L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Théorème du toit
dans Géométrie
Bonjour,
Il existe une démonstration synthétique courte et simple du théorème du toit (Toute droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection), mais je ne suis pas certain qu'elle soit à la portée du lycéen moyen contemporain.
Je suis donc en quête d'une démonstration vectorielle ou analytique, qui soit compatible avec les niveaux et programmes actuels.
Merci d'avance,
Il existe une démonstration synthétique courte et simple du théorème du toit (Toute droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection), mais je ne suis pas certain qu'elle soit à la portée du lycéen moyen contemporain.
Je suis donc en quête d'une démonstration vectorielle ou analytique, qui soit compatible avec les niveaux et programmes actuels.
Merci d'avance,
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Réponses
Si $(D)$ est parallèle à $\Pi_1$ et à $\Pi_2$, elle est orthogonale aux normales de $\Pi_1$ et $\Pi_2$, donc à tout plan contenant deux de ces normales, qui est lui même orthogonal à la droite intersection de $\Pi_1$ et $\Pi_2$.
Cordialement,
Rescassol
Puisque $d_1 \parallel d_2$, il existe un vecteur $\overrightarrow{u}$ qui est directeur de $d_1$ et $d_2$. Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$ et on suppose que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas colinéaires. Comme les droites $d_1, d_2,\Delta$ sont contenues dans les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, de sorte que $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2$, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Il existe des vecteurs $i$ et $j$ tels que $(O;i,k)$ et $(O;j,k)$ sont des repères des deux plans.
Les vecteurs directeurs $(x,y,z)$ de droites parallèles aux deux plans vérifient respectivement $y=0$ et $x=0$, donc sont colinéaires avec $k$.
Bof, pas sûr que ce soit plus facile à comprendre que la solution synthétique.
Alors $\overrightarrow{P\cap Q}=\overrightarrow{P}\cap\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{D}$...B-)-
Le produit vectoriel doit donner quelque chose d'intéressant, mais il n'est plus au programme des lycées.
A+
Bruno
Théorème du toit
Montrer qu'une droite (D) parallèle à deux plans sécants (P) et (P') est parallèle à leur intersection (I).
Étant parallèle à (P) et (P'), la droite (D) est parallèle à une droite (d) de (P) et à une droite (d') de (P'). Les droites (d) et (d') sont parallèles entre elles, car toutes deux parallèles à (D). Étant parallèle à (d'), (d) est parallèle à (P') et donc ne coupe pas (I) ; de même, (d') ne coupe pas (I). Comme (d) et (I) sont coplanaires, elles sont forcément parallèles ; de même, (d') et (I) sont forcément parallèles.
Conclusion : Étant toutes les deux parallèles à (d), les droites (D) et (I) sont parallèles.
Je vais utiliser les faits suivants :
(a) si $d$ est une droite et $a$ un point de l'espace, alors il existe une et une seule droite parallèle à $d$ et passant par $a$.
(b) si de plus $P$ est un plan parallèle à $d$ et si $a\in P$ alors cette parallèle est incluse dans $P$.
Je ne sais pas si (a) et (b) sont des axiomes ou des théorèmes. D'ailleurs je ne sais pas quelle est la liste exacte des présupposés. Mais à partir de (b) on peut en déduire rapidement le théorème du toit.
En effet, soit $a\in (P)\cap (P')$. La parallèle à $(D)$ passant par $a$ est incluse à la fois dans $(P)$ et dans $(P')$, donc est égale à $(I)$, ce qui prouve que $(D)$ et $(I)$ sont parallèles [coquille corrigée d'après la remarque de gai requin qui suit].
Bruno
Après réflexion, le théorème du toit est une conséquence du résultat suivant : étant donnés deux vecteurs u et u' non-colinéaires, tous les vecteurs orthogonaux à u et à u' sont colinéaires.
Comme le produit vectoriel n'est pas au programme des lycées, je raisonne comme suit :
-> un vecteur v orthogonal à u et u' est à un facteur près (x, y, 1) ou (x, 1, z) ou (1, y, z) ;
-> les conditions u.v = u'.v = 0 donnent un système de 2 équations linéaires en x, y ou x, z ou y, z ;
-> comme u et u' ne sont pas colinéaires, les 2 équations linéaires admettent une solution unique à un facteur près.
C'est un peu lourd, mais cela me semble être plus dans le cadre du programme de Terminale qu'une solution synthétique.
A+
Et n'oublions pas que les TS-SI connaissent le produit vectoriel (du moins dans sa partie appliquée à la SI), ce qui est encore une preuve que ce nouveau "programme" est vraiment incohérent.