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Résultats surprenants en mathématiques

Envoyé par Héhéhé 
afk
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
Du point de vue formel, une démonstration n'est qu'une suite de trivialités. Mais les trivialités et leurs enchainements sont parfois peu intuitifs. Je crois que c'est Von Neumann qui a dit: on ne comprend pas les maths on ne fait que s'y habituer. D'après mon expérience, je l'interprète comme le fait que si on ne prend pas le temps de décortiquer a fond le raisonnement qui conduit à un théorème, il devient vite une boite noire qu'on utilise sans en comprendre précisément la mécanique interne et les conséquences peuvent alors paraitre surprenantes.


@Ga. Il me semble que la démonstration que tu cites utilise de façon essentielle le théorème des valeurs intermédiaires qui est quand même fondamentalement topologique (l'image d'un connexe par une application continue est connexe). Mais encore une fois j'ai personnellement accepté le fait qu'il n'y ait pas de preuve purement algébrique car la définition de $\R$ ou $\C$ elle même n'est pas purement algébrique. Le côté surprenant vient en grande partie de l'appellation "théorème fondamental de l'algèbre".
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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@ Cidrolin. Ouais, bon, je fais un peu petit-bras avec mes 15, et mon impression qu'il y en avait plus est confortée. Ce sont vraiment des nombres magiques. Pour moi, ce sont d'abord les nombres de parenthésages, ou de dissections d'un $n$-gone convexe en triangles, ou de trajets sous-diagonaux (stricts ou non). C'est déjà merveilleux que ces trois-quatre donnent les mêmes nombres ; les soixante et quelques autres sont en prime.
Bonne nuit.
RC
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Citation

Du point de vue formel, une démonstration n'est qu'une suite de trivialités

Pas facile non plus de définir ce qu'on entend par surprenant (mot émotif), mais peut-être que c'est "inattendu" et que c'est moins vague de le dire comme ça.

Regarde le cas du théorème de Wedderburn ("tout corps fini est commutatif"). Si je me souviens bien "la" preuve utilise des théorèmes de Sylow qui ne sont pas simples. Si on déroule la preuve en une succession de trivialités, y compris la preuve des théorèmes de Sylow qu'on utilise, ça fait une sacrée longueur.

Le truc surprenant c'est que quand on ne connait que la définition d'un corps, on est vraiment coincé si quelqu'un nous pose cet exercice. L'énoncé du théorème est élémentaire, mais la preuve utilise des connaissances poussées et des constructions intelligentes. Et après ça le résultat est-il moins surprenant ?

Un exemple de preuve avec laquelle le résultat n'est plus surprenant c'est quand on démontre le résultat en question comme cas particulier d'un fait bien plus général et pas trop difficile (je n'ai pas d'exemple précis).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Autre exemple. C'est assez élémentaire de définir :

- un mouvement brownien
- la filtration d'un processus stochastique
- une martingale dans une filtration

et une fois qu'on connait ces notions on comprend sans peine le théorème suivant :

- toute martingale dans la filtration d'un mouvement brownien est continue

Pourtant, pour quelqu'un qui n'a pas de connaissances plus poussées que ça en calcul stochastique, ce théorème est sidérant. Mais pour quelqu'un qui sait que toute martingale dans la filtration d'un brownien a une représentation en intégrale stochastique, c'est immédiat.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Il est difficile de prouver que $\ln 2$ et $\ln 3$ sont irrationnels mais il est très facile de montrer qu'au moins l'un d'entre eux l'est.
Parcours surdiagonaux, parenthésages ou arbres binaires, c'est kif-kif. Voici trois incarnations du même mot de Dyck :

[attachment 30655 Capturedu2013-11-2209:00:56.png] [attachment 30656 Capturedu2013-11-2209:01:12.png] [attachment 30657 Capturedu2013-11-2209:01:49.png]


Une parenthèse ouvrante correspond à un déplacement de 1 vers le haut sur la grille, et à une descente d'un étage vers la gauche sur le parcours d'arbre. Une parenthèse fermante, à un déplacement de 1 vers la droite et à une descente d'un étage vers la droite (je dis ça pour Raymond, parce que je crains qu'il ne comprenne pas sinon).


Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Je me demande comment j'ai pu faire des mathématiques pendant plus de cinquante ans sans l'aide de Ga ;)?
S'il y a plus de soixantes interprétations combinatoires des nombres de Catalan, il est bien évident qu'il existe des démonstrations du fait que ces divers dénombrements sont régis par les mêmes nombres.
Je suis navré d'enfoncer ainsi des portes ouvertes, mais apparemment elles ne le sont point pour tous.
En particulier, je connais bien les démonstrations de l'équivalence des trois-quatre définitions qui ont ma préférence. Peut-être les connaissais-je, que Ga? n'était pas né.
Ce que je voulais dire, c'est qu'il ne me semble pas opportun de définir ces nombres par je ne sais quels arbres à noeuds et tout ça, alors que les parenthèses, les triangulations, les trajets, c'est quand même plus parlant pour démarrer.
Ensuite, on peut étaler ses vastes connaissances dans les soixante et quelques autres interprétations.
Ouf ... fatigue du sens ...
RC

Auriez-vous donc la goutte à l’imaginative ?
Edmond Rostand
JLT
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Citation

j'ai pu faire des mathématiques pendant plus de cinquante ans sans l'aide de Ga (...) Peut-être les connaissais-je, que Ga? n'était pas né.

Heureusement qu'il y a le "peut-être", sinon ces deux phrases seraient contradictoires.
J'ai bien compris que les arbres binaires n'étaient pas familiers à Môssieur Cordier, mais je n'ai toujours pas compris en quoi cette notion est "moins parlante", "anecdotique", "réservée pour le haut du panier des algébristes".
Je la trouve en tout cas bien adaptée pour trouver l'équation $S=1+xS^2$ dont la série génératrice des nombres de Catalan est solution, et c'est bien de ça dont il était question avant que Raymond tienne à nous faire partager son aversion des arbres binaires.
Mon propos, c'était de souligner que l'équation n'est que la réécriture de la définition du type $B$ "arbre binaire" :

[attachment 30660 Capturedu2013-11-2210:39:44.png]
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
avatar
@ JLT
Un des problèmes des dialogues sur Internet, c'est qu'on ne connaît pas l'âge de l'interlocuteur. Je conjecture que Ga? est un brillant jeune algébriste. S'il est un brillant vieil algébriste, évidemment j'ai tort.
Bon, je vais revoir ça, peut-être suis-je sujet à une arborophobie dommageable - mais qui n'est pas encore illégale en l'état actuel de la législation spinning smiley sticking its tongue out.
Bonne journée.
RC



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Raymond Cordier.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
Philippe Malot écrivait:
-------------------------------------------------------
> Il est difficile de prouver que $\ln 2$ et $\ln 3$
> sont irrationnels mais il est très facile de
> montrer qu'au moins l'un d'entre eux l'est.

Dans un genre proche, le fait que l'un au moins des nombres $e+\pi$ et $e \pi$ soit transcendant est facile à partir d'un théorème que Ga? m'a enseigné il y a quelques années, mais on ne sait toujours pas lequel des deux l'est (ou si les deux le sont), je crois.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
Super idée ce fil ! ma (maigre) contribution :

- Les 104 premiers polynômes cyclotomiques ont des coefficients égaux à 1 ou -1 mais pas le 105ème.

- On peut tirer au hasard un nombre réel uniformément dans [0;1], mais on ne peut pas faire ça avec des rationnels (je sais pas pourquoi celui-ci me dérange, sûrement parce que je ne connais absolument rien aux probas).

- Le plus surprenant pour moi c'est qu'on démontre le théorème des nombres premiers et de la progression arithmétique par l'analyse complexe. Je crois qu'il existe des démos sans analyse complexe mais elles sont apparues bien plus tard et sont plus difficiles je crois.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
ev
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
avatar
Une référence : la loi forte des petits nombres.

Citation
Judoboy
On peut tirer au hasard un nombre réel uniformément dans [0;1], mais on ne peut pas faire ça avec des rationnels.
Effectivement, vu comme ça, l'énoncé a un petit goût paradoxal, n'en déplaise à Christophe.

e.v.

PS : Je n'ai pas trouvé la suite.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par ev.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Excellente cettte fiche ! Merci ev.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
avatar
En traçant l'ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que ${1\over 2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor$ , on obtient ceci :


Ceci figure dans une grande liste d'identités plus ou moins surprenantes : [math.stackexchange.com]

P.S. (edit) il semble qu'il y ait une légère "arnaque" dans le sens de parcours des axes, voir la page wikipedia sur cette formule autoréférente du Tupper pour plus de détails [fr.wikipedia.org]\%C3\%A9f\%C3\%A9rente_de_Tupper
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Trop fort !
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
J'arrive pas à le croire ton truc Siméon...
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
ça a été publié un 1er avril ?
ev
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
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Voir par ici pour plus de détails.

C'est vraiment redoutable.

e.v.
Re: Résultats surprenants en mathématiques
l’an passé
Magique !

D'ailleurs il y a bien plus d'étonnement face à la magie que face aux maths.
Bonjour,


ce qui m'étonne un peu c'est que la fonction : floor(2*n/log(2)) - ceiling(2/(2^(1/n)-1)) ne soit pas pas identiquement nulle.

bien cordialement

kolotoko
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