Une cubique circulaire

Re bonjour,

Je viens de lire le message de soland sur les coordonnées sphériques homogènes $(z_0,z_1)$. A mon avis, il vaut mieux utiliser les coordonnées homogènes de Morley $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}$ $\vz:\vt:\vzz$: comment travailler sur des courbes circulaires sans disposer des ombilics ?

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Question de Rescassol (969587). Comment ont été choisis $F_{1}:(-3,0)$, $F_{2}:(3,0)$, $F_{3}:(-1,4)$ ?
Réponse: en utilisant un triangle 3,1,$\sqrt{10}$: les points sont sur un cercle centré en $\left(0,1\right)$. Et on vérifie que $F_{4}=(-2479+1804i)/841$ est dessus. Les calculs à la main seraient simplifiés en partant d'un triangle $3,4,5$.

Deux remarques concernant la mise en équation. Puisque les quatre $F_{j}$ sont cocycliques, le paramètre naturel du problème est le turn du quatrième foyer. Par ailleurs, la direction du point à l'infini est la moyenne géométrique des directions des quatre rayons vecteurs: pour accéder au point à l'infini lui même, il nous faut $\def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\etd{:\:\mathrm{etc}}$ $\sqrt{z_{A}}\etc$. Nous partons donc de $A,B,C$ ramenés sur le cercle unité et nous posons $z_{A}=\alpha^{2}\etc$. L'équation \[ \mbox{AM}u+\mbox{BM}v+\mbox{CM}w=0\] se rationalise en \[ \mbox{AM}^{4}u^{4}-2\,\mbox{AM}^{2}\mbox{BM}^{2}u^{2}v^{2}-2\,\mbox{AM}^{2}\mbox{CM}^{2}u^{2}w^{2}+\mbox{BM}^{4}v^{4}-2\,\mbox{BM}^{2}\mbox{CM}^{2}v^{2}w^{2}+\mbox{CM}^{4}w^{4}=0\] et il n'y a plus qu'à introduire les relations de Pythagore $ \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} $:\[ \mbox{AM}^{2}=\left(\vz-\vt\alpha^{2}\right)\left(\vzz\alpha^{2}-\vt\right)\div\vt^{2}\alpha^{2}\etc\] pour obtenir la quartique voulue.

Son terme dominant est \[ \left(u-v-w\right)\left(u-v+w\right)\left(u+v-w\right)\left(u+v+w\right)\times\alpha^{4}\beta^{4}\gamma^{4}\vz^{2}\vzz^{2}\] Nous avons donc une quartique bi-circulaire... sauf si $\pm u\pm v\pm w=0$. On paramétrise à titre temporaire par \[ u:v:w\simeq1:t:-1-t\] et l'on obtient une cubique (circulaire).

On cherche les foyers $F$ en écrivant que les isotropes $F\Omega^{\pm}$ sont en contact avec la courbe: on écrit les discriminants et ceux-ci ont la politesse de se factoriser. On constate que $A,B,C$ sont des foyers, le quatrième étant le point \[ D\simeq\left(\begin{array}{r} \left(\beta^{2}t-\gamma^{2}t+\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)^{4}\alpha^{4}\beta^{4}\gamma^{4}\\ \left(\beta^{2}t-\gamma^{2}t+\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}\left(\alpha^{2}\beta^{2}t-\alpha^{2}\gamma^{2}t+\alpha^{2}\beta^{2}-\beta^{2}\gamma^{2}\right)^{2}\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}\\ \left(\alpha^{2}\beta^{2}t-\alpha^{2}\gamma^{2}t+\alpha^{2}\beta^{2}-\beta^{2}\gamma^{2}\right)^{4}\end{array}\right)\] On voit immédiatement que $D$ est sur le cercle unité... et que la paramétrisation en $t$ doit être remplacée au plus vite.

Paramétrons $D$ par $\tau^{2}:1:1/\tau^{2}$. On obtient alors: \[ t=\dfrac{\left(\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)\left(\alpha\gamma-\beta\tau\right)\beta}{\left(\beta^{2}-\gamma^{2}\right)\left(\alpha\tau-\beta\gamma\right)\alpha}\] Plus précisément, pour $D$ fixé, on obtient deux valeurs pour $t$ et l'on passe de l'une à l'autre en changeant $\tau$ en $-\tau$. On reparamètre la cubique. Moyennant une simplification par $\left(\sigma_{1}^{2}s_{4}-\sigma_{3}^{2}\right)$ que l'on suppose donc non nul, on obtient une expression symétrique en $\alpha,\beta,\gamma,\tau$:\begin{multline*} \Gamma\left(\alpha,\beta,\gamma,\tau\right)=4\,\left(\sigma_{1}^{2}\sigma_{4}-\sigma_{3}^{2}\right)\left(\vzz\sigma_{4}-\vz\right)\left(\vt^{2}+\vz\vzz\right)+\vt\times facteur \qquad\qquad \qquad \mathrm{avec}\quad facteur=\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\, \left(8\,\sigma_{1}\sigma_{3}\sigma_{4}^{2}-4\,\sigma_{2}\sigma_{3}^{2}\sigma_{4}+\sigma_{3}^{4}\right)\vzz^{2}+\left(\sigma_{1}^{4}-4\,\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}+8\,\sigma_{1}\sigma_{3}\right)\vz^{2}+2\,\left(2\,\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}\sigma_{4}-\sigma_{1}^{2}\sigma_{3}^{2}-8\,\sigma_{1}\sigma_{3}\sigma_{4}+2\,\sigma_{2}\sigma_{3}^{2}\right)\vz\vzz\end{multline*}

[hrule]

Étude de la cubique. Le terme en $\vt^{3}$ est nul: toutes les cubiques passent par l'origine. Lorsque \[ \left(\sigma_{1}^{2}\sigma_{4}-\sigma_{3}^{2}\right)=\left(\alpha\tau-\beta\gamma\right)\left(\beta\tau-\gamma\alpha\right)\left(\gamma\tau-\alpha\beta\right)=0\] la cubique dégénère. Ceci se produit lorsque deux segments $F_jF_k$ ont même médiatrice. . On obtient alors la réunion de la droite de l'infini et d'une conique de la médiatrice comptée deux fois. Cela correspond aux cas où $t=0$, $t=\infty$, $t=-1$, c'est à dire aux cas où l'un des $u,v,w$ est nul: lorsque le troisième foyer n'intervient plus, la courbe ce n'est plus "à définition trifocale" ! Ce cas est exclus dans tout ce qui suit.

Les points à l'infini sont les ombilics ainsi que $U\simeq\sigma_{4}:0:1$, i.e. $\alpha\beta\gamma\tau:0:1$ qui apparaît comme étant la moyenne géométrique des directions $\alpha^{4}:0:1\etc$ des rayons vecteurs. On calcule le gradient. Évalué en $U$ cela donne l'asymptote:\[ \Delta\simeq\left[-4\,\sigma_{4},\sigma_{1}^{2}\sigma_{4}-\sigma_{3}^{2},4\,\sigma_{4}^{2}\right]\] Elle recoupe la courbe en:\[ U_{t}\simeq\left(\begin{array}{c} -8\,\sigma_{1}\sigma_{3}\sigma_{4}^{2}+4\,\sigma_{2}\sigma_{3}^{2}\sigma_{4}-\sigma_{3}^{4}+16\,\sigma_{4}^{3}\\ 4\,\left(\sigma_{1}^{2}\sigma_{4}-4\,\sigma_{2}\sigma_{4}+\sigma_{3}^{2}\right)\sigma_{4}\\ \left(-8\,\sigma_{1}\sigma_{3}+4\,\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}-\sigma_{1}^{4}+16\,\sigma_{4}\right)\sigma_{4}\end{array}\right)\]

On utilise à nouveau le gradient pour calculer le foyer singulier $F_{s}$ (intersection des asymptotes ombilicales). Lorsque l'on remplace les fonctions symétriques d'ordre $4$ par:

\[ \sigma_{1}=\tau+s_{1};\sigma_{2}=s_{1}\tau+s_{2};\sigma_{3}=s_{2}\tau+s_{3};\sigma_{4}=\tau\, s_{3}\] on constate que $F_{s}\left(\tau\right)=U_{t}\left(-\tau\right)$. Les deux types de points ont donc le même lieu lorsque $\tau$ varie.

Lieu de $U_{t}$. En éliminant $\tau$, on trouve une quintique circulaire. Points à l'infini: les ombilics et les $\beta^{2}\gamma^{2}:0:-1$ i.e. les directions des cotés. Foyer singulier X(143) qui est X(5)-of-orthic triangle, et insimilicenter of the circumcircle and the nine-point circle of the orthic triangle. Intersection des asymptotes réelles: les points $\left(2A+B+C\right)/4\etc$.

Enveloppe de $\Delta$. On transcrit $\Delta$ en une fonction de $\tau$ et l'on obtient le point de contact $M\left(\tau\right)$ avec l'enveloppe par: \[ M\left(\tau\right)=\Delta\left(\tau\right)\wedge\dfrac{\mathrm{d}\Delta\left(\tau\right)}{\mathrm{d}\tau}\mapsto\left(\dfrac{1}{4}\, s_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}\, s_{2}\right)-\dfrac{1}{4}\,\tau^{2}-\dfrac{s_{3}}{2\,\tau}\] On voit pourquoi cette courbe avait une allure de deltoïde ! Le centre est X(140)=$\left(A+B+C+O\right)/4$, le rayon $3/4$ et les cups sont donnés par $\tau^{3}=s_{3}$: ce sont les directions de Morley.

Birapports. On réécrit: $\mbox{AM}u+\mbox{BM}v+\mbox{CM}w=0$ sous la forme

\[ p\,\mbox{BC}\,\mbox{MA}+q\,\mbox{CA}\, \mbox{MB}+r\,\mbox{AB}\, \mbox{MC }=0\] et cela devient: $p\,\left|birap\left(A,C,B,M\right)\right|+q\,\left|birap\left(B,C,A,M\right)\right|+r=0$. Cela a évidemment l'avantage de montrer ce que le groupe circulaire vient faire là dedans, mais la condition d'apparition d'une cubique devient $\prod\left(ap\pm bq\pm cr\right)=0$ qui est moins facile à manipuler. Néanmoins, on voit aisément que:\[ p:q:r\simeq\frac{1}{a}:\frac{t}{b}:\frac{-1-t}{c}\simeq\alpha\tau-\beta\gamma:\beta\tau-\alpha\gamma,\gamma\tau-\alpha\beta\]
(rappel: cela est possible parce que $\tau$ est sur le cercle.

Cordialement, Pierre

Edit: mise en page de l'équation de $\Gamma$