Aide pour la Philosophie des Mathématiques
Bonjour à tous !
Ce message comptera comme présentation car il révèle les seules choses potentiellement intéressantes à savoir sur moi.
Donc, pour poser le contexte, je prépare une espèce de mini-thèse sur les mathématiques abordées d'une point de vue philosophique, et ce en ayant une approche résolument constructiviste.
Ayant été en partie influencé par Feyerabend au niveau de l'épistémologie des sciences, je compte développer une partie de mon sujet sur la "Science comme Art" (sans pour autant adhérer à cette vision).
Et j'avais besoin d'un cas illustratif sur le sujet, et je l'ai trouvé, sauf que j'en ai oublié le nom mais je sais que cela existe, alors, je vais essayer d'être le plus clair possible quant à ma demande :
Je recherche le nom d'une fonction dont la représentation graphique prend la forme écrite de la fonction.
Dit autrement la courbe dessine la formule "f (x) = ....."
Le mathématicien l'ayant créé à d'ailleurs reçu un prix pour cette prouesse, mais pas moyen de retrouver le nom.
Merci d'avance si jamais vous m'apportez votre aide.
(Et j'espère qu'on se retrouvera pour de larges discussions sur l'essence des mathématiques).
Ce message comptera comme présentation car il révèle les seules choses potentiellement intéressantes à savoir sur moi.
Donc, pour poser le contexte, je prépare une espèce de mini-thèse sur les mathématiques abordées d'une point de vue philosophique, et ce en ayant une approche résolument constructiviste.
Ayant été en partie influencé par Feyerabend au niveau de l'épistémologie des sciences, je compte développer une partie de mon sujet sur la "Science comme Art" (sans pour autant adhérer à cette vision).
Et j'avais besoin d'un cas illustratif sur le sujet, et je l'ai trouvé, sauf que j'en ai oublié le nom mais je sais que cela existe, alors, je vais essayer d'être le plus clair possible quant à ma demande :
Je recherche le nom d'une fonction dont la représentation graphique prend la forme écrite de la fonction.
Dit autrement la courbe dessine la formule "f (x) = ....."
Le mathématicien l'ayant créé à d'ailleurs reçu un prix pour cette prouesse, mais pas moyen de retrouver le nom.
Merci d'avance si jamais vous m'apportez votre aide.
(Et j'espère qu'on se retrouvera pour de larges discussions sur l'essence des mathématiques).
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Réponses
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_autoréférente_de_Tupper
Juste par curiosité, tu parles d'une approche résolument constructiviste, connais-tu la position "méta-constructive" de Jean-Michel Salanskis ?
Merci pour cette formule. Ce truc est magique. B-)-
=> Jesse : je ne connaissais pas du tout merci, ça semble assez "perché" haha, je vais voir ce que je peux en faire.
Les gens intéressés par le point de vue constructif en mathématiques pourront regarder l'interprétation de Brouwer-Heyting-Kolmogorov et la correspondance de Curry-Howard qui en est issue.
Pour ce qui est de Tupper:
de façon générale il existe des moyens de construire des points fixes en informatique (Quines).
Je mets ci-dessous un exemple de telles constructions (il en existe d'innombrables variantes mais celui-ci se veut simple et dépouillé pour la lisibilité: il s'agit surtout de présenter l'idée de la construction).
Soit $\mathcal E$ un ensemble (d'expressions on va dire) et $\mathcal F_1,\mathcal F_2\subseteq E$ des parties de $\mathcal E$. Soient $M_1:\mathcal F_1 \times \mathcal E \to \mathcal E$ et $M_2: \mathcal F_2 \times \mathcal E \times \mathcal E \to \mathcal E$ deux fonctions (via lesquelles les éléments de $\mathcal F_1$ et $\mathcal F_2$ sont vus comme des sortes de codes sources de fonctions repectivement d'une et de deux variables. )
On suppose aussi que
A1) Il existe $i \in \mathcal F_1$ tel que pour tout $x\in \mathcal E$, $M_1(i,x)=x$
A2) Pour tout $f\in \mathcal F_2$ il existe $\alpha[f] \in \mathcal F_1$ tel que pour tous $x\in \mathcal F_1$ et tout $y\in \mathcal F_2$, $M_1\big(f,M_1(x,y) \big)=M_2(\alpha[f],x,y)$
A3) Pour tout $f\in \mathcal F_2$ et tous $g,h\in \mathcal F_1$, il existe $\beta[f,g,h]\in \mathcal F_1$ tel que pour tout $x \in \mathcal E$, $M_1 (\beta[f,g,h],x)=M_2\big( f,M_1(g,x),M_1(h,x)\big)$ (on peut composer une fonction de deux variables avec des fonctions d'une variable).
Dans ces conditions on a le théorème suivant:
Pour tout $f\in \mathcal F_1$, il existe $e\in \mathcal E$ tel que $M_1(f,e)=e$ (i.e. toute fonction de type $M_1(f,\ldots)$ admet un point fixe!).
Preuve ci-dessous (constructive, et en blanc pour ceux qui veulent chercher).
Soit $f\in \mathcal F_1$.
Soit $f^*:= \beta\left[\alpha[f],i,i\right]$.
Alors $$\begin{align}
M_1(f^*,f^*) & = M_1 \left(\beta\left[\alpha[f],i,i\right],f^*\right)\tag{définition de $f^*$}\\
& = M_2\left(\alpha[f],M_1(i,f^*),M_1(i,f^*)\right) \tag{cf. A3}\\
& = M_2\left(\alpha[f],f^*,f^* \right) \tag{cf. A1}\\
& = M_1\left( f,M_1(f^*,f^*)\right) \tag{cf A2}
\end{align} $$.
D'où le résultat avec $e:=M_1(f^*,f^*)$.
NB: A2 est conséquence de B1 et B2 (des axiomes peut-être plus "naturels")ci-après.
B1): il existe $u\in \mathcal F_2$ tel que pour tous $x,y \in \mathcal F_1\times \mathcal E$, $M_1(x,y)=M_2(u,x,y)$
B2) pour tous $f\in \mathcal F_1$ et tout $g\in \mathcal F_2$, il existe $\gamma[f,g] \in \mathcal F_1$ tel que pour tous $x,y\in \mathcal E$, $M_2\left( \gamma[f,g],x,y\right)=M_1 \left( f,M_2 ( g,x,y )\right)$.
En effet il suffit, alors pour tout $f$, de poser $\alpha[f]=\gamma[f,u]$.
Bref sous les hypothèses A1,B1,B2 et A3 vous avez des points fixes.