musique et "découpage harmonique"

euzenius · May 2008

Bonsoir,

Le temps de sérénades revenant avec les beaux jours je me pose (bêtement ?) quelques questions d'harmonie musicale, sujet pourvu d'une abondante littérature assaisonnée de querelles sans fin.

Il ne s'agit pas de refaire la théorie pythagoricienne (cycle des quintes et autres machins, il y a wikipedia et autres pour cela) ou celle de Zarlino voire d'Euler eu égard à une harmonie qui serait fondée sur des rapports ne comportant que des puissances de 2 et de 3 ou de 2, 3 et 5 ou 2, 3, 5 et 7 etc et de se prendre la tête avec la suite des harmoniques naturels et leurs renversements mais d'examiner le découpage suivant que l'on va expliciter pour l'octave vu comme les bornes de l'intervalle (1,2).

Il s'agit en fait d'approximer la moyenne géométrique de ces bornes d'une manière simple à savoir

1<MH<MG<MA<2

MH désignant la moyenne harmonique (ici 4/3 ou musicalement la quarte)
MG désignant la moyenne géométrique ( ici rac(2) ou diabolus in musica, triton etc...)
MA désignant la moyenne arithmétique (ici 3/2 ou quinte pythagoricienne, zarlinienne...)

Les mathématiciens reconnaîtront dans ce procédé un algorithme de calcul de la racine carrée car MHxMA= 2, la fameuse méthode de Héron d'Alexandrie, le stade suivant donnant l'encadrement :

1<4/3<17/12<rac(2)<24/17<3/2<2

En limitant au premier stade il apparaît "donc" un découpage "harmonique" de l'octave :

montant 1-->3/2-->2
descendant 1<--4/3<--2

on peut dire majeur au lieu de montant et mineur au lieu de descendant tout cela est à ce niveau très artificiel et arbitraire (et ne mérite aucune polémique SVP).

Le but est de dire qu'il y a une double division de l'octave.

Bon maintenant si l'on s'intéresse à l'intervalle de quinte (1,3/2) on trouve la double division suivante :

majeur 1-->5/4-->3/2
mineur 1<--6/5<--3/2

et cette double division donne les fameux accords parfaits majeur et mineur que chacun peut tester sur un clavier zarlinien voire bien tempéré voire pythagoricien (comma syntonique peu perceptible).

On peut de même diviser la quarte mais MA=7/6 et MH=8/7 sur un clavier bien tempéré ne laisse pas un souvenir impérissable et certains y ont vu la marque du "7" dans un refus teigneux du cerveau humain de manier cette quantité. On remarquera que 8/7 est le renversement dans l'octave de l'harmonique naturel 7 ramené à l'octave de référence (note 7/4 donc). Ceux qui savent tirer un son correct d'un violon pourront tenter...

Admettons donc ce refus sabbatique de nos humeurs cérébrales (sans adopter des attitudes peu recommandables) mézalor l'intervalle (1,5/4) est lui même divisible en :

1-->9/8-->5/4
1<--10/9<--5/4

valeurs hautement zarliniennes. Pourquoi donc l'effet "harmonieux" disparaît-il ? Au delà de toute subjectivité culturelle (qui n'est pas à dédaigner non plus mais comment le justifier...) ne faut-il pas voir un problème d'acoustique auditive car entre 10/9 et 9/8 on a un écart d'un comma syntonique (81/80) qui est plus petit encore que le comma pythagoricien (approximé par 74/73) donc impossible avec notre gamme chromatique bien tempérée (voire celle issue de la gamme des solfèges, 53 commas de Holder) de faire la différence d'où une sorte de "platitude" provenant de l'identification des deux en un même jeu.

Cette limite vers le bas étant inventoriée (mais non véritablement justifiée car je ne saurais me substituer à de multiples gens de sciences en divers domaines) on va s'intéresser à des intervalles plus grands que l'octave par exemple (1,3) (quinte à l'octave) on trouve :

1-->2-->3 et
1<--3/2<--3

ce qui permettra à certains de justifier la descente quinte-->fondamentale si cela leur fait plaisir mais cela nous fera une belle jambe.

Pour l'intervalle de double octave (1,4) on obtient :

1-->5/2-->4 donc tierce majeure à l'octave et
1<--8/5<--4 et 8/5 est le renversement à l'octave de 5/4 (sixte mineure donc)

Pour l'intervalle de triple octave (1,8) on obtient :

1-->9/2-->8 et
1<--16/9<--8

Vous pouvez tester et voir ce qui vous semble "harmonieux" (vous pouvez aussi renverser dans l'intervalle). Question : faut-il ne découper que des intervalles correspondants à des harmoniques naturels et à leurs renversements dans l'octave ? Ou est-ce que tout cela est de la foutaise et l'harmonie mathématico-musicale est ailleurs ?

Question subsidiaire : quel échelle bien tempéré (pour éviter les inextricables problèmes de transposition) plus fin que le chromatique faut-il adopter pour affiner notre perception mathématico-musicale ? 1/4 de ton (24 notes par octave) ? 1/8 de ton ? 1/9ième de ton (36 notes ou Gamme de Salomon eu égard au sceau de Salomon qui réalise une division du cercle par 9 - petit pb de math en passant comment diviser à la règle et au compas le cercle en 9 secteurs égaux) ? 1/16 de ton; 1/27...? Qui pourrait me dire s'il existe des logiciels capables de générer de manière auditive les notes de telles gammes (et de trouver la note correspondant à une fraction donnée vis à vis d'une telle gamme) histoire d'éviter de se farcir une telle mise au point surtout quand on est un néophyte des logiciels de musique ? Merci

Euzenius

gb · May 2008

Quelques remarques :

euzenius a écrit:

Pourquoi donc l'effet "harmonieux" disparaît-il ? Au delà de toute subjectivité culturelle (qui n'est pas à dédaigner non plus mais comment le justifier...)

Il me semble au contraire que l'effet harmonieux est purement subjectif et culturel, et dépend essentiellement de l'éducation de l'oreille.

euzenius a écrit:

comma syntonique peu perceptible

En tempérament français aux huit tierces justes, on entend clairement (enfin moi et quelques autres) la différence de 125/128 (inférieure à 81/80) existant entre la tierce fausse et les tierces justes...

Il me semble que l'on dispose de diverses échelles musicales, acceptées comme harmoniques ou non suivant les lieux et les époques(*), et utilisées en tant que telles par les compositeurs afin d'obtenir des effets plus ou moins variés.

La transposition est pour moi impossible, l'expérience me prouvant que, même parfaitement exécutée, elle dénature la musique.

(*) Je rappellerais que le père Mersenne, dans son Harmonie universelle, envisage, du point de vue théorique, la possibilité de la gamme tempérée moderne et la découpe de l'octave en douze demi-tons égaux, mais la rejette, du point de vue pratique, comme choquante pour l'oreille.

jean lismonde · May 2008

bonjour Euzénius

tu demandes si tout cela est de la foutaise
ou si l'harmonie mathématico-musicale est ailleurs

l'analyse mathématico-acoustique est intéressante mais escamote allègrement la réussite artistique
qui est d'abord une question de talent et de sens musical
et certainement pas une question de moyenne géométrique, arithmétique ou quadratique

Boulez et Dutilleux qui se targuaient de vocabulaire et de logique mathématiques
n'ont accouché que d'oeuvres artistiques médiocres et monstrueuses
parce que tout simplement ils n'avaient pas de talent musical
alors que tel autre compositeur sans aucune formation mathématique (on pense à Michel Legrand)
nous a sorti des petites merveilles musicales

certains matheux ont voulu dans "l'art de la fugue" de Jean-Sébastien Bach
décrypter en termes mathématiques le secret du fameux contre-point du maître de Leipzig
ils se sont couvert de ridicule; Bach avait une inspiration musicale hors du commun
et un sens exceptionnel de l'harmonie mais il se fichait royalement des math

je n'irai pas jusqu'à dire que les math dans le domaine musical c'est de la foutaise
mais je dirai que le talent musical n'est certainement pas mathématique

cordialement

nicolas.patrois · May 2008

Il n'existe pas d'échelle respectant à la fois la quinte juste, le tempérament égal et l'octave dans l'échelle, pour une simple raison d'arithmétique. Lis la brochure no 53 de l'APMEP de B. Parzysz.

euzenius · May 2008

Merci de vos remarques

Mais les questions posées ne sont pas de l'ordre

1) de l'écriture musicale (talent génie, etc;;;) dont je ne nie pas la difficulté

2) de l'arithmétique exacte

Les fractions proposées, si elles apparaissent exactes arithmétiquement, recouvrent en fait une plage permettant des approximations de divers ordres dont le chromatique à tempérament égal est le premier niveau pour nos oreilles "occidentales". Le MI rapporté à DO (1) peut valoir 5/4, 81/64 ou toute valeur intermédiaire dont la racine cubique de 2, comme le SOL peut valoir racine douzième de 128 comme la quinte juste 3/2. On a toujours l'accord parfait majeur (une oreille exercée peut sentir des différences selon la vitesse d'exécution et le contexte musical capable de contraindre l'oreille).

Dans la gamme bien tempérée à 36 notes les valeurs ci-dessus correspondent encore à la même note pour le MI ou pour le SOL (mais pas dans la gamme bien tempérée à 24 notes) mais il ne faut pas s'arrêter à cet arbitraire qui est juste une commodité de raisonnement pour apprécier les approximations à défaut de savoir comment le système auditif et cérébral décortique l"info musicale.

Je suggérais juste l'hypothèse que la sensation "d'accord harmonieux" pourrait résulter du couple majeur/mineur dès lors qu'ils ne sont ni trop proches (impossible à distinguer faute d'acuité auditive) ni trop éloignés, l'un impliquant l'autre et s'en amplifiant (on est donc loin de l'exactitude arithmétique que l'on trouve dans diverses théories de l'harmonie - système pythagoricien, zarlinien, eulérien- ou de toute composition musicale). On peut bien sûr la réfuter...

Est-ce plus clair ?

Euzenius

euzenius · May 2008

Bonsoir GB,

La question culturelle est une vaste question. Effectivement pour certaines personnes la transposition est un non-sens, musicalement parlant soit que cela se justifie par une approche culturelle (tonalité de ré majeur par exemple qui d'ailleurs n'a ou n'avait pas la même signification culturelle en France et en Allemagne, soit par des obligations instrumentales (dont la voix humaine). Néanmoins on peut se poser la question du développement des échelles qu'elles soient pentatoniques ou heptatoniques depuis l'antiquité car sans necessairement avoir conscience d'élément mathématiques (telle la quinte juste, l'octave...) les êtres humains ont pu y être sensibles malgré tout. On a vu la musique occidentale "évoluer" progressivement vers la tonalité et la dualité des modes majeur/mineur (on peut d'ailleurs expliquer la gamme majeure comme le déroulement du cycle des quintes de la sous dominante à la sensible, ou comme le résultat des accords parfaits majeurs de sous-dominante, dominante et tonique ou encore - mais cela est plus discutable quant à la valeur de la sous-dominante non donnée à priori - comme l'accord parfait majeur de tonique et la suite des harmoniques naturels de la dominante jusqu'àu neuvième)

Quant à la question des commas et de l'acuité auditive

le comma de Holder (celui de la gamme des solfèges) vaut 1,013164143...
Celui pythagoricien (séparant 12 quintes justes de 7 octaves) vaut approximativement :
74/73= 1,013698630...

ce qui est sensiblement la même chose et s'entend effectivement (un demi ton diatonique soit 4 commas est sensiblement différent du demi-ton chromatique de 5 commas - on peut chipoter -).

Le comma syntonique qui sépare la tierce juste 5/4 de la fausse 81/64 (mais aussi le ton mineur 10/9 du ton majeur 9/8) vaut 81/80 = 1,0125.

Certaines personnes distinguent en effet des sons encore plus proches (mais il faut aussi des conditions d'écoutes particulières, pas des doubles croches dans un tempo rapide). La valeur que tu donnes 125/128 n'est cependant pas la bonne et là je n'ai pas mes tablettes sous les yeux pour vérifier la bonne valeur du dénominateur. Mais de toute manière cela ne modifie pas mon hypothèse qui prend en compte la capacité de discrimination qui finit par avoir un caractère absolu pour l'oreille humaine.

Enfin pour revenir à la transposition qui dénaturerait la musique, il faut avant de songer à la transposition qui justifie le tempérament égal, déjà songer à l'univers de la modulation (tonale ou modale) et rien n'empêche un jeu instrumental coloré adapté à chacun des modes dans le respect des harmonies (culturelles ou immanentes) que le compositeur s'impose, mais encore faut-il éviter les couacs au passage (je sais c'est vite dit et chaque musicien reste libre)

Euzenius.

nicolas.patrois · May 2008

Il existe une échelle à tempérament égal à quinte juste (TEQJ), mais les octaves ne sont plus dans l'échelle. La brochure de Parzysz en parle.

e=mc3 · May 2008

Tu m'as pris de vitesse Nicolas Patrois

Le sujet est passionnant et m'avait passionné en son temps.

il se trouve que c'est un sujet auquel je me suis beaucoup intéressé il y a quelques années (une quinzaine d'années à peu près)

Concernant le TEQJ je recommande l'ouvrage de Serge Cordier, accordeur réputé, qui outre des techniques de base sur l'accord d'un piano expose son TEQJ (il est en est le père). Le titre du livre édité EN 1982 chez Buchet/Chastel est "Piano bien tempéré et justesse orchestrale"). Il explique de manière tout à fait convaincante que les cordes de l'orchestre étant accordées en quintes justes il est non seulement plus logique, mais plus harmonieux d'accorder le piano selon un tempérament à quinte juste. fini les quintes du loup!...bonjour lees octaves non justes...!!Son ouvrage est vraiment REMARQUABLE. Il m'a même convaincu d'essayer d'accorder mon piano au TEQJ. Bien sûr le résultat était peu probant parce que c'était la première fois que j'accordais un piano de A à Z et qu'en plus ce piano n'avait pas été accordé depuis 10 ans. Le manque de stabilité qui s'en suivait était pénible parce qu'on trouve la bonne vitesse de battement, et une heure plus tard hop ça a bougé. J'admire personnellement les gens qui accordent les pianos à l'oreille, c'est vraiment un sacré métier. Moi je me contente plus modestement de mon violon.

Sinon deux autres livres que je conseille que j'avais également lus il y a pas mal d'années mais qui sont plus techniques (ce qui ne veut pas dire que celui de Serge Cordier ne le soit pas) notamment avec du Fourier dans l'ouvrage d'Helmotz (idée de développement pour l'oral d'agreg??):
-Gammes et tempéraments musicaux de Lattard chez Masson (1988)
-On the sensations of tone de Helmotz (traduction anglaise, maintenant si vous préférez l'original en allemand vous pouvez)

Ils sont toujours là dans ma bibliothèque, mais un peu couverts de poussière.
Helmotz fait partie de ces gens convaincus que l'harmonieux se définit de manière mathématique. En ce sens c'est un héritier de l'école pythagoricienne, même s'il va plus loin dans son analyse (c'est un physicien). Il est évident que la notion d'harmonieux comprend une forte part culturelle (avez vous écouté la musique indienne avec ses modes karnatiques? Trouvez vous cela harmonieux?), mais pas uniquement. D'ailleurs pour toute civilisation il y a une frontière entre bruit et musique...le bruit parfait (c'est quoi?) étant un bruit blanc...

gb · May 2008

euzenius a écrit:

La valeur que tu donnes 125/128 n'est cependant pas la bonne

Pourtant, avec deux tierces justes, on obtient :do=1, mi=5/4, sol#=25/16.
La tierce sol#-si# se retrouve alors entre ce sol# à 25/16 et le si#=do à 2, donc vaut 32/25 ; l'intervalle est plus petit que la tierce juste, le rapport des deux étant bien 125/128.

Mais je n'ai toujours pas compris ce que tu cherches à faire.

euzenius · May 2008

gb,

En fait c'est 128/125 = 1,024 dont tu parles (on va de 5/4, le plus petit hé oui car =1,25, à 32/25=1,28 soit 128/125, c'est à dire le petit diésis mais qui est plus grand que 74/73 = 1,0136... donc que 81/80 (après un coup d'oeil sur mes tablettes et on peut aussi aller voir sur wikipedia à comma où l'on trouvera aussi le schisma qui s'approxime par 886/885 = 1,001129944... qui décrit l'intervalle entre comma syntonique et comma pythagoricien).

Je crois que le problème de pas mal de monde est de se focaliser sur des valeurs exactes au lieu de se placer sur des plages de valeurs ce que décrit en fait (pour la gamme chromatique) le nom des notes : MI c'est soit 5/4, soit 81/64 soit 32/25 ou quelque irrationnel bien tempéré ou non (bien sur comme note musicale jouée il faut bien opérer ce choix).

Mon propos est de suggérer que l'aspect harmonieux (très circonscrit à son instantanéité indépendamment de toute composition musicale contextuelle) pourrait découler d'un découpage harmonique "majeur/mineur" audible d'un intervalle note (une plage d'approximations convenables d'où aussi la question sur une possible bonne division du cercle ou spirale musicale histoire d'être plus précis que la gamme chromatique plombée par le comma mais la contenant - ceux qui veulent d'autres divisions étant libres de leurs choix). Les fractions utilisées sont, dans mes exemples, celles découlant des harmoniques ainsi :

1-->7/4-->5/2 et son mineur
1<--10/7<--5/2

(on peut arpéger ou plaquer pour voir le résultat avec différentes approximations de ces valeurs fractionnaires et on évitera de se prendre la tête sur le quasi-triton 10/7 (FA# pour DO) qui fait tout de même partie de la musique bien que certaines règles tendent à en contraindre l'utilisation).

Bien à vous

Euzenius

euzenius · May 2008

Pour être un peu plus précis, il faudrait que j'évite d'utiliser le mot "gamme" pour le remplacer par sectorisation. la sectorisation chromatique de l'octave conduit par exemple à considérer comme un MI toute valeur comprise entre les deux bornes :

1,224053543... < MI < 1,296839555...

bornes qui sont les racines 24ième de 128 et 512

la valeur centrale est alors le MI bien tempéré = 1,259921050... ou racine cubique de 2

Si l'on subdivise par 3 (sectorisation dite "de Salomon") soit 36 secteurs, le secteur contenant le MI bien tempéré contient aussi 5/4 et 81/64 mais plus 32/25 qui pourrait s'appeler MI+...

Si l'on subdivise encore par 3 on sépare alors 5/4 et 81/64 du MI bien tempéré (les bornes et valeurs centrales sont des racines 216ième de puissances de 2), mais cela a-t-il un intérêt musical ?

Euzenius

gb · May 2008

euzenius a écrit:

Mon propos est de suggérer que l'aspect harmonieux (très circonscrit à son instantanéité indépendamment de toute composition musicale contextuelle)

L'aspect harmonieux ne peux pas s'analyser 'indépendamment de toute composition musicale contextuelle"
Robert Tanner posait déjà le problème dans son intervention du 10 mai 1960 lors du colloque "La résonance dans les échelles musicales" organisé par Jacques Chailley dans le cadre des Colloques Internationaux du CNRS.
On considère les deux agrégats (ut0, sol1, mi2, si3, fa#5, ré#6) et (ut0, sol1, mi2, si3, sol5, mi6). Hors contexte, le premier est plus harmonieux parce que le fa#5, ré#6 jouent le rôle d'harmoniques qui enrichissent un son complexe, mais, en contexte, on sent immédiatement la dissonance introduite par la quarte et la seconde augmentée.

euzenius a écrit:

Je crois que le problème de pas mal de monde est de se focaliser sur des valeurs exactes au lieu de se placer sur des plages de valeurs

Tout le monde se place sur des plages de valeurs, dont l'amplitude dépend, elle aussi, du contexte musical, et qui peuvent se chevaucher. On peut avoir, dans certains cas, des variations de l'ordre du quart de ton qui seront ressenties comme restant dans la même plage de valeurs, alors que dans, d'autres situations, un écart de l'ordre du comma pourra être ressenti comme un saut entre deux plages de valeurs distantes d'un demi-ton.

En fait tout exécutant trouve, pour chaque note, une fréquence dans une plage de valeurs dont le centre et l'amplitude dépend du contexte. Le gros problème est posé par les instruments à son fixe, heureusement peu nombreux, qui peuvent se trouver momentanément incapables d'émettre dans la plage voulue.

euzenius · May 2008

Soit,

Mais il existe bien une approche d'harmonie indépendante du contexte musical ainsi que tu le signales par l'agrégat d'harmoniques qui effectivement replacé dans un contexte tonal devient dissonant, tout comme le contexte musical en effet peut rendre fortement sensible une très faible variation, je ne le conteste pas.

Quand je parle de se focaliser sur des valeurs exactes je pense à ceux qui privilégient tel tempérament à tel autre et non la pratique musicale interprétant tout cela. Désolé si je me suis mal exprimé.

Euzenius

gb · May 2008

euzenius a écrit:

Mais il existe bien une approche d'harmonie indépendante du contexte musical ainsi que tu le signales par l'agrégat d'harmoniques qui effectivement replacé dans un contexte tonal devient dissonant,

Hors contexte, il n'y a pas de musique, seulement un bruit qui peut être agréable à l'oreille, ou non...

La pratique musicale demande justement de se focaliser sur les valeurs exactes, dans l'échelle considérée, et compte-tenu des plages de valeurs autorisées par le contexte autour de ces valeurs exactes.

Lorque j'exécute du Couperin, je fais entendre des intervalles de tierce ou de quarte qui ne sont absolument pas ceux que je fais entendre dans du Martinu.

euzenius · May 2008

Soit,

Appelons cela "bruit et découpage agréable" cela me convient tout à fait.

Euzenius

gb · May 2008

Le fait est que je n'ai pas compris le but poursuivi : créer de nouvelles échelles musicales ?

nicolas.patrois · May 2008

Pas mal de musique que j'écoute est qualifiée de bruit par mes connaissances, pourtant...

gb · May 2008

C'est le sens "vulgaire" de bruit...

euzenius · May 2008

Non pas spécialement, je m'interrogeais juste sur une certaine vision du bruit agréable au travers du prisme de ce découpage agréable (d'un intervalle (a,b) selon 1<=a<MH<MG<MA<b, voir le début du post, avec la mise en évidence d'une combinaison majeure et d'une autre mineure) et voir si dépasser le cadre de la sectorisation chromatique en particulier vers la sectorisation de Salomon (36 secteurs) voire plus (108) pouvait éclairer cette interrogation et pouvait ensuite avoir un intérêt en prenant en compte le côté approximatif voire flottant de la notion de fraction représentative d'une plage elle-même susceptible de se gauchir.

Comme il faut bien tester de manière auditive les agrégats de bruits ainsi générés de manière théorique pour voir s'ils sont agréables, je me suis risqué à demander s'il n'existait pas des logiciels simples capables de transformer en bruit les fractions (selon un échantillonnage assez poussé pour éviter une pauvreté de fréquences).

Euzenius

euzenius · July 2008

Une petite couche supplémentaire...

sans doute une sorte de réponse tardive à l'anglais (gb)

En continuant mes réflexions de manière très détachée je suis parvenu à la curiosité suivante :

On sait que le limma (2^8/3^5) et l'apotome (3^7/2^11) avec L<A, constituent la base du syst§me pythagoricien "chromatique" avec pour rapport différentiel A/L le comma pythagoricien 3^12/2^19. On a L*A=9/8.

Si l'on poursuit au niveau suivant on se trouve en présence de deux commas que l'on nommera K (comma pythagoricien) et k (= 2^65/3¨41) et dont le ratio différentiel est un "dischisma" (j'ai évité le terme diaschisma déjà pris) ou double schisma (schisma au carré en gros) à savoir 3^53/2^84. Observons que k^2>K, c'est une observation qui me semble intéressante car si l'on veut poursuivre cette diminution des couples d'intervalles on se trouve avec ce dischisma et le schisma 2^485/3¨306 comme on le rencontre dans diverses notes ou sites mathématico-musicaux (ou le hors série "Tangente") or le carré de ce dernier intervalle est inférieur au dischisma évoqué ci-dessus et leur ratio différentiel n'est autre que le rapport également connu 3^665/2^1054. Je n'ai pas vu une telle observation qui instaure des valeurs intermédiaires dans la spirale des quintes donc je me permets de le signaler.

Neanmoins mon propos n'est pas de poursuivre la recherche de couples de plus en plus petits mais de m'arrêter au système "engendré" par K et k. On pourra me rétorquer que Holder a résolu ce problème avec sa gamme des solfèges et son tempérament égal racine 53ième de 2, mais je pense qu'il s'agit d'une approximation qui bien que délicieuse (9 comma dans un ton et tutti quanti..) est nettement imparfaite.

Faites le calcul : k^51 est très légèrement inférieur à 2 de même que k^60. Calculez alors racine 17ième de k et 20ième de K. Elles sont très proches ce qui suggère un tempérament plus fin "t" tel que t^17=k et t^20=K. Une valeur intéressante est la racine 1024ième de 2 ce qui nous amène à rapprocher la division par 1024 du cercle avec la subdivision 1020=4x3x5x17 et vous observerez (est-ce une curiosité anecdotique ou bien cela a-t-il une signification mathématique spécifique que je suis bien incapable d'expliquer ?) que ces divisions relèvent des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas (notez que j'avais fait une erreur dans les posts précédents le nombre de côtés de tels polygones ne peuvent être multiples de 9 sauf par approximation de la corde et de l'arc dès lors que le nombre de côtés est assez "grand" ce qui suggère un algorithme par approximations successives avec convergence rapide).

On notera que L=kK^3 et que A=kK^4. On notera aussi que k^5 (k minuscule) est une bonne approximation de w, 1/2 ton chromatique équitempéré (18/17<k^5<w << 17/16). Par conséquent L=t^77 et A=t^97 et ce sont de bonnes approximations (au savart près). Tout l'art consiste à reprendre des valeurs pythagoriciennes justes ici et là pour éviter des cumuls d'approximations. Je vous laisse etablir quelle est la bonne approximation de la tierce juste (5/4) dans ce système qu'il s'agit de bien tempérer comme ci-dessus décrit.

Pour clore je rappelle que l'algorithme de Héron d'Alexandrie qui appliqué au calcul de la racine de 2 donnait en première approximation :

2>3/2>racine(2)>4/3>1

fait intervenir le nombre de Fermat premier 17 en deuxième approximation

2>3/2>17/12>racine(2)>24/17>4/3>1

et que l'on retrouve ce nombre de Fermat dans la radicalisation alexandrienne de 9/8 :

9/8>17/16>racine(9/8)>18/17>1 et on a même :

9/8>A>16/15>>17/16>racine(9/8)>w>18/17>>135/128>L>1

alors que w n'est plus encadré par les sesquièmes 33/32>34/33>w de la radicalisation alexandrienne de 17/16

Merci par avance de vos remarques et critiques même acerbes...

Euzenius

(NB cette modeste contribution n'a rien à voir avec celles déposées rue de Solférino depuis quelques temps).

euzenius · July 2008

Rectification :

en fin de post précédent, il ne s'agit pas du demi-ton équitempéré noté w mais de sa racine ou quart de ton équitempéré qui se trouve non encadré par les sesquièmes 33/32 et 34/33, mea culpae...

Euzenius

bs · July 2008

Coucou,

Pour les amateurs de musique et de mathématiques ( vous êtes nombreux ), lire le problème ENS-ULM-1984-option M' , intitulé Logarithmes, gammes musicales, antiphérèse, car y figurent des questions portant sur les gammes de Pythagore, Rameau, Zarlino et Hölder.
Ce problème se trouve dans le livre: Ellipses-problèmes corrigés ENS de Jouini-Excoffier; ah, faire des maths en musique...

Au fait, à quand l'orchestre symphonique des maths.net ?

Amicalement.

euzenius · July 2008

Merci pour la référence,

que ne ferait-on pour ses enfants musiciens quand ils se passionnent pour l'harmonie, mais difficile en effet de trouver des sources mathématiques seyantes ? On verra en retour s'ils sont disposés à nous pousser jusqu'à l'orchestre suprême mathnet... car pour ma part je suis un peu sec en la matière même si l'un de mes grand-pères soignait la chatte de Ravel (ce qui ne nous rajeunit guère...) du côté de Montfort l'Amaury.

Cordialement

Euzenius

musique et "découpage harmonique"

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