Théorème du toit

Avec des vecteurs...

Puisque $d_1 \parallel d_2$, il existe un vecteur $\overrightarrow{u}$ qui est directeur de $d_1$ et $d_2$. Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$ et on suppose que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas colinéaires. Comme les droites $d_1, d_2,\Delta$ sont contenues dans les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, de sorte que $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2$, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Soit $D$, $P$ et $Q$ la droite et les deux plans de l'énoncé.
Alors $\overrightarrow{P\cap Q}=\overrightarrow{P}\cap\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{D}$...B-)-

Quelle est cette démonstration synthétique ?

Bruno

Ne peut-on faire la démonstration suivante ?

Je vais utiliser les faits suivants :

(a) si $d$ est une droite et $a$ un point de l'espace, alors il existe une et une seule droite parallèle à $d$ et passant par $a$.

(b) si de plus $P$ est un plan parallèle à $d$ et si $a\in P$ alors cette parallèle est incluse dans $P$.

Je ne sais pas si (a) et (b) sont des axiomes ou des théorèmes. D'ailleurs je ne sais pas quelle est la liste exacte des présupposés. Mais à partir de (b) on peut en déduire rapidement le théorème du toit.

En effet, soit $a\in (P)\cap (P')$. La parallèle à $(D)$ passant par $a$ est incluse à la fois dans $(P)$ et dans $(P')$, donc est égale à $(I)$, ce qui prouve que $(D)$ et $(I)$ sont parallèles [coquille corrigée d'après la remarque de gai requin qui suit].

C'est à la démo de JLT que je pensais ; peut-on encore la faire avec les programmes ? J'avoue mon ignorance sur ce dernier point. Le a) est simplement le postulat d'Euclide ; le b) se déduit du a).

Bruno

À mon sens, à part celle de Gai Requin, toutes ces démonstrations peuvent se faire en TS.

Et n'oublions pas que les TS-SI connaissent le produit vectoriel (du moins dans sa partie appliquée à la SI), ce qui est encore une preuve que ce nouveau "programme" est vraiment incohérent.