Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
283 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Jolies formules, beaux théorèmes

Envoyé par Victor-Emmanuel 
Victor-Emmanuel
Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Bonjour à tous! Je lance une nouvelle série de messages, si vous le voulez bien! Chacun, s'il le veut, balance les formules ou les théorèmes qu'il trouve les plus beaux. Et chacun peut demander, s'il le désire, des références sur les formules et les théorèmes qu'il aura lu ici.

Moi il y a une formule que j'aime par-dessus tout, c'est la formule des compléments : $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi*x)}$, avec $x$ entre 0 et 1 strictement.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Une autre formule, mais dont je ne connais aucune démo, est la formule de Stirling continue, donnant un équivalent de $\Gamma(x+1)$.
D'ailleurs, si quelqu'un connaît une démo... smiling smiley
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Un beau résultat : pour $n\in\N, \exists p\in\N, (1+\sqrt(2))^{n}=\sqrt(p)+\sqrt(p+1)$.

PS j'espère que \sqrt donne bien une racine carrée, sinon je vous l'écrit sans LaTeX :
Pour n entier, il existe p entier tel que (1+sqrt(2))^n = sqrt(p)+sqrt(p+1).
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Au sujet de l'équivalent de $\gamma(x+1)$, c'est une application de la méthode de laplace, qui est présentée en exo dans le Rouvière (dernière question: utiliser cette méthode pour résoudre ton problème).
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Pour Stirling, voir par exemple {\bf Dieudonné}, {\it Calcul infinitésimal}, Hermann, page 130.

Il existe aussi une version complexe de la formule de Stirling : $$\log \Gamma(z) = \left ( z - \frac {1}{2} \right ) \log z - z + \frac {1}{2} \log (2 \pi) - \int_{0}^{\infty} \frac {t - [t] - 1/2}{t+z} \, dt,$$ où $\log$ est la détermination principale du log complexe sur $\C - \R_{-}$.

Borde.
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
avatar
<latex> L'indémodable $e^{i\pi}+1=0$...

Sylvain
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Il y a une très belle formule de Ramanujan qui lie une série infinie, une fraction continue et les nombres $\pi$ et $e$.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Pilz, c'est quoi cette belle formule?
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Si G est un groupe fini, tel que pour tout x, x^2=e, avec e l'élément neutre de G, alors le cardinal de G est une puissance de 2.
Et ma démonstration, qui n'est pas signée de moi, je tiens à le signaler tout de même, est extraordinaire :
On pose, pour n dans Z/2Z et x dans G :


n.x=x si n=1, e sinon.

Ainsi, (G,*,.) est un espace vectoriel sur Z/2Z, forcément de dimension finie! et je vous laisse terminer!!!
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
voici quelques bo classiques


ryo
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> En général, j'aime bien les résultats qui me surprennent et je pense que le coup de la somme des $\frac{1}{n}$ qui vaut $+\infty$ se place pas mal dans ce cadre, alors que la somme des $\frac{1}{n^2}$ vaut $\frac{\pi^2}{6}$.
Après on peut raffiner avec $\sum_{p \leq x }^{} \frac{1}{p} \sim \ln(ln(x))$ qui n'est pas mal non plus de ce point de vue.

Pour ce qui est des résultats importants, j'aime bien le théorème de Sylow (et la preuve est jolie aussi, celle avec l'action de $G$ sur $G/S$ ou $S$ est un $p_$Sylow), le prolongement de $\zeta$ (mais pas avec la formule de Poisson, celle où on la multiplie par $\Gamma$ pour tomber sur une intégrale qu'on decoupe en méromorphe+holomorphe, dailleurs si quelqu'un a une référence pour cette preuve la, je suis preneur) ou encore la théorème de Weierstrass ($\R[X]$ dense dans $C_c(\R)$)

Et pour la preuve la plus jolie, je citerais bien le théorème de Sophie Germain (cas particulier du grand théorème de Fermat sauf que le $n>2$ est remplacé par un $p$ premier tel que $2p+1$ est premier). La preuve utilise des outils quasiment à la portée d'un élève de terminale mais c'est d'une astuce incroyable.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Tiens, d'ailleurs, existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$ tels que $2p+1$ soit premier???
ryo
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> C'est une question ouverte à ma connaissance (connaissance complétement repompé dans les notes du bouquin de francinou-gianella-nicolas sur les exos de l'ens qui m'a l'air assez récent)

Pour les infinités de nombres premiers tels que..., il y a le théorème de Dirichlet qui affirme que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers dans la progression $a+bk$. Pour la preuve, je l'ai jamais vu mais elle est pas à la portée du premier venu à ce qu'il parait.
Sinon en résultat récent (donc preuve incompréhensible pour le commun des mortels) il y a l'infinitude des nombres de Carmichael ou le théorème de Grenn-Tao qui affirme qu'il existe des progressions arithmétiques de toute longueur dans l'ensemble des nombres premiers et certainement beacoup d'autres que j'ignore..
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
avatar
Et le petit père Tao a récidivé en montrant qu'il existe des progressions polynomiales de toute longueur (La recherche de ce mois-ci il me semble). Il va bien finir par nous démontrer Goldbach ou de Polignac à ce rythme là...



Sylvain

- Hey dude, what are your plans for this weekend?
- Well, I think I'll work on Hilbert's 8th problem.
- Stop it, man! Get a girl and have some fun!
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Ouah! C'est génial tout ça! Et c'est marrant comme ce genre de conversations tourne rapidement à l'arithmétique!!

J'ai tout de même une formule à proposer, et dont j'ai la démonstration, qui est plutôt longue mais que je trouve magnifique : $\Gamma'(1)=-\gamma$, où $\Gamma$ est la fonction bien connue, et $\gamma$ est la constante d'Euler.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> J'avoue que j'ai un faible pour le calcul d'intégrales, et l'études de séries : par exemple, le calcul de $\int_{0}^{\infty}\frac{sin^{\alpha}t}{t^{\beta}}$, avec $\alpha=\beta=1$ par exemple...
Ou encore toutes les méthodes possibles du calcul de l'intégrale sur $\R$ de $e^{-t^2}$.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Ou un autre joli résultat :
Si on prend $a_{n}z^{n}$ une série entière, dont on note $g$ la somme dans le disque ouvert de convergence, supposé non réduit à {0}, donner une expression mettant en jeu $g$ de :

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{pn}z^{pn}$
où $p$ est un entier naturel non nul.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> J'aime bien aussi les démonstrations du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques qui contiennent des nombres premiers dans certains cas particuliers, comme $4n+1$, $4n-1$, ou encore $6n-1$, ...

D'ailleurs, si quelqu'un en a, je suis preneur!
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
avatar
<latex> J'adore personnellement ce résultat :

$$\mbox{ La probabilité que deux entiers soient premiers entre eux est } \frac{6}{\pi^2}$$

formule qui fait intervenir $\pi$.
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Pour moi le resultat mathématique que j'adore le plus et l'un des plus con en meme temps :
x^0=1, et aussi 0!=1, ces deux resultats sont extrordinaires et fondamentaux.
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Alban c vraiment etrange celle ci d'une part ya Le fameux $\frac{\pi^2}{6}$
et maintenant$\frac{6}{\pi^2}$ Je me demande si la personne qui a decouvert Le$\pi$ n'etait pas de ce monde que ce qu'il serait d'aujourdhui?
Le $\pi$ est n'importe ou et la ou on s'attend le moins c'est vraiment etrange!!
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Pour le 0!=1 Je crois que c'est une convention
Mais Pour Le 0^0=1 car il existe une application qui transforme le vide en le vide mais il y a certaines calclulatrices qui donnent ERROR pour 0^0
Peut-être elles considèrent 0^(-0)
bs
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Joyeux Noël,

1) deux jolies formules trouvées par Ramanujan:
---> la limite de la première somme infinie est intrigante,
---> la présence de 9801 dans la seconde est singulière ; de plus , cette relation a été démontrée 75 ans après sa découverte.

\lien{[fr.wikipedia.org]}

2)j'aime aussi:
$$e^{\pi \sqrt{163}}=262.537.412.640.768.744$$
à $10^{-12}$ près.

de plus , ce n'est pas du hasard...

Bonne journée
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Alban,

La présence du $\pi$ est ici somme toute assez normale, puisque ta "probabilité" (qui est en fait une densité, plutôt) se calcule via la formule d'inversion de Möbius, et fait donc intervenir dans les calculs la valeur de la série $\displaystyle {\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu(n)}{n^2}}$ qui vaut, comme tu le sais sans doute, $\displaystyle {\frac {1}{\zeta(2)} = \frac {6}{\pi^2}}$.

Ceci dit, Joyeux Noël à toi et à toute ta famille !

Borde.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Il est vrai que si $\pi$ reste le périmètre par le diamètre, le lien avec la probabilité de piocher, au hasard, deux entiers qui soient premiers entre ex, n'est pas direct. Je trouve ce résultat en effet extraordinaire.
Mais le calcul de $\zeta(2)$ fait apparaître lui-même $\pi$, et ça, s'est en soi ipressionnant. D'ailleurs, existe-t-il une quelconque explication au fait que si on somme tous les inverses des carrés des nombres entiers, on obtienne $\frac{\pi^{2}}{6}$?

Ou encore, comment se fait-il que l'intégrale sur $\R$ de $e^{-t^2}$ fasse intervenir $\pi$?
Les maths ne sont tout-de-même pas magnifiques?
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> pour moi cella est la plus belle de toutes les formules !

soit $U_n$ une suite reccurente d'ordre $p$

$U_n=\sum_{i=1}^{n} a_i U_i$

alors $$U_{n + 1} = \prod\limits_{i = 0}^{P - 1} {\sum\limits_{K_{(i + 1)} = 0}^{\left[ {\frac{{n - \left( {\sum\limits_{R = 0}^i {((P + 1) - R)K_R } } \right)}}{{(P - i)}}} \right]} {\left( {a_1 ^{n - \left( {\sum\limits_{i = 0}^{P - 1} {((P + 1) - i)K_i } } \right)} \times \left( {\prod\limits_{i = 2}^P {a_i ^{K_{((P + 1) - i)} } } } \right) \times \left( {\prod\limits_{R = 0}^{P - 2} {\mathop C\nolimits_{\sum\limits_{i = 0}^{R + 1} {K_i } }^{\sum\limits_{i = 0}^R {K_i } } } } \right) \times \mathop C\nolimits_{n - \left( {\sum\limits_{\alpha = 0}^P {\alpha K_{P - \alpha } } } \right)}^{\sum\limits_{i = 0}^{P - 1} {K_i } } } \right)} } $$
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Victor-Emmanuel,

L'explication est la suivante : les calculs de $\zeta(2n)$ (et pas seulement $\zeta(2)$) s'appuient sur {\bf l'équation fonctionnelle de $\zeta$}, qui, elle-même, contient $\pi$. En soi, ce serait donc cette équation fonctionnelle qui devrait être considérée comme "plus belle formule", car les autres proviennent d'elle.

Mais, en terme de "plus beau", je me garderai bien d'intervenir dans tel ou tel choix, c'est, je crois, à chacun de définir et déterminer "la plus belle formule" qu'il considère, un tel choix étant nécessairement subjectif.

Borde.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Oui, je comprends, Borde, mais il reste tout de même étonnant qu'il y ait un tel lien avec ces sommes et $\pi$. En fait, ce qui est réellement étonnant, c'est qu'une somme qui paraît très simple, en tout cas tout-à-fait abordable, converge vers une expression mettant en jeu $\pi$ d'une manière si simple.
Alors qu'au contraire, il est presque intuitif de dire que la somme des $\frac{1}{2^k}$ pour $k \geq 0$ converge vers 1 : si on prend un fil qu'on coupe à la moitié, et dont on met de côté la première moitié, puis qu'on coupe la deuxième moitié en 2, et qu'on met de côté la première nouvelle moitié, etc... alors "à la fin" on aura mis de côté tout le fil ; mais pour interpréter la somme des inverses des carrés, sans essayer de comprendre les étapes du calcul qui nous a mené au résultat, c'est une autre histoire...

Et quelle est cette équation fonctionnelle de $\zeta^$, au fait?
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Une formule, qui il me semble avait été donnée par Borde, sur ce même forum, me plaît beaucoup : si $n\geq2$, alors :

$$\displaystyle{\sum_{PGCD(k,n)=1,k=1}^n k = \frac{n\phi(n)}{2}}$$
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Voici une forme possible pour l'équation fonctionnelle de $\zeta$ : pour tout $s \in \C - \{1\}$, on a $$\zeta(1-s) = 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma(s) \cos \left ( \frac {\pi s}{2} \right ) \zeta(s)$$ (remarque le $\pi$...).

Prend $s=2n$, ajoute la formule $\displaystyle {\zeta(-n) = - \frac {B_{n+1}}{n+1}}$ valable pour tout entier $n \geqslant 1$, et tu obtiens : $$\zeta(2n) = (-1)^{n+1} 2^{2n-1} (\pi)^{2n} \frac {B_{2n}}{(2n)!}.$$

Borde.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Et encore d'autres résultats fort élégants je trouve :

Si $A, B$ sont deux matrices carrées sur un corps $\K$, telles que $AB=BA$ et si on note $P$ le polynôme à deux indéterminées sur $\K$ défini par : $P(X,Y)=det(AY-BX)$, alors, comme pour le théorème de Cayley-Hamilton, on a : $P(A,B)=0$.

Le polynôme à $n^2$ indéterminées sur un corps $\K$ défini par :
$P(X_{1,1}, ... ,X_{n,n}) = det((X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ est irréductible sur $\K$.

Si, pour $n\in\N$, on note $N$ le nombre de ses diviseurs, et $\Pi$ le produit de tous ses diviseurs, alors on a la belle relation :
$$\Pi=n^{\frac{N}{2}}$$.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> NB : il est intéressant, dans un tout autre contexte, de remarquer, avec mes notations, que $n^{\frac{N}{2}}$ est toujours un entier!!

Merci Borde, pour cette réponse. Je remaque en effet le $\pi$ dans la formule. Mais il faut que je l'étudie, je ne la connaissais pas. Ni l'une, ni l'autre d'ailleurs.
En outre, j'ai toujours travaillé sur [1;+$\infty$], en ce qui concerne $\zeta$, bien que je sache qu'elle est défini en tout complexe de partie réelle strictement plus grande que 1. Donc avant de me plonger dans ces deux formules, j'ai un peu de travail...
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Tu voulais dire : "j'ai toujours travaillé sur $]1,+\infty[$ en ce qui concerne $\zeta$..."

On montre de plus que $\zeta$ se prolonge analytiquement dans $\C$ en une fonction méromorphe ayant pour unique singularité un pôle simple en $s=1$ (de résidu égal à $1$). Lorsque $s \in \C$ tel que $\Re s >1$, $\zeta(s)$ coïncide avec la somme traditionnelle $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ (mais, bien sûr, en-dehors de ce demi-plan, $\zeta(s)$ ne se représente plus ainsi).

Borde.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Oui, pardon, je voulais bien-sûr dire ]1;+$\infty$[ tout-à-l'heure.
Et j'avoue que je ne sais pas trop ce qu'est une foction méromorphe. Je ne suis qu'en début de "L3", et je n'ai pas encore commencé les cours ; c'est d'ailleurs pour cette raison que je suis souvent sur ce forum : les maths me manquent terriblement!!! smiling smiley
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
"Je ne suis qu'en début de "L3", et je n'ai pas encore commencé les cours"...

A mon avis, cela ne saurait tarder...

Good luck,

Borde.
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Le theoreme de decomposition des noyaux et la decomposition D+N.
C'est fou tout ce qu'on peut faire a partir de ca...



Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Eh non, malheureusement j'ai encore pas mal de temps à attendre, les cours ne reprennent qu'en mai pour moi. Une des bizarreries de mon école...
En ce qui concerne la décomposition de Dunford, c'est vrai qu'il s'agit là d'un résultat fantastique! En plus, la démonstration est abordable, à condition de ne pas avoir peur des sous espaces caractéristiques...
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Un autre beau résultat, que j'ai trouvé dans un poly envoyé par Skyrmion dans mon message "équivalent d'une somme" :

$$displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n)^2}{n^2}}$$

et le même résultat, {\bf LE MÊME}, avec des intégrales :

$$\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t} dt = \int_{1}^{+\infty} \frac{sin(t)^2}{t^2} dt}$$.

Le fait de retrouver exactement la même chose en discret et en continu m'épate.
vp
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Que peut bien vouloir signifier qu'un résultat est joli ? Qu'on peut l'exprimer de manière concise ? À faire la course au caractère, on ferait tout aussi bien de s'extasier devant $1 = 1$ qui sera difficile à battre. Qu'il est étonnant ? Si on en connait une preuve, il n'y a plus vraiment de raison à s'en étonner. Qu'il est élémentaire ? Une preuve élémentaire est souvent très délicate et n'apporte rien de plus que le résultat lui-même, alors que des outils plus développés ont aussi toujours des implications plus profondes. Or 90 pour cent des résultats énoncés ci-dessus semblent avoir été choisis selon ces critères, et tournent principalement autour des nombres premiers (qui ne sont après tout que des entiers vérifiant une propriété arbitraire), $\pi$ ou $e$ (qui ne sont après tout que des réels). Et présenter volontairement un résultat hors de son contexte pour en magnifier sa signification tient plus du mysticisme que de l'esprit mathématique.

Il me semble bien plus pertinent de distinguer les résultats qui ont de nombreuses conséquences dans des domaines variés comme par exemple le théorème des valeurs intermédiaires, la formule de Cauchy, le lemme de Poincaré ou encore le théorème de Riesz.

Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Ouawouu quel sens de la répartie! Mais ce qui me passionne dans les maths, c'est justement le fait de pouvoir s'extasier devant des formules qui paraissent, comme beaucoup d'autres formules, mystiques. Effectivement, lorsqu'une démonstration nous est fournie, et c'est d'ailleurs le cas pour la plupart des résultats ci-dessus, le résultat devient un peu plus ordinaire. Ce qui nous pousse à en chercher d'encore plus beaux. Un beau résultat est, pour moi, non pas une formule courte, ni un résultat dont la démonstration est particulièrement élégante, bien que j'apprécie tout à fait les plus beaux "tours de passe-passe", mais un résultat qui me fasse rêver. Ton "1=1" ne répond absolument pas à ce critère. Et je ne pense pas que ton obsession pour la pertinence, que j'ose déduire de ton message indiquant en outre un petit manque d'imagination, te permette de m'apporter ce que je recherche, au fond dans les mathématiques : la beauté suprême.

En toute sincérité,
Victor-Emmanuel.
Alp
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Il est vrai que voir apparaître $\pi$ dans certaines formules est assez incroyable... Cependant on peut quand même voir certains liens entre $\pi$ et l'exponentielle (voir par exemple la définition de $\pi$ de Rudin dans son livre d'analyse réelle et complexe), exponentielle elle-même directement lié au cercle. Et la valeur de la somme de certaines séries aussi ne "devraient" pas trop nous impressionner, vu que l'on en calcule souvent grâce aux séries de Fourier (vive la trigo derrière...)

Bon ce que je dis n'a sûrement pas grand intêret (interêt ?) et vu l'heure tardive je ferais mieux d'aller me coucher !
Khaled
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
" il n'avait pas assez d'imagination pour devenir mathematicien"
apophtegme de D. Hilbert au sujet d'un de ses etudiants qui avait abandonne les maths pour la poesie.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
Bonjour à tous!
Un nouveau résultat que je trouve intéressant :

Si H est un hyperplan de Mn(R), alors H contient au moins une matrice inversible.
Une démonstration consiste à prendre f forme linéaire dont H soit le noyau, et étudier l'ensemble des matrices dont l'image par f est >0, puis celles dont l'image est <0.
Ce qui me fait drôlement penser au théorème des valeurs intermédaires : si dans GLn(R), il existe M tq f(M)<0 et N tq f(N)>0, alors ...
Problème : GLn(R) n'est pas connexe, sinon son image par l'application continue det le serait ; or R* n'est pas connexe!
En revanche dans Mn(C), une telle démo doit être possible!
Je trouve ça joli! smiling smiley

Dans Mn(R) sinon je considère les matrices nilpotentes qui sont dans H. Et cette démo a, il me semble, un copyright à présent! winking smiley
anonyme
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> Moi j'aime bien
$$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_{0}^{infty} frac{t^{s-1}}{e^{t}-1}$$

Un changement de variable permet d'ailleurs d'obtenir,

$$\zeta(3)*6=\int_{0}^{infty} frac{(ln t)^{2}}{(t-1)t}$$

Et personnellement, puisque je trouve surprenant que l'on n'aie aucune egalite concernant zeta(3) qui soit "aussi parlante" que zeta(2)=(pi^2)/6, j'aime bien toutes les egalites concernant zeta(3)...

De plus, l'integrale de droite parait calculable par le theoreme des residus, si c'etait le cas on aurait une ,magnifique egalite concernant zeta(3)....
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
<latex> J'en reviens à la formule des compléments : à partir de l'expression suivante :

$\frac{n^{x}n!}{x(x+1)...(x+n)}$ qui tend vers $\Gamma(x)$ quand $n$ tend vers $+\infty$, peut-on montrer facilement la formule des compléments?
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
bonjour Victor-Emmanuel

effectivement à partir de cette limite on peut trouver la formule des compléments de Gamma

on part en fait de la définition de Gamma sous forme de produit infini donnée par Weierstrass
et déduite de la limite que tu indiques ($\gamma$ est la constante d'Euler)

$\frac{e^{-\gamma.x}}{\Gamma(1+x)} = \frac{1+x}{exp(x)}\frac{1+x/2}{exp(x/2)}......\frac{1+x/n}{exp(x/n)}......$

si on change x en - x on obtient un autre produit infini et si on multiplie les deux produits infinis
(la convergence ne pose pas de problème) il vient:

$\frac{1}{\Gamma(1+x).\Gamma(1-x)}=(1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2}).......(1 - \frac{x^2}{n^2}).........$

on a reconnu au second membre le produit eulérien de $\frac{sin\pi.x}{\pi.x}$

d'où : $\frac{sin\pi.x}{\pi.x} = \frac{1}{\Gamma(1+x).\Gamma(1-x)}$

et puisque $\Gamma(1+x)=x.\Gamma(x)$ il vient la formule des compléments

cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jean lismonde.
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
avatar
<latex> Ah, on me prend par les sentiments là...Cette chère fonction $\zeta$ que j'affectionne tant. Tiens nous au courant de tes résidus, anonyme.

Sylvain
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
avatar
<latex> bonjour anonyme, je pense qu'il faut écrire:

$\displaystyle \zeta(3).6=\int_{1}^{+ \infty} \frac{(\ln t)^{2}dt}{(t-1)t}$

et je te conseille Gradshtein et Ryzhik (le GR) pour savoir si cette intégrale est calculable mais:

$$ \int_{1}^{+ \infty} \frac{(\ln t)^{2}}{(t-1)t}dt = \int_{1}^{+ \infty} \frac{(\ln t)^{2}}{t-1}dt - \int_{1}^{+ \infty} \frac{(\ln t)^{2}}{t}dt$$

et $ \displaymath \int_{1}^{+ \infty} \frac{(\ln t)^{2}}{t}dt$ se calcule facilement mais je doûte que la lumière se fasse sur $\zeta(3)$.
Victor-Emmanuel
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
J'en reviensà la formule des compléments ; je me doutais bien que je rencontrerai là un développement de sinus : j'avais déjà entendu parler de développements eulériens, sans réellement savoir de quoi il s'agissait. Alors je vous le demande, qu'est-ce que c'est??? ^^
Re: Jolies formules, beaux théorèmes
il y a treize années
rebonjour Victor-Emmanuel

ta première intégrale avec le produit Gamma(s).Zéta(s) est correcte

par contre la seconde avec s=3 est fausse;
en fait après changement de variable on obtient:

2.Zéta(3)=intégrale de 0 à 1 de ln²t.dt/(1-t)

comme le dit gilles benson la méthode des résidus ne permet pas de trouver un résultat numérique avec les constantes classiques

Z(3) (comme d'ailleurs Z(5), Z(7)....) est bien présente en calcul intégral
mais ce calcul intégral ne permet pas de l'expliciter

cordialement
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 143 799, Messages: 1 424 181, Utilisateurs: 26 667.
Notre dernier utilisateur inscrit elasag.


Ce forum
Discussions: 4 509, Messages: 68 996.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page