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Théorème du toit

Envoyé par Piteux_gore 
Théorème du toit
il y a cinq années
Bonjour,

Il existe une démonstration synthétique courte et simple du théorème du toit (Toute droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection), mais je ne suis pas certain qu'elle soit à la portée du lycéen moyen contemporain.

Je suis donc en quête d'une démonstration vectorielle ou analytique, qui soit compatible avec les niveaux et programmes actuels.

Merci d'avance,
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Bonjour,

Si $(D)$ est parallèle à $\Pi_1$ et à $\Pi_2$, elle est orthogonale aux normales de $\Pi_1$ et $\Pi_2$, donc à tout plan contenant deux de ces normales, qui est lui même orthogonal à la droite intersection de $\Pi_1$ et $\Pi_2$.

Cordialement,

Rescassol
baston labaffe
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Avec des vecteurs...

Puisque $d_1 \parallel d_2$, il existe un vecteur $\overrightarrow{u}$ qui est directeur de $d_1$ et $d_2$. Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$ et on suppose que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas colinéaires. Comme les droites $d_1, d_2,\Delta$ sont contenues dans les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, de sorte que $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2$, ce qui est contraire à l'hypothèse.
JLT
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
avatar
Soit $O$ un point de l'intersection et $k$ un vecteur directeur.

Il existe des vecteurs $i$ et $j$ tels que $(O;i,k)$ et $(O;j,k)$ sont des repères des deux plans.

Les vecteurs directeurs $(x,y,z)$ de droites parallèles aux deux plans vérifient respectivement $y=0$ et $x=0$, donc sont colinéaires avec $k$.

Bof, pas sûr que ce soit plus facile à comprendre que la solution synthétique.
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Soit $D$, $P$ et $Q$ la droite et les deux plans de l'énoncé.
Alors $\overrightarrow{P\cap Q}=\overrightarrow{P}\cap\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{D}$...smoking smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par gai requin.
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Merci pour vos contributions, mais les solutions proposées ne me semblent guère plus simples que la solution synthétique.

Le produit vectoriel doit donner quelque chose d'intéressant, mais il n'est plus au programme des lycées.

A+
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
avatar
Quelle est cette démonstration synthétique ?

Bruno
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Plus exactement, c'est une démonstration synthétique...

Théorème du toit
Montrer qu'une droite (D) parallèle à deux plans sécants (P) et (P') est parallèle à leur intersection (I).

Étant parallèle à (P) et (P'), la droite (D) est parallèle à une droite (d) de (P) et à une droite (d') de (P'). Les droites (d) et (d') sont parallèles entre elles, car toutes deux parallèles à (D). Étant parallèle à (d'), (d) est parallèle à (P') et donc ne coupe pas (I) ; de même, (d') ne coupe pas (I). Comme (d) et (I) sont coplanaires, elles sont forcément parallèles ; de même, (d') et (I) sont forcément parallèles.
Conclusion : Étant toutes les deux parallèles à (d), les droites (D) et (I) sont parallèles.
JLT
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
avatar
Ne peut-on faire la démonstration suivante ?

Je vais utiliser les faits suivants :

(a) si $d$ est une droite et $a$ un point de l'espace, alors il existe une et une seule droite parallèle à $d$ et passant par $a$.

(b) si de plus $P$ est un plan parallèle à $d$ et si $a\in P$ alors cette parallèle est incluse dans $P$.

Je ne sais pas si (a) et (b) sont des axiomes ou des théorèmes. D'ailleurs je ne sais pas quelle est la liste exacte des présupposés. Mais à partir de (b) on peut en déduire rapidement le théorème du toit.

En effet, soit $a\in (P)\cap (P')$. La parallèle à $(D)$ passant par $a$ est incluse à la fois dans $(P)$ et dans $(P')$, donc est égale à $(I)$, ce qui prouve que $(D)$ et $(I)$ sont parallèles [coquille corrigée d'après la remarque de gai requin qui suit].



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par JLT.
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
Efficace même s'il y a une petite erreur dans la conclusion.
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
avatar
C'est à la démo de JLT que je pensais ; peut-on encore la faire avec les programmes ? J'avoue mon ignorance sur ce dernier point. Le a) est simplement le postulat d'Euclide ; le b) se déduit du a).

Bruno
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
RE

Après réflexion, le théorème du toit est une conséquence du résultat suivant : étant donnés deux vecteurs u et u' non-colinéaires, tous les vecteurs orthogonaux à u et à u' sont colinéaires.

Comme le produit vectoriel n'est pas au programme des lycées, je raisonne comme suit :
-> un vecteur v orthogonal à u et u' est à un facteur près (x, y, 1) ou (x, 1, z) ou (1, y, z) ;
-> les conditions u.v = u'.v = 0 donnent un système de 2 équations linéaires en x, y ou x, z ou y, z ;
-> comme u et u' ne sont pas colinéaires, les 2 équations linéaires admettent une solution unique à un facteur près.

C'est un peu lourd, mais cela me semble être plus dans le cadre du programme de Terminale qu'une solution synthétique.

A+
baston labaffe
Re: Théorème du toit
il y a cinq années
À mon sens, à part celle de Gai Requin, toutes ces démonstrations peuvent se faire en TS.

Et n'oublions pas que les TS-SI connaissent le produit vectoriel (du moins dans sa partie appliquée à la SI), ce qui est encore une preuve que ce nouveau "programme" est vraiment incohérent.
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