Utilisation des nombres complexes

bonjour Mélanie,

(A lire avec la voix de Darth Vador)

Dans le monde vulgaire, c'est-à-dire non mathématique, le réel sans l'imaginaire est chaotique et dénué de sens apparent. Il en est de même pour le monde mathématique: Les nombres imaginaires donnent du sens et surtout une cohérence aux nombres réels.

Le théorème fondamental de l'algèbre (Théorème d'Alembert-Gauss) est un théorème complexe.

La théorie analytique des nombres est plus simple est plus profonde avec la variable complexe.

La variable complexe justement - Ah le miraculeux théorème de Turin - permet d'effectuer des calculs d'intégrales réelles que sans ça tu peux toujours t'accrocher ma petite. Vive la méthode des résidus.
Idem avec le prolongement analytique: Encore un outil simple, accessible (niveau L3) et d'une puissance colossale.

L'idée de tout ça c'est que sur la droite réelle pour aller d'un point à un autre il n'y a pas trente-six solutions. Dans le plan complexe tu peux te payer des volutes candeloresques.

ça c'était pour les maths: Pour la physique l'électricité - donc la mécanique - te paraîtront plus facile à aborder avec les complexes.

ETC.

Un peu de vécu:
- Le prof: Bon il reste dix minutes, largement assez pour décomposer une fraction en éléments simples.
- Les élèves: Beuuuuuh !
- Le prof: (dictant une fraction pas piquée des hannetons) ...à décomposer sur...
- Les élèves (déjà accablés) Sur $\mathbb C$ M'sieur !
- Le prof: (sadique) Sur $\mathbb R$ !

Pour que tu ne partes pas les mains vides, un classique:
Soient $a,b,c$ et $d$ quatre nombres complexes. On pose
$z_1 = a+bi$ et $z_2 = c+di$. On a donc $z_1z_2 = (ac-bd)+i(ad+bc)$.
De l'égalité $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$ on a $|z_1z_2|^2 = |z_1|^2|z_2|^2$ donc l'identité RELLE:
\[(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2).\]
Cette égalité devenant vraie pour les nombres complexes.

Tu es entrée dans l'univers des nombres complexes. Tu es piégée car tu n'en ressortiras plus. Mais bienvenue au club. Ferme la porte derrière toi et prends les patins.

amicalement,

e.v.

PS Oh le vilain signe + qui manquait!

Une question vient a mon esprit. Si les nombres complexe peuvent-être utilisés pour représenter/décrire des similitudes du plan est-ce on peut imaginer une nouvelle structure en 3 coordonnées d'espace (les nombre complexe ayant 2 coordonnées de plan) pour modéliser des rotations/similitudes dans l'espace ?

Par exemple avoir des "entité W" qui peuvent s'ecrirent comme cela:
W= x + iy + jz et faire les calculs comme les nombre complexe.

Bref un truc entre les nombre complexe et les quaternions. Possible ?

J.

Merci pour ta réponse rapide, cher Ev.

J.

Bonjour,

Vaste sujet. Commence par çà que tu aurais pu trouver tout seul.

Codialement,

Rescassol

Là Fdp, tu t'avances :-D ! De mon temps on savait écrire [X^4 + 1 = (X^4 + 2\,X^2 + 1) - 2\,X^2 = (X^2 + 1)^2 - 2\,X^2 = \cdots\]Bruno

Tu n'as pas eu de chance, en terminale j'ai eu droit à l'étude des équations bicarrées et la façon de décomposer le trinôme dans tous les cas ; ce qui est facile quand il y a au moins une racine réelle et quand ce n'est pas le cas, la méthode que j'ai utilisée fonctionne systématiquement :-D.

Bruno