loi faible des grands nombres

Il y a la loi faible des grands nombres et la loi forte des grands nombres.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres

Bonjour Kadmathnet.

Le nom "grands nombres" est ancien (dix-septième siècle) et correspond à ce qu'on nomme maintenant "asymptotique", donc il faudrait dire "loi faible asymptotique".
Quant à la faible dépendance, pour un tirage avec remise, les résultats d'un tirage de 100 individus sont de la même significativité pour une population de 1000 que pour une population de 1000000000.
Dans les sondages, on ne fait pas des tirages avec remise (on ne va pas réinterroger quelqu'un !!), donc la taille de la population va jouer : Dans un sondage de 100 personnes prises au hasard parmi 1000, l'approximation par la loi binomiale est peu fiable. On peut quand même faire un travail statistique, mais il devient compliqué (loi hypergéométrique).

Cordialement.

La différence entre la loi faible des grands nombres et la loi forte des grands nombres réside dans le mode de convergence : la loi faible est une convergence en probabilité, tandis que la loi forte est une convergence presque sûre. La terminologie faible/forte est justifiée par le fait que la convergence presque sûre implique (est plus forte que) la convergence en probabilité (voir Wiki : convergence de variables aléatoires).

kadmathnet,

j'ai pris le temps de la réflexion (ma mémoire a parfois des trous), j'ai beau chercher, je ne me souviens pas d'avoir entendu "C'est la loi faible des grands nombres" en dehors de contexte probabiliste, ni même "C'est la loi des grands nombres" en dehors d'un contexte mathématique. Alors que j'ai souvent entendu référer à la prétendue "loi des séries", à l'effet papillon ou au principe de Peter.

Cordialement.

@ P. , Saturne : pour ma part, je rejoins Saturne
Pour moi, loi faible signifie convergence en proba et loi forte presque sûre.

Certes, la version la plus commune de la loi forte des grands nombres est l'intégrabilité $L^2$ pour des variables iid, mais ce n'est pas la seule, l'intégrabilité suffit, et même sous certaines hypothèses, on peut avoir convergence en proba des moyennes sans avoir d'intégrabilité. Je renvoie au chapitre 10 de Garet-Kurtzmann.

De la même manière, la plupart des gens énoncent la loi forte sous indépendance globale (ce qui permet par exemple la preuve par les martingales, ou façon théorie ergodique), alors que depuis Etemadi on sait que l'indépendance deux à deux suffit.

Oui,

j'ai moi aussi entendu récemment quelqu'un parler de "loi des grands nombres" mais dans un contexte scientifique où c'est normal de le dire. Si Jean Tirole l'emploie dans un contexte statistique, rien d'étonnant. Même chose si quelqu'un dit "il a fini par y avoir un gagnant à l'euromillion, c'est la loi des grands nombres", même si c'est alors une erreur.

Cordialement.