Où trouver des sujets de recherche ?

Salut,
Je trouve certains de mes sujets sur l'encyclopédie en ligne des nombres entiers. Il y traine des conjectures plus ou moins intéressantes. Certaines clairement inaccessibes d'autres plus réalistes. Il faut utiliser le moteur de recherche interne pour essayer de tomber sur quelque chose qui plait. Je ne tape pas "prime conjecture" qui renvoit à trop de choses sans contenu et dans ce domaine il existe assez de conjectures connues. En revanche "conjecture combinatoric" retourne plus de 600 suites dont des non classiques et une conjecture qui m'interpelle en ce moment concerne par exemple la suite A332603.

Sur arXiv, avec les bons mots clés on peut trouver plein d'articles récents qui peuvent donner des bonnes idées !

Pour publier un article sur arXiv il faut avoir un "parrain" ou une "marraine" qui provient de l'université. Par conséquent, les articles sur arXiv sont relativement sérieux en général. De plus, si c'est un article bien fait souvent l'introduction contient 1) les résultats obtenus récemment sur le sujet 2) les questions ouvertes pour le futur. Il me semble que rien que pour 1) et 2) ça vaut le coup, surtout que pour 1) le lien vers les articles correspondants sont ajoutés, et ça permet de se faire une très bonne idée de l'état actuel des choses !!

C'est vrai qu'on peut trouver quelques articles d'huluberlus sur arxiv, mais ce sera principalement des "preuves" de conjectures célèbres, relégués dans la rubriques General Mathematics. Dans les survols (surveys) et listes de problèmes ouverts, tu as peu de risque. Et pour se rassurer, tu peux toujours regarder la liste de publications de l'auteur pour jauger de son sérieux.

Peut-être ça?
https://www.springer.com/gp/book/9783540206149

Curiosity a écrit:

mais qui ne requiert pas de connaissances théoriques très poussées

Je pense le contraire, vu le comportement erratique de cette suite, et, surtout, vu le nombre de publications ces dernières années qui n'ont pas fait avancer du tout le schmilblick.

D'autre part, la recherche ne porte pas toujours sur des sujets "à haute technologie", ceux-ci étant généralement peu accessibles aux primo-doctorants, et c'est bien normal.

La conjecture (je devrais même dire "les" conjectures) concernant la suite de Kolakoski est (sont) très certainement hors de portée de la connaissance actuelle, avec ou sans outils technologiques de haut vol.

Par exemple.

Résumé du sujet (abstract).
Une situation maintenant classique en théorie analytique des nombres consiste à étudier au sein des entiers naturels l'indépendance statistique entre une condition de type multiplicatif et une condition de type digital (c'est-à-dire en lien avec les chiffres dans une certaine base de numération). De tels problèmes sont réputés particulièrement difficiles, notamment lorsque les entiers satisfaisant à la condition multiplicative sont ``rares'' (par exemple, les nombres premiers, les carrés parfaits).
Des résultats spectaculaires de cet ordre ont été obtenus ces vingt dernières années (cf. notamment les travaux de Mauduit-Rivat, Mauduit-Rivat-Drmota, Bourgain) et stimulent de nombreux travaux.
En 1998, Erdös, Mauduit et Sarközy ont débuté l'étude des propriétés multiplicatives des nombres dits ellipséphiques, c'est-à-dire des nombres entiers dont le développement dans une base q fixée ne comporte pas certains chiffres fixés également. En 2000, Konyagin, Mauduit and Sarközy [3] ont suggéré d'étudier les entiers ellipséphiques friables, c'est-à-dire sans grand facteur premier.
Col [1] a obtenu plusieurs résultats de cet ordre en utilisant des techniques de crible. En particulier, la base q et l'ensemble des chiffres à proscrire étant fixés, il obtient l'existence d'un nombre 0<a<1 tel que la proportion de nombres ellipséphiques n'excédant pas un nombre N et dont les facteurs premiers n'excèdent pas N^a soit strictement positive.
Le travail proposé pour cette thèse consiste à préciser et améliorer les résultats de Col en s'appuyant sur les techniques développées par Maynard [2] dans son récent et spectaculaire travail sur les nombres premiers ellipséphiques.
Références :
[1] Sylvain Col. Propriétés multiplicatives d’entiers soumis à des conditions digitales. Thèse, Université Nancy 1,
2006.
[2] James Maynard. Primes with restricted digits. Invent. Math., 17(1) : 127-218, 2019.
[3] Sergei Konyagin, Christian Mauduit et András Sárközy. On the number of prime factors of integers charac-
terized by digit properties. Period. Math. Hungar., 40(1) : 37–52, 2000.

Même si tout le monde n'est pas capable d'avancer sur le sujet lui-même. Il y a possibilité d'apprendre des choses et peut-être de se poser des questions qui ne sont pas celles proposées mais qui en dérivent.

En ce qui concerne le sujet indiqué par Rémi, c'est un peu le contraire de ce que je disais plus haut : là, il faut connaître la "technologie" pour pouvoir aborder, puis espérer améliorer des résultats antérieurs. En particulier, je pense qu'on ne peut pas entreprendre cette thèse sans connaître :

(i) La méthode du col ;

(ii) Le domaine des entiers $y$-friables ;

et j'ajouterais :

(iii) L'identité de Vaughan.

Tous ces outils nécessitent un long apprentissage, non seulement pour les connaître mais aussi, et surtout, pour savoir comment les appliquer à bon escient.

Curiosity a écrit:

J'abandonne...

C'est bien dommage !...Notons quand même que, dans les références citées plus haut, on a plusieurs voies qui sont exposées pour tenter d'arriver à la solution :

(i) Chvátal utilise la théorie des mots, et obtient d'ailleurs le meilleur résultat actuel concernant
$$\left| \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1, \, K_j = 1}^n 1 \right) - \frac{1}{2} \right|$$
à condition toutefois de supposer que la limite existe.

(ii) Bordellès & Cloitre ont plutôt une vue arithmétique sur ce sujet : les auteurs expliquent avoir tenté plusieurs méthodes de théorie des nombres, en vain semble-t-il, vu le caractère "fractal" de la suite, et se sont retournés vers de la combinatoire, pour obtenir une majoration moins bonne que celle de Chvátal, mais inconditionnelle. À noter que Cloitre a été pendant plusieurs années un membre (très) actif de ce forum.

Quoi qu'il en soit, ce sujet m'a semble suffisamment intéressant et riche pour perdre du temps à le proposer ici...

Je trouve que l'idée de ce fil est bonne, car ce sujet peut concerner potentiellement pas mal de gens.

Concernant la suite de Kolakoski, et pour y avoir travaillé quelque peu dessus il y a quelques années, je pense que le challenge est grand. D'ailleurs, je crois savoir que deux "camps" se sont formés : ceux qui pensent que la limite $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{\substack{j=1 \\ K_j = 1}}^n 1 $ existe, et ceux qui pensent qu'elle n'existe pas (dont je fais partie, du moins jusqu'à preuve du contraire).

Corto. L'article de Steinsky (voir la référence [6] de mon 1er message), téléchargeable en ligne sur le site du Journal of Integer Sequences, fournit quelques heuristiques allant dans cette direction, mais, personnellement, je doute que cette limite existe.

Bonjour curiosity et bonne année.

Le regretté Richard K. Guy a écrit plusieurs livres de problèmes non résolus.
Par exemple Unsolved Problems in Number Theory.

ou Unsolved Problems in Geometry

ou Unsolved Problems in Combinatorial Games

Il a tenu une chronique régulière dans l'American Mathematical Monthly. Par exemple :

Don't try to Solve these problems AMM (1983) pp 35-40.

Si tu veux arrondir tes fins de mois, regarde de ce côté.

Sinon, perdu pour perdu, autant aller à la pêche.

amicalement,

e.v.