Parabole en 3D
Bonjour à tous,
Je suis actuellement en train de m'amuser avec des coniques et il m'est venu une question. Je vais vous donner l'exemple que j'ai en tête pour illustrer mon propos et pour que vous compreniez mon interrogation.
Soit le repère orthogonal (O, x, y, z). Dans le plan (O, x, z), je trace la parabole d'équation z= a*x^2. Ensuite je trace un paraboloïde en faisant "tourner" cette parabole autour de l'axe z. Je me retrouve donc avec un paraboloïde (comme une parabole pour recevoir la télévision par satellite).
Si j'observe ce paraboloïde dans le plan (O, x, y), je vois un cercle. Maintenant je coupe ce paraboloïde comme un gâteau dans ce plan. J'obtiens par exemple un quart de ce paraboloïde. Les extrémités sont des droites.
Vient ma question : si je ne me place pas dans le plan (O, x, y), je n'observerai pas un quart de cercle. Dans un plan incliné, j'observerai à la place des droites sur les côtés des "courbes". Je cherche justement à déterminer l'équation de ces courbes.
Si j'ai bien compris mon problème, ces courbes sont la projection orthogonale d'une parabole sur le plan incliné.
Un cas particulier où on projette dans le plan (O, x, y), on observe des droites...
Je trouve le problème intéressant, mais je n'arrive pas à avancer tout seul et comme on avance mieux à plusieurs ...
Merci à tous !
Je suis actuellement en train de m'amuser avec des coniques et il m'est venu une question. Je vais vous donner l'exemple que j'ai en tête pour illustrer mon propos et pour que vous compreniez mon interrogation.
Soit le repère orthogonal (O, x, y, z). Dans le plan (O, x, z), je trace la parabole d'équation z= a*x^2. Ensuite je trace un paraboloïde en faisant "tourner" cette parabole autour de l'axe z. Je me retrouve donc avec un paraboloïde (comme une parabole pour recevoir la télévision par satellite).
Si j'observe ce paraboloïde dans le plan (O, x, y), je vois un cercle. Maintenant je coupe ce paraboloïde comme un gâteau dans ce plan. J'obtiens par exemple un quart de ce paraboloïde. Les extrémités sont des droites.
Vient ma question : si je ne me place pas dans le plan (O, x, y), je n'observerai pas un quart de cercle. Dans un plan incliné, j'observerai à la place des droites sur les côtés des "courbes". Je cherche justement à déterminer l'équation de ces courbes.
Si j'ai bien compris mon problème, ces courbes sont la projection orthogonale d'une parabole sur le plan incliné.
Un cas particulier où on projette dans le plan (O, x, y), on observe des droites...
Je trouve le problème intéressant, mais je n'arrive pas à avancer tout seul et comme on avance mieux à plusieurs ...
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Réponses
Je n'arrive pas à "voir" aussi la moindre droite dans d'éventuelles et hypothétiques extrémités!
L'équation de ton paraboloïde de révolution est:
$z=a(x^2+y^2)$.
Sans doute cherches-tu à décrire son intersection avec le plan d'équation: $ux+vy+wz+h=0$?
Amicalement
Pappus
Merci
Alors dans l'ordre, on a :
La parabole, puis la paraboloide. Ensuite on observe le fameux cercle si on regarde dans le plan (O, x, y). Puis en coupant en quart, on observe la coupe avec les deux demi droites sur les côtés.
Et enfin je cherche l'équation des courbes si on se place dans le plan de la dernière image.
PS : dans l'image 3, il ne faut pas faire attention aux droites à l'intérieur de la paraboloïde.
L'intersection d'une quadrique avec un plan est une conique.
Le contour apparent d'une quadrique (pour une projection sur un plan) est aussi une conique.
Au fait, paraboloïde (comme ellipsoïde ou hyperboloïde), c'est masculin.
J'ai donc un paraboloïde. Les deux paraboles sur les extrémites observées sont deux demis droite lorsqu'on les projette dans le plan (O, x, y).
Cependant, si je les projette dans le plan défini par le plan de la dernière capture sont deux courbes dont je cherche les équations...
D'autres personnes plus aimables que ce chère GaBuZoMeu pourrait-il me donner une piste ? Merci à eux.
En partant des équations du paraboloïde et du plan considéré, est ce que c'est suffisant?
Bruno
PS Ne sois pas si susceptible.
Alors quand vous dites de préciser les repères, qu'entendez-vous?
Bruno
J'estime que cette pratique manque de respect à l'égard des intervenants qui se sont donné la peine de lui répondre.
jacquot