sur le fait que je n'aime pas le mélange de C et C++ qui sont deux langages différents, bien qu'ayant des parties communes.
Le premier commentaire dit: "un quadrilatère connaissant la longueur des 3 côtés", je dirais 4.
Dans la fonction dis_seg, que veut dire "à gauche" pour des points 3D ?
D'ailleurs, pourquoi n'utilises tu pas des points 2D ?
Quelle est la différence entre le type Point3D et le type UnPoint.
Plus précisément, ton code n'est pas autosuffisant, puisque tu ne donne pas tes classes
Le mien sur les 3 sphères était autosuffisant.
Que fait exactement la fonction InterPPC (elle n'est pas commentée) ?
etc...
Cordialement,
Rescassol
D'abord, j'ai recopié mon code tel quel avant de l'envoyer. En d'autres termes, les commentaires, je les ai écrits pour mon usage personnel et je m'autorise quelque fois des fautes de frappe. Je suppose n'importe quel compilateur type gcc. Mon compilateur, c'est Borland. Ceci est une vieille discussion, donc sans issue. Comme dit au début, je m'autorise quelque fois de fautes de frappe pour des commentaires à usage personnel. J'ai eu la flemme de faire un nouveau type. J'ai utilisé un projet existant pour un module qui ne servira qu'une fois et donc parfaitement inutile.
typedef struct Point3D
{
double x;
double y;
double z;
Point3D(double X, double Y, double Z){x=X; y=Y; z=Z;}
Point3D(){x=0; y=0; z=0;}
} UnPoint;
Que fait cette ligne :
A=inv([b1 c1; b2 c2])*[-d1; -d2];
J'ai déjà vu pas mal de langages, mais cette fonction et cette syntaxe je ne peux les rattacher à rien que je connaisse. (mais j'ai tout de même deviné) Je l'ai écrite uniquement pour les besoins du présent module.
Soit un segment BD, un point A n'appartenant pas à BD, et une distance d.
Le but est de calculer les coordonnées de N, intersection de la parallèle à BD passant par A et du cercle centré en D de rayon d.
Je calcule la distance signée, de A à BD,
Je calcule la distance dDH, H étant la projection orthogonale de N sur BD
Je calcule les coordonnées de H
Enfin les coordonnées de N.
Quelles sont les données de départ?
Que calcule-ton à l'arrivée? Avec quelle méthode?
Amicalement
Pappus
@ soland :
Soit I l'intersection des diagonales et angle AIB=Alpha (angle supposé aigu de ces diagonales).
La formule classique de l'aire : 2S = AC.BD sin(Alpha) est obtenue en projetant B et D sur AC.
on décompose AC.BD = (AI+IC)(BI+ID) = AI.BI + BI.CI + CI.DI + DI.AI
Dans le triangle AIB : AB² = AI² + BI² - 2.AI.BI cos(Alpha), soit
AI.BI = (AI² + BI² -AB² ) / ( 2cos(Alpha))
Puis trois formules par permutations circulaires sur les triangles BIC, CID, DIA
comme les cosinus changent de signe, on obtient en additionnant :
4S = ( -AB² + BC² - CD² + DA²) tan(Alpha)
Le nom Matlab est l'abréviation de "Matrix Laboratory", le "Mat" ne veut pas dire "mathématiques".
Matlab possède donc beaucoup de fonctions de traitement de matrice.
La ligne $A=inv([b1 \space c1; b2 \space c2])*[-d1; -d2];$ signifie qu'on affecte à A le produit de deux matrices.
La première est la matrice inverse (fonction inv, mais $A=[b1 \space c1; b2 \space c2]^{-1}*[-d1; -d2];$ fonctionne aussi) de la matrice dont les lignes (séparées par un point virgule) sont $[b1 \space c1]$ et$ [b2 \space c2]$.
La deuxième est le matrice unicolonne contenant $-d1$ et $-d2$.
C'est donc une simple résolution de système $2\times2$.
Pour avoir un point particulier de la droite intersection de deux plans, j'ai choisi arbitrairement $z=0$, quand c'était possible, sinon $x=0$, sinon $y=0$.
Je regarderai ton code d'un peu plus près plus tard, mais je ne sais pas ce qu'est "TMainform", ça doit être spécifique à Borland car ce n'est ni du C standard, ni du C++ standard, ça m'étonnerait que gcc comprenne.
En ce qui concerne la formule suivante, voilà la démonstration:
L'aire du quadrilatère est la somme des aires des triangles $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$.
L'aire d'un triangle $ABC$ est donnée par la formule $Aire(ABC)=\dfrac{1}{2}AB \times AC \times sin(\widehat{BAC})$
Donc $Aire(ABCD)=\dfrac{1}{2}(xy+yz+zt+tx)sin(\alpha)$.
D'autre part, Al kashi (n'en déplaise à RC) nous dit que:
$a^2=x^2+y^2+2xy \space cos(\alpha)$, $b^2=y^2+z^2-2yz \space cos(\alpha)$
$c^2=z^2+t^2+2zt \space cos(\alpha)$, $d^2=t^2+x^2-2tx \space cos(\alpha)$
En exprimant successivement $xy$, $yz$, $zt$, $tx$ dans ces $4$ relations et en reportant dans l'aire de $ABCD$ précédente, on obtient :
$Aire(ABCD)=\dfrac{1}{2}(a^2-x^2-y^2+y^2+z^2-b^2+c^2-z^2-t^2+t^2+x^2-d^2)\times \dfrac{sin(\alpha)}{2cos(\alpha)}$
Donc $Aire(ABCD)=\dfrac{tan(\alpha)}{4}(a^2-b^2+c^2-d^2)$.
Cordialement,
Rescassol
Sniff, grillé par Juad :X
Cordialement,
Rescassol
Il y a un petit problème avec cette formule!
Quel est son intérêt quand $AB^2-BC^2+CD^2-DA^2 = 0$?
Amicalement
Pappus
Dans ce cas, Pappus, puisque l'aire de $ABCD$ n'est pas nulle, il faut bien que $tan(\alpha)$ soit infini, d'où les diagonales orthogonales.
Cordialement,
Rescassol
Pappus, pour ma figure, je n'ai pas résolu le problème, j'ai triché parce que voulais une figure pour réfléchir.
Je fais partie des gens qui ont besoin de dessins pour faire de la géométrie.
J'ai mis $A$ à l'origine, $B$ en $(43,0)$ puisque $AB=43.0$.
J'ai tracé le cercle $C_1$ de centre $A$ et de rayon $86.8$ où sera $D$ puisque $DA=86.8$.
J'ai tracé le cercle $C_2$ de centre $B$ et de rayon $63.5$ où sera $C$ puisque $BC=63.5$.
J'ai mis un curseur $t$, placé le point $D$ sur $C_1$ d'angle polaire $t$ et tracé le cercle $C_3$ de centre $D$ et de rayon $56$ puisque $CD=56$.
Le point $C$ est alors un des points d'intersection de $C_2$ et $C_3$.
J'ai alors tracé le quadrilatère $ABCD$ et fait afficher son aire, puis j'ai fait varier $t$ à la souris pour obtenir une aire de $3522.75$.
Dès que je m'approchais de la solution, mais que c'était trop sensible aux variations, je diminuais l'amplitude de $t$ et je recommençais, et ceci jusqu'à ce que j'obtienne une précision suffisante..
D'une certaine façon, c'est un algorithme qui tourne à la main.
Cordialement,
Rescassol
A propos de figure, ben oui, j'en ai fait une, mais j'ai avoué dès le début de ce topic que j'avais renoncé au tracé manuel.
J'ai l'impression que je n'ai pas été clair dans l'explication de ma méthode.
Soit le problème suivant, on a un triangle ABC quelconque.
Construire (règle et compas) un triangle AB'C tel que AB' ait une longueur donnée et que l'aire de AB'C soit égale à l'aire de ABC.
Bon, on avance.
Bien que tes choix de noms de points ne soient pas terribles, cette construction est claire.
Il faut préciser que ton cercle coupe ta parallèle en un deuxième point, il y a donc dans ce cas deux solutions.
Avec quel logiciel as tu fait ta figure ?
Maintenant que cette brique de ton algorithme est claire, il faudrait revenir à l'algorithme lui-même, avec éventuellement une figure montre une étape de la boucle.
Cordialement,
Rescassol
Voici la construction de Poulbot :
On a $a=43.0$ $b=63.5$ $c=56.0$, $d=86.8$ et $S=3522.75$, puis $A(0,0)$, $B(a,0)$, $\lambda=a^2+d^2-b^2-c^2$, $\mu =\dfrac{a^2d^2-b^2c^2}{\lambda}$, $F\left(\dfrac{\mu}{a},0\right)$, $U\left(\dfrac{4\mu+\lambda}{4a},\dfrac{S}{a}\right)$.
La droite orthogonale à $(FU)$ passant par $U$ coupe le cercle de centre $A$ et de rayon $d$ en $D_1$ et $D_2$.
Le cercle rouge est de centre $B$ et de rayon $b$.
Les cercles verts sont de centres respectifs $D_1$ et $D_2$ et de rayon $c$.
Chaque cercle vert coupe le cercle rouge, ce qui donne $C_1$ et $C_2$.
Les autres points d'intersection sont éliminés car donnant des quadrilatères croisés.
Il reste à valider cette construction.
Cordialement,
Rescassol
Mon cher Rescassol
Bien sûr car on a l'identité:
$AB^2-BC^2+CD^2-DA^2 = 2\langle \overrightarrow{AC}\mid\overrightarrow{DB}\rangle$
Mais dans ce cas la formule de Juad ne peut plus servir à calculer l'aire.
J'appelle $S$ l'aire algébrique du quadrilatère $ABCD$, (pour une orientation choisie du plan).
Alors $S=\dfrac 12[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}]$ où $[\bullet,\bullet]$ désigne le produit mixte de deux vecteurs.
On en déduit immédiatement:
$16S^2+(AB^2-BC^2+CD^2-DA^2 )^2 =4 \langle \overrightarrow{AC}\mid\overrightarrow{DB}\rangle^2+4[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}]^2=4AC^2.BD^2$
On en déduit la formule de Juad puisque:$2S = \pm AC.BD.\sin(\theta)$ où $\theta$ désigne l'angle des diagonales $AC$ et $BD$.
Ainsi $4AC^2.BD^2= \dfrac{16S^2}{\sin^2(\theta)}$
Donc $16S^2(\dfrac 1 {\sin^2(\theta)}-1) = 16S^2 \cot^2(\theta)= (AB^2-BC^2+CD^2-DA^2 )^2 $ et enfin:
$S= \pm\dfrac{(AB^2-BC^2+CD^2-DA^2)\tan(\theta) }4$ qui est la formule de Juad.
Mais on a plus:en appliquant l'inégalité de Ptolémée: $AC.BD\le AB.CD+BC.AD$ avec égalité si et seulement si les points $A$, $B$, $C$, $D$ et le quadrilatère $ABCD$ convexe, on obtient:
$16S^2\le 4(ac+bd)^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2 =(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$
Amicalement
Pappus
Oui, Pappus, mais tu aurais pu aller jusqu'à la formule de Brahmagupta, qui généralise celle du patapon.
Cordialement,
Rescassol
Pour être convaincu de la construction de Poulbot, j'ai fait la démarche suivante:
Je suis parti d'un quadrilatère $ABCD$ quelconque, j'ai mesuré les longueurs $a= AB$, $b= BC$, $c= CD$,$d = DA$ et l'aire $S= Aire(ABCD)$.
Puis j'ai effectué la construction de Poulbot pour voir ce qu'elle donnait mais je me suis planté sans doute à cause de la fatigue et de ma nervosité.
Il va falloir que je fasse ma sieste!
Par contre, je vais essayer de comprendre les pourquoi et les comment de la construction de Poulbot qui nous étonnera toujours!
Dans le même ordre d'idée s'impose la construction du quadrilatère $ABCD$ dont les longueurs des côtés sont données et d'aire maximum. D'après ce que j'ai dit, cela revient à construire un quadrilatère dont les longueurs des côtés sont données et inscriptible dans un cercle.
C'est un problème très célèbre qui fut résolu en son temps par un grand mathématicien français beaucoup plus connu par ses travaux en Algèbre que dans la modeste géométrie du triangle.
Quel est ce grand mathématicien?
Et quelle fut sa solution?
Amicalement
Pappus
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