Prix Abel 2018
Bonjour,
Le lauréat du Prix Abel 2018 a été annoncé : il s'agit de Robert P. Langlands.
Le lauréat du Prix Abel 2018 a été annoncé : il s'agit de Robert P. Langlands.
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Réponses
"(...) on ne peut pas dire que le programme [de Langlands] a été réalisé, ni pour les corps de séries formelles, ni pour les corps $p$-adiques, ni pour les corps de fractions rationnelles". (R. Langlands)
C'était en 2012, mais les lignes ont peut-être bougé depuis. Je serais bien en peine de le dire.
$\large•$ Post-Scriptum: les formes automorphes pour les nuls par Robert Langlands...
Le premier exemple de fonction modulaire est dû à Ramanujan:
$\displaystyle \Delta(\omega)=x\left[(1-x)(1-x^2)(1-x^3)...\right]^{24}$
où $x=e^{2i\pi \omega}$ et $\omega$ est un nombre complexe de partie imaginaire positive.
En développant ce produit infini, on obtient la fonction de Ramanujan:
\begin{equation}
\tau (1)x + \tau (2)x^2 + \tau(3)x^3+... = \sum_{n \geq 1} \tau (n)x^n
\end{equation}
avec $\tau (1)=1, \tau (2) =-24, \tau(3) = 252, \tau(4)=-1472$, etc... La fonction $\tau(n)$ est le coefficient de $x^n$ dans le développement $\Delta$.
Ramanujan conjecture que $\tau(mn)= \tau(m)\tau(n)$. Ce que Mordell prouve en 1917 en utilisant les formes modulaires de Hecke.
Ramanujan associe à $\Delta$, une série $L(s)$:
\begin{equation}
L(s)=\sum_{n \geq 1} \tau(n)/n^s
\end{equation}
$L(s)$ peut aussi s'écrire comme un produit sur tous les nombres premiers $p$ de facteurs:
\begin{equation}
F_p=1/\left[(1-\alpha^p/p^s)(1-\beta_p/p^s)\right]
\end{equation}
où les nombres $\alpha_p$ et $\beta_p$ vérifient $\alpha_p + \beta_p = \tau(p)$ et $\alpha_p \beta_p=p^{11}$.
Dans l'article de Langlands paru dans la revue "Pour la science", il est écrit: $(1- \beta_p/ps)$.
J'imagine que c'est une erreur de typographie et qu'il faut lire: $(1 - \beta_p/p^s)$ à la place...
Il est possible de généraliser ce résultat.
On note $GL(2,\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices inversibles $2 \times 2$, à coefficients réels $a,b,c,d$ et de déterminant $ad-bc$ positif.
On définit alors la fonction $f_\Delta$ qui à tout élément $g$ de $GL(2, \mathbb{R})$ associe le nombre:
\begin{equation}
f_\Delta(g)=\left[1/(a+ ic)^{12}\right]\Delta\left[(b+ id)/(a + ic)\right]
\end{equation}
Une question au passage: quelqu'un a-t-il une idée de la provenance de cet exposant 12 dans l'égalité ci-dessus ?
Est-il lié aux discriminants des courbes elliptiques ?
Enfin, pour toute matrice $h$ dont les 4 coefficients sont entiers et dont le déterminant est 1, on a $f_\Delta(hg)=f_\Delta(g)$.
Les fonctions $f$ vérifiant cette relation de symétrie sont nommées "formes automorphes".
source: "Dossier "Pour la science" n°74•Janvier-Mars 2012.
...
Leur action n'a aucune raison d'être la même.
S
Alors $N_p = \tau(p)+1 \pmod{23}$
Par exemple, $\tau(991) =23440857788319392 = 2 \pmod{23}$ ainsi $f$ se décompose totalement sur $\mathbb{F}_{991}$.