Une bille roule sur une sphère

quetzal · January 2018

Bonsoir
Il est revenu spontanément à mon esprit le problème de mécanique suivant, de niveau terminale.

Une bille assimilée à un point roule sans frottement sur une sphère de rayon R. À quel moment la bille perd-elle le contact avec la sphère ?

Dans mon souvenir la bille ponctuelle quitte la surface de la sphère à l'angle $ \cos \alpha = 2/3 $. L'angle ne dépend pas du rayon de la sphère.

Je n'arrive plus à retrouver ce résultat de mécanique. J'ai projeté le poids sur les axes mais je ne vais pas plus loin. Je ne sais même plus comment utiliser/matérialiser la réaction de la bille sur la sphère.

quetzal · January 2018

... indépendant du rayon R de la sphère et indépendant du poids (mg) de la bille de masse m.

GaBuZoMeu · January 2018

Je suppose que la bille est lâchée à partir du point le plus haut de la sphère ? Par ailleurs il n'est pas clair quel angle désigne $\alpha$, mais on pourra le deviner en résolvant le problème.

GaBuZoMeu · January 2018

Si $\alpha$ désigne l'écart angulaire entre la verticale (vers le haut) et la normale sortante à la sphère au point où est la bille, on s'en sort facilement en comparant la force centrifuge $m\dfrac{v^2}{R}$ et la composante normale à la sphère de la force de gravitation $mg\cos\alpha$, sachant que l'énergie cinétique de la bille est $\dfrac12mv^2=mg(1-\cos\alpha)R$.

Shah d'Ock · January 2018

De toute façon, c'est toujours $\frac23$.

GaBuZoMeu · January 2018

Que veux-tu dire, "de toute façon" ? Quel que soit l'endroit de départ de la bille sur la sphère ? Si c'est ça que tu veux dire, c'est visiblement faux.

Shah d'Ock · January 2018

Non non, je veux dire qu'en physique, la réponse à ce genre de question est toujours $\frac23$ (c'est de l'humour).

nicolas.patrois · January 2018

Il faut tenir compte du fait que la petite boule roule, non ?

YvesM · January 2018

Bonjour,

Pour répondre à la question posée : tant que la bille roule sur la sphère elle subit une force de réaction. Comme c’est sans frottement cette force de réaction possède une géométrie particulière... puis au moment où la bille quitte la sphère cette force s’annule car c’est une force de contact.
La bille est aussi supposée sans vitesse et au sommet de la sphère à l’instant initial.
On justifie une invariance par rotation et on se ramène à un problème plan.

samok · January 2018

Un point qui roule ?

Mais bon on faisait aussi en maths quand j'étais petit lors des décompositions en éléments simple : on sait bien que $\frac{x-a}{(x-a)^2}\times (x-a) $ n'a pas de sens en $a$ mais c'est pratique de dire que ça vaut $1$.

S

GaBuZoMeu · January 2018

@ Shah d'Ock : quand tu fais de l'humour, mets un petit signe pour qu'on puisse s'en apercevoir. ;-).

On peut aussi traiter le problème quand la bille roule sans glisser sur la sphère. La différence est dans le calcul de l'énergie cinétique, dans laquelle il faut faire rentrer l'énergie cinétique de rotation.
PS. Dans ce cas, ça décolle pour $\cos \alpha= \dfrac {10}{17}$, sauf erreur.

mojojojo · January 2018

Il manque quelque chose non ? Si on démarre avec la bille posée au sommet de la sphère et sans vitesse initiale la bille ne bouge pas, c'est un point d'équilibre.

GaBuZoMeu · January 2018

Oui, mais d'équilibre instable !

mojojojo · January 2018

Instable d'accord mais il faut préciser une vitesse de départ $v_0$, et l'angle de décrochage dépend de ce $v_0$. À moins qu'il soit sous-entendu "on regarde la limite lorsque $|v_0|\to 0$". Ça ne change pas beaucoup les équations, ceci dit :-)

GaBuZoMeu · January 2018

Comme tu l'as deviné, on part de la position d'équilibre instable avec une impulsion infinitésimale. Ça tombe sous le sens, me semble-t-il.
Ou alors, autre façon de voir, on considère une trajectoire dans l'espace des phases qui tend vers l'équilibre instable quand on remonte dans le temps.

quetzal · January 2018

Absolument Back In Time, GaBuZoMeu. Et je rajouterais, Forward In Time.

Précision: il n'y a pas de frottement et la bille est assimilée a un point matériel (elle ne roule pas, il n'y a donc pas d'énergie cinétique de la bille en roulement). La bille est en équilibre instable sur la sphère et une petite impulsion/vitesse (négligeable) Vo est donnée pour la faire tomber. VL est la vitesse au moment où la bille perd le contact avec la sphère.

J'ai appliqué le théorème de l'énergie cinétique mais je n'abouti pas au résultat.

Vo est la vitesse initiale de la bille, supposée nulle
J'ai: 1/2 m Vo^2 - 1/2 m VL^2 = mgh = mgRsin alpha

sin alpha = (VL)^2 /(2gR)

Question: déterminer (VL)^2 ?

Je suppose qu'il faut faire intervenir la réaction R de la bille sur la sphère, parce que c'est au moment où cette réaction est nulle que la bille quitte la sphère. Dans mon souvenir on devait projeter cette réaction R sur les axes. Mais je en sais plus faire. En détail, SVP. Merci.

GaBuZoMeu · January 2018

Ton calcul d'énergie cinétique ne va pas. Il me semble que j'ai donné des indications assez détaillées. Qu'est-ce qui te pose problème dans les indications que j'ai données ?

quetzal · January 2018

Non, mon calcul de l'énergie cinétique ets OK.

Le théorème est : la variation de l'énergie cinétique entre 2 instants est égale a la somme des travaux des forces entre ces 2 instants.

Delta Ec = Sum W

La réaction ne travaille pas (toujours perpendiculaire), seul le poids travaille (et mois aussi): mgh. J'ai pris alpha l'angle par rapport a l'horizontale, donc ton cosinus devient, chez moi, un sinus (ce n'est pas ca qui bloque dans mon problème).

YvesM · January 2018

Bonjour,

Indication : $R-mg \cos \alpha=-mv^2/r$ loi de la dynamique ; $1/2 mv^2=mgr(1-\cos \alpha)$ conservation de l’énergie ; $R>0$ jusqu’à l’envol raisonnement physique ; donc $\cos \alpha >2/3.$

GaBuZoMeu · January 2018

@quetzal : libre à toi de prendre un $\alpha$ différent de celui pris par tout le monde (et pour lequel tu ne trouveras bien sûr pas le cosinus égal à $2/3$), mais alors tu préviens. Ensuite, même en prévenant, ton calcul reste faux.

@YvesM : tu pourrais au moins lire les interventions précédentes, par exemple celle-ci.

quetzal · January 2018

GaBuZoMeu, oui mon calcul du travail du poids est incorrect. C'est R - R sin alpha = R(1 - sin alpha).

Mais après ça, je bloque toujours. Comment faire intervenir (dans mon souvenir c’était ça qu'il fallait faire) la réaction de la bille sur la sphère ? Comment faire pour dire que la bille perde le contact avec la sphère (réaction nulle) ? Merci.

GaBuZoMeu · February 2018

quetzal a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1608138,1609354#msg-1609354
Je serais, en revanche, extrêmement extrêmement exigeants très bientôt, sur d'autres sujets moins drôles.

Tiens au fait, pourquoi n'as-tu pas conclu ici, alors qu'on t'avait donné tous les éléments pour le faire ?

quetzal · February 2018

GaBuZoMeu, pourquoi mets-tu en citation ce que j'ai écrit par rapport des mes exigences ? Je te confirme que je serait serai d'une exigence extrême. Je n'ai pas d'autres mots, mon vocabulaire est peut-être trop limité pour expliquer davantage. Ou peut-être n'y a-t-il simplement pas de mot pour qualifier la situation et mon vécu, dont 4,5 ans à l'HP.

Concernant ma question sur la bille sur la sphère, dans mon souvenir il fallait faire intervenir la réaction de la bille, ce que tu ne fais pas ; tu fais simplement intervenir la force centrifuge ; ta méthode permet de conclure mais je suis toujours à la recherche de la méthode avec la réaction de la sphère sur la bille.

YvesM · February 2018

Bonjour,

J’ai donné la solution entière avec la réaction de la sphère sur la bille notée R. Tu pourrais relire mon message donnant une indication (en fait résolvant l’exercice).

GaBuZoMeu · February 2018

Pourquoi "fallait-il" ? Il suffit de tenir compte des composantes normales à la sphère des autre forces : la force centrifuge et la force de gravitation. La réaction de la sphère s'en déduit immédiatement, elle équilibre la somme des composantes normales de ces forces (la force centrifuge est normale à la sphère), pourvu que le sens de cette somme soit vers le centre de la sphère. Tu ne vois pas ça ?

pappus · February 2018

Bonsoir
Autrefois, c'était un exercice de Mécanique de Taupe faisant partie du programme de Math.
Le point mobile $m$ décrit d'abord un arc de cercle puis un arc de parabole.
Les conditions de raccordement au point $P$ où le mobile quitte le cercle font que la trajectoire globale est de classe $\mathcal C^2$.
Ceci entraîne qu'au point $P$ le cercle est le cercle osculateur à la parabole.
Est-ce que cela suffit pour déterminer géométriquement le point $P$?
Je ne m'en souviens plus!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · February 2018

Bonne Nuit
Pour le plaisir, j'ai fait la figure avec $\cos(\alpha)=\dfrac 23$
En effet le phénomène d'osculation ne suffit pas à déterminer le point $P$.
Avec ce choix de l'angle $\alpha$, j'ai tracé la parabole osculatrice en $P$, (en effaçant les intermédiaires de construction), et je me suis alors aperçu que la directrice de la parabole était la tangente en $S$ au cercle.
Il doit y avoir une raison mécanique, (théorème des forces vives?) pour qu'il en soit ainsi.
Une fois ceci acquis, il n'est pas difficile de voir qu'on a $\cos(\alpha)=\dfrac 23$ quand on connait bien la construction du centre de courbure en un point d'une parabole.
La solution mécanique par l'annulation de la réaction $R$ était évidemment attendue mais il ne faut pas oublier que ces questions de courbure étaient très à la mode à l'époque et que les candidats qui faisaient montre de leur savoir avaient un bonus!
Amicalement
[small]p[/small]appus 72670

pappus · February 2018

Bonjour
Cette nouvelle figure est différente de la précédente.
Le point $M$ est un point quelconque du cercle rouge de centre $O$ passant par $S$.
J'ai tracé la parabole de direction asymptotique $OS$, osculatrice en $M$ au cercle rouge.
J'ai tracé le foyer $F$ de cette parabole puis j'ai demandé au logiciel de dessiner son lieu en bleu.
Etonnant, n'est-il pas?
Autrefois, c'était un simple exercice d'oral de concours et maintenant tout ce qu'on peut faire, c'est s'étonner!
Je reconnais quand même qu'aujourd'hui, on peut sélectionner les candidats sur des questions plus importantes et plus utiles!
Amicalement
[small]p[/small]appus 72718

pappus · February 2018

Bonjour
Pour information, voici sans commentaires, la figure que traçait au tableau noir avec une craie blanche, le taupin, qui connaissait la construction du cercle de courbure en un point d'une parabole, pour montrer que le lieu du foyer $F$ était une néphroïde.
Il n'y avait pas beaucoup de calculs à l'époque!
Il va sans dire que ce genre de plaisanterie est maintenant terminé et qu'il vaut mieux à la place, savoir appliquer le lemme des noyaux!
Remarquez que la droite $MF$ est la tangente en $F$ à la néphroïde. Je n'ose demander pourquoi!
Amicalement
[small]p[/small]appus 72756

quetzal · February 2018

Merci Pappus, je n'étais pas aussi exigeant que cela...

Une bille roule sur une sphère

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Bonjour!

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