Mécanique céleste
Bonjour
J'ai un exposé à faire sur ce sujet pour le bac, et je regarde le cours de mécanique céleste de Luc Duriez que l'on trouve sur le net http://docplayer.fr/5499164-Cours-de-mecanique-celeste-classique.html
Je bloque (et ce n'est que le début du cours) sur l'égalité 1.12 ci dessous. Si quelqu'un pouvait me donner un pointeur
Si $M$ est défini dans $\mathbb R^n$ par des coordonnées quelconques (par exemple sphériques), notées $q_1, q_2, \ldots,q_n$ et supposées fonctions continues et dérivables de $t$, on pourra écrire :
$OM = OM(q_1, q_2, \ldots, q_n)$ puis $\displaystyle V(M/R) =\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial{OM}}{\partial q_i}\dot q_i$
Le vecteur $\dfrac{\partial {OM}}{\partial q_i}$ est tangent à la trajectoire que décrirait $M$ si la coordonnée $q_i$ variait seule et qui est, par définition, la ligne coordonnée relative à $q_i$. En se plaçant dans l’espace de configuration, de dimension $2n$, où les points sont définis par les $2n$ coordonnées supposées indépendantes $(q_1, q_2, \ldots, q_n, \dot q_1, \dot q_2, \ldots \dot q_n)$, on peut écrire : $$ \hspace{1cm}
\frac{\partial{V(M/R)} }{ \partial{\dot q_i}} = \frac{\partial {OM}}{\partial q_i} \hspace{3.5cm} (1.12)
$$ On en déduit les ‘projections’ des vecteurs vitesse et accélération de $M$ sur les tangentes aux lignes coordonnées :
\begin{align*}
V(M/R) · \frac{\partial{OM}}{\partial q_i} &= \frac{1}{2}\frac{\partial{V^2}}{\partial{\dot q_i}} & (1.13) \\
\Gamma(M/R) ·\frac{\partial{OM}}{\partial q_i} &= \frac{1}{2} \{\frac{d}{dt}(\frac{\partial{V^2}}{\partial{\dot q_i}}) - \frac{\partial{V^2}}{\partial q_i}\}& (1.14)
\end{align*} où $V^2 = V(M/R) · V(M/R)$.
J'ai un exposé à faire sur ce sujet pour le bac, et je regarde le cours de mécanique céleste de Luc Duriez que l'on trouve sur le net http://docplayer.fr/5499164-Cours-de-mecanique-celeste-classique.html
Je bloque (et ce n'est que le début du cours) sur l'égalité 1.12 ci dessous. Si quelqu'un pouvait me donner un pointeur
Si $M$ est défini dans $\mathbb R^n$ par des coordonnées quelconques (par exemple sphériques), notées $q_1, q_2, \ldots,q_n$ et supposées fonctions continues et dérivables de $t$, on pourra écrire :
$OM = OM(q_1, q_2, \ldots, q_n)$ puis $\displaystyle V(M/R) =\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial{OM}}{\partial q_i}\dot q_i$
Le vecteur $\dfrac{\partial {OM}}{\partial q_i}$ est tangent à la trajectoire que décrirait $M$ si la coordonnée $q_i$ variait seule et qui est, par définition, la ligne coordonnée relative à $q_i$. En se plaçant dans l’espace de configuration, de dimension $2n$, où les points sont définis par les $2n$ coordonnées supposées indépendantes $(q_1, q_2, \ldots, q_n, \dot q_1, \dot q_2, \ldots \dot q_n)$, on peut écrire : $$ \hspace{1cm}
\frac{\partial{V(M/R)} }{ \partial{\dot q_i}} = \frac{\partial {OM}}{\partial q_i} \hspace{3.5cm} (1.12)
$$ On en déduit les ‘projections’ des vecteurs vitesse et accélération de $M$ sur les tangentes aux lignes coordonnées :
\begin{align*}
V(M/R) · \frac{\partial{OM}}{\partial q_i} &= \frac{1}{2}\frac{\partial{V^2}}{\partial{\dot q_i}} & (1.13) \\
\Gamma(M/R) ·\frac{\partial{OM}}{\partial q_i} &= \frac{1}{2} \{\frac{d}{dt}(\frac{\partial{V^2}}{\partial{\dot q_i}}) - \frac{\partial{V^2}}{\partial q_i}\}& (1.14)
\end{align*} où $V^2 = V(M/R) · V(M/R)$.
Réponses
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Désolé d'être pessimiste, mais en général, quand on est largué à la 12 ème équation de la section "Rappels", c'est souvent qu'on est en train de lire un cours qui nous dépasse complètement !
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Oui le site est très bien et je vais m'en inspirer pour la présentation
De fait ce que je dois faire porter plutôt sur les méthodes numériques que l'on peut utiliser pour intégrer les équations du mouvement et écrire un programme pour les représenter. Pour ce faire j'ai déjà écrit des intégrateurs symplectiques qui fonctionnent à peu près J'aimerais bien trouver par la suite les conditions initiales permettant d'obtenir les chorégraphies Ce qui est utilisé sur le site pour les représenter graphiquement ce sont des transformées de Fourier
Ici on peut trouver certaines conditions initiales http://three-body.ipb.ac.rs/ Avec les intégrateurs que j'utilise pour le moment ça diverge assez vite
Aussi sur le site il y a de nombreuses collisions alors que moi j'obtiens des binaires ce qui semble être normal d'après ce que j'ai pu lire ici https://www.google.de/imgres?imgurl=http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTlJgrOXLLmFRKE8wUAmpkpIPt_GhTnKFVob5EPTKuFPffG_pgw&imgrefurl=https://books.google.com/books/about/Gravitational_N_Body_Simulations.html?id=Xo8eaQzs0YoC&source=kp_cover&h=737&w=524&tbnid=Se95tbZBrnMpaM:&tbnh=160&tbnw=113&usg=__pDoZOo00PoxwkmnCZPwT6vzdrnc=&vet=10ahUKEwj7ud73r_7ZAhWBLVAKHSgiBmoQ_B0IgQEwCg..i&docid=s4h8TX-q0OBhjM&itg=1&client=firefox-b-1&sa=X&ved=0ahUKEwj7ud73r_7ZAhWBLVAKHSgiBmoQ_B0IgQEwCg
Un exemple d'orbite stable -
Eh bien, le niveau monte sacrément au bac !
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Ce qui ne m'empeche pas d'etre bloqué au 1:12 :-(
(Mais je suis en Allemagne dans un lycée qui se spécialise dans les sciences, et c'est effectivement plus avancé qu'en France) -
Pour le (1.12), il n'y a rien de plus que le fait que si on dérive $$
\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial{OM}}{\partial q_i}\dot q_i
$$ par rapport à $\dot q_i$ (avec la supposition d'indépendance des $2n$ variables), on trouve $$
\frac{\partial{OM}}{\partial q_i}\;.
$$ ($M$ ne dépend que de $q_1,\ldots,q_n$, les $\displaystyle\frac{\partial{OM}}{\partial q_i}$ aussi). -
Why, what an ass am I!
Hamlet, Shakespeare, Act II scene 2
Merci
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Bonjour!
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