Logique mathématique et comprendre le monde

Neo a écrit:

Le problème c'est le choix.

Lucy a écrit:

Ah...oui, c'est ça le problème : le temps.

Zazie a écrit:

Le problème c'est le langage.

réponse envoyée depuis ma fiction du monde (comme vous n'avez pas défini ce qu'est un logicien, genre c'est un habitant de la logique ? je me permets de répondre)

S

Je précise un peu et réponds à tes autres questions:

Non, il n'y a pas de spécialités plus importantes que d'autres (parce que la notion d'importance est très vague), ni plus fondamentale un peu pour la même raison à propos du mot "fondamental". Elles sont assez différentes, mais se rejoignent au niveau de l'objectif qui est différent du reste des maths: comme j'ai entendu dire (et je suis d'accord) plusieurs chefs de labos de logique, l'objet d'étude de la logique mathématique est "les mathématiques" (au même titre que l'objet d'étude des théoriciens des groupes sont les groupes ou que l'objet d'étude des catégoriciens sont les catégories, etc)

Ca induit une mode de fonctionnement beaucoup plus long et des théorèmes moins nombreux, mais plus généraux. On trouve aussi parfois des "applications", mais c'est moins la vocation ou l'objectif assumé de la logique. Comme je dis souvent, les maths (et les sciences en général) sont de la logique appliquée et donc, il est naturel et plus efficace d'avoir des des spécialistes des branches appliquées de la logique (ie les maths et les autres sciences) qui ne soient pas "embarrassés" de connaissances "excessives" ou de passions excessives pour la logique.

Il est difficile de te résumer vite fait comment la logique (version labo) permet de mieux comprendre le monde. Comme je te l'ai dit à mon post précédent d'une manière "trop discrète", en discernant la forme du fond, elle permet de renvoyer aux gens ce qu'ils ont réellement prouvé: en effet, souvent les scientifiques croient donner du sens à ce qu'ils racontent et produisent des textes scientifiques qu'ils imaginent "sensés". A côté de ça, comme ils sont professionnels, ils se sont (souvent inconsciemment) soumis à un certain nombre de règles du jeu formelles pour que leur texte soit acceptable et qualifié de preuve. Dès lors, sans le savoir, ils ont prouvé beaucoup plus qu'ils ne sont conscients (à cause de ce qu'est une preuve) et c'est à ce niveau que les coopérations entre logique et science permettent de catalyser et mieux comprendre l'avancée en mettant le phare sur le fait que le collègue X qui a produit la preuve Y en croyant parler de Z n'a pas du tout utilisé le fait que Z a telles et telles propriétés et donc a prouvé beaucoup plus.

Un grande autre partie de la logique sont les résultats d'indépendance ("vous ne pourrez pas prouve tel truc avec tels axiomes, sauf miracle") et les résultats de non indépendance ("il existe une preuve de tel truc, même si personne ne pourra jamais l'écrire car trop tarabiscotée/longue") issus** des outils d'indépendance

** par exemple le théorème des zéros de Hilbert est une "évidence" logique(à quelques acquis de base près) ou le fait qu'il y ait des algèbres de Boole très grandes à nombre dénombrable de générateurs.

Evidemment je te parle de vocation et de principes, pas des gens eux-mêmes. Bien des scientifiques sont des logiciens inscrits dans des labos dont le libellé ne fait pas un milligramme de référence à la spécialité officielle logique et bien des scientifiques inscrits "officiellement" en logique ne font en fait que très peu de logique. Par exemple, le labo le plus infuent de Paris6 est constitué de logiciens "infiltrés", etc, etc

Aussi fade que ça puisse paraitre, la distinction entre fond et forme est un sujet scientifique important et conséquent, mais je ne sais pas comment décrire cette activité avec des mots plus pimentés.

Le seul domaine qui n'a pas été "logiquement achevé" est celui de la topologie algébrique: j'ai d'ailleurs coutume de dire que le jour où on aura logifié (sans faire semblant) la topologie algébrique, les maths auront franchi un grand pas (en attendant on rafistole avec des bouts de ficelle). Je pense que c'est un défi***.

*** Le critère clinique pour savoir que ça a lieu est la présence dans les archives académiques de preuves en quelques lignes évidentes pour tout le monde des théorèmes de Brouwer, Lefschetz (enfin une version un peu simplifiée) et de la conjecture de Hadwiger, par exemple, ces trois énoncés (avec d'autres) étant "intuitivement évident" et pourtant ... non prouvés (enfin deux d'entre eux le sont avec des usines à gaz)

:-D par transitivité, tu considères que les mathématiques n'apportent rien à la compréhension du monde.

Il y a bien longtemps que la logique a remisé ces termes (et a justement éclairé pourquoi les gens croient en avoir besoin). Rappel: les théorèmes de logique établissent que la vérité n'existe pas (ie n'est pas définissable).

[small]edit: je rappelle comment l'idée de DEUX valeurs émergent de la recherche de certitude (ie de la science). On abrège généralement "si si A alors B alors si A alors B" (qui est l'évidence originelle) en "si (si A alors et A alors B". Un refus de B conduit donc à un refus, au choix de "si A alors B" ou un refus de A. Quand on sature, on obtient un ensemble qui, pour tout A, a refusé A ou a refusé A=>B. En nommant "vrais" les A tels que A=>B a été refusé et faux les autres, on obtient une fonction qui associe à chaque phrase associe un élément de $\{vrai; faux\}$. On pourrait tout à fait prendre $\{pomme; melon\}$ à la place. Si cette fonction ne marche pas (ie s'il existe un ensemble de trois phrases ayant des images incohérentes par cette fonction), alors en revenant à l'étape où le gars qui décidait des refus en a parlé, on s'aperçoit qu'il devenait évident de lui prouver B à ce moment-là. Les seuls "axiomes" utilisés ici étant non(non X)=>X et quelques autres principes (essentiellement la pérennité des hypothèses)[/small]

La philosophie analytique.

@JLT Ca dépend de ce qu'on appelle "concept avancé". Un exemple de "concept avancé" de logique est la mécanisation du raisonnement (quel qu'il soit). Bin, il s'applique dans la vie courante.

Par ailleurs, à l'époque où on vit, il me semble par ailleurs difficile de recenser des choses qui seraient "purement non informatiques". Pratiquement toute l'ingénierie de la vie courante se sert d'un peu toutes les sciences.

Il est par ailleurs très difficile de recenser la part "purement non logique" des acquis de la science: en effet, si au niveau du matheux "ordinaire", il n'est pas forcément très conscient "d'appliquer la logique", ce sont justement les arbitrages avancés de la logique qui seront forcément au RV pour évaluer les découvertes importantes (et pas seulement les arbitrages, mais souvent les motivations elles-mêmes***). C'est pourquoi les "savants" (hors activités réécréatives comme arithmétique etc) qui n'ont pas forcément découvert tel gros truc, mais doivent en parler à d'autres ou l'évaluer correctement sont un peu obligés d'avoir des compétences en logique pas seulement élémentaire mais un peu avancée (sinon, ils risquent de dire de grosses conneries ou de très mal évaluer ce qu'ils ont sous le yeux).

*** par exemple les inter-définissabilités (qui ne sont pas "de la logique rudimentaire je pense?)

Plus de smiley bière car nous vivons dans une époque morose et anti-festive.

christophe c a écrit:

hyperplatonico-professeur-rectanglisme

J'aime bien ce néologisme. J'ai ri

Tu n'emploies jamais les expressions "vrai" "faux" dans la vie courante?
Je n'ai fait que citer le fait connu sous le nom pompeux de "théorme de correction"...

Christophe a écrit:

ce sont justement les arbitrages avancés de la logique qui seront forcément au RV pour évaluer les découvertes importantes

Que veux-tu dire ?

foys a écrit:

Tu n'emploies jamais les expressions "vrai" "faux" dans la vie courante?

Si bien sûr: j'emploie des tas de mots qui n'ont pas de définition d'ailleurs ;-)

foys a écrit:

Je n'ai fait que citer le fait connu sous le nom pompeux de "théorème de correction"...

Il est beaucoup plus problématique qu'il en a l'air ... dans la vie courante justement. Car "dans la vie courante", il est .... faux (enfin plus précisément contradictoire***). Pour arriver à en donner des preuves dans les cours de logique de 2ième cycle par exemple, on le suppose pour arriver à le prouver (ie on donne aux phrases une structure bien fondée pour pouvoir arriver à le prouver par récurrence sur le rang de la phrase). Autrement dit, on "ne fait rien" de pertinent.

Après tu pourras toujours me dire que "c'est bien" de bien fonder les phrases. Je ne te contredirai pas, c'est "pas mal ouais" comme dirait samok, mais bon, ce n'est pas une fenêtre sur le monde assez authentique. Ca sert à faire des "petites maths" faute de mieux. Mais la compréhension du monde passe par un désir qui ne peut pas se réduire à ça.

Remarque: même "banalement", en considérant $A_i:=i$ est un salaire de pauvre => $i+1$ en est un aussi, tu prouves (avec ton "théorème de correction") que les milliardaires sont pauvres (tu connais bien cet argument, il porte un nom, mais je ne sais plus lequel)

[small]*** je rappelle une preuve de ça: soit le système déductif du second ordre tel que $P=dem(W\to (P\to Paradis))$ en abrégeant par $W:=\forall X: (dem(X)\to X)$. Alors $W\to Paradis$. Preuve: supposons $W$. Alors si $P$ alors $dem(W\to (P\to Paradis))$, donc comme $W$ : $W\to (P\to Paradis)$, donc comme $W$ : $P\to Paradis$. On a donc que $P\to (W\to (P\to Paradis))$. On vient de donner une preuve de ça, donc $dem(W\to (P\to Paradis))$, donc $P$ donc $W\to Paradis$. (Ceci est "la vraie" remarque de Godel et cie, le reste étant un détail)[/small]

Pour pouvoir démontrer: Pour tout n, si j'ai n euros alors je suis un pauvre" il faudrait au moins qu'on ait:
P(n)=>P(n+1) vrai avec P(n): "celui qui possède n euros est un pauvre" B-)-

fdp a écrit:

il faudrait au moins qu'on ait:

il suffirait qu'on ait. (Et qu'on ait P 0)

fdp a écrit:

c'est toi qui a considéré P(n)=>P(n+1) et tu as supposé que c'était vrai si je t'ai bien compris.

Non, je ne l'ai pas supposé "ex nihilo" mais en réponse à foys(fictif) qui disait "tss, tss, tss, voyons, voyons, le vrai et le faux c'est pas des trucs de puceaux ou de philosophes de salon, c'est du béton armé" (bon, il a accepté un peu de patte à modeler dans les béton, certes) et qui a évoqué le théorème de correction. Je lui ai répondu l'argument bien connu, que comme (qui osera dire le contraire), il est vrai qu'un salaire revenu de 0 euros est un revenu de pauvre et que pour tout entier n, si n est un revenu de pauvre alors n+1 est aussi un revenu de pauvre, alors tout le monde (sur notre terre) est pauvre (ce qui est bien connu :-D ).

Ne prends pas à la légère que Pauvre(n)=>Pauvre(n+1). Ce ne serait pas sérieux (sauf si tu m'exhibes d'un coup de cuillère à pot un entier n tel que Pauvre(n) et non(Pauvre(n+1)))

si n est un revenu de pauvre alors n+1 est aussi un revenu de pauvre a écrit:

Je conteste cet argument. Cette implication n'est pas toujours vraie B-)-

Et si cette implication n'est pas toujours vraie alors le raisonnement est incorrect.

Il faudrait définir précisément ce qu'est un salaire de pauvre.

Mettons que ce soit un salaire qui est inférieur ou égal à un certain entier S.

L'implication P(S)=>P(S+1) est fausse puisque $S+1>S$ B-)

Après le raisonnement est spécieux car on suppose implicitement que tous les salaires sont possibles ce qui est faux.

J'oubliais, il y a aussi tous les résultats provenant de la théorie des ensembles.

@H de rien

@PR merci pour tous ces exemples. L'auteur du fil voulait cependant des exemples "hors-informatique" (je ne sais pas quel degré de "hors" il attendait)

@JLT: tu cites, j'ai l'impression surtout des calculs d'analyse élémentaire, non? De plus, il est difficile de comparer le vaste champ des mathématiques appliquées et le champ plus homogène d'une seule spécialité. Je ne suis pas tellement convaincu par tes exemples dans les sens que pour moi, en dehors bien sûr de formules (qui sont des théorèmes particuliers) de calcul, je n'ai pas l'impression que tu puisses proposer des théorèmes qualitatifs en grand nombre. Il est évident que la logique ne proposant pas de formules de calcul (ou peu), il n'y a aura pas d'exemple de cette nature.

@fdp: c'est inquiétant la façon dont tu cherches à "casser" l'axiome qui te déplait (enfin je veux dire ce qui est inquiétant c'est que tu n'écrives pas que ta première phrase, ie que tu ne renvoies pas la remarque académique que foys a signalé qui est généralement opposée à cet argument:

foys et fdp a écrit:

faudrait donner une définition formelle de pauvre

Toi, tu ... en proposes une. Tu vois bien que ça ne marche pas. Il est honnêtement incontestable que pour tout entier n, si avoir n comme revenu atteste de pauvreté alors avoir n+1 comme revenu atteste de pauvreté aussi. Point. Donc refuser la conclusion que pour tout n, on est pauvre avec n de revenu, c'est "honnêtement" une position qui doit conduire à la conclusion qu'il n'existe pas d'ensemble A inclus dans IN tel que pour tout n, avoir n comme revenu atteste de pauvreté si et seulement si n est dans A (ce qui n'a rien de choquant).

@foys:

foys a écrit:

mais on est dans le second ordre ultra laxiste (j'avais pas envisagé cette circonstance) de plus, "dem()" veut-il vraiment dire "est prouvable"? (douteux)

.

Si tu veux mais ce ne sont pas des objections au théorème. Ta première objection est un commentaire auquel je dirais juste que la plupart des maths sont exactement dans le "même second ordre laxiste" (et même parfois beaucoup plus!!! là on joue en amateur). Mais tu as parfaitement le droit de "refuser" les axiomes, je ne les ai pas du tout justifiés, c'est la vie. Par contre, je ne comprends pas du tout ta 2ième remarque :-S Elle n'a pas de sens, tu n'as qu'à considérer que j'ai "défini" $dem(X):=[X$ est prouvable $]$. Si tu veux, je te fais le même coup avec "axiome" à la place de "prouvable à partir des axiomes machin", mais il faudrait que je lance caml. Ca ne changera rien au schmilblick, ça donnera juste une preuve qui fera 15 pages produites par caml de $non(W)$ où on aura défini $dem(X)$ par "il existe une évidence E telle que E=>X est aussi une évidence". Tout lecteur "constatera" qu'il existe une évidence $E$ telle que $E\to non(W)$ est aussi une évidence... à la condition de lire les 15 pages de hiéroglyphes produits.

christophe c a écrit:

la plupart des maths sont exactement dans le "même second ordre laxiste" (et même parfois beaucoup plus!!! là on joue en amateur)

Même si elle apporte le confort de l'ordre supérieur, ZF(C) est une théorie du premier ordre (massivement utilisée).

Prouver qu'il existe une évidence E telle que E=>X n'est pas prouver X ni même exhiber cette évidence.

Ce que je voulais surtout dire c'est que ce sont des formules de calcul (même si leur preuve font appel à des théorèmes profond). A partir du moment où une spécialité ne produit pas de formules, il me parait normal qu'on la trouve moins représentée dans le travail de l'ingénieur "vie courante". Concernant l'algèbre par exemple, c'est une branche appliquée quasiment directe de la logique en un certain sens (je veux dire par là pour une grosse partie de l'algèbre abstraite: isolement de la notion "d'indéterminées", etc).

Par essence, un domaine va s'appliquer quand il produit des certitudes très particulières, donc ne ressemblera pas à la logique. Mais il me semble que c'est toi qui a réorienté la question de l'auteur du fil vers "les applications":

forlerko a écrit:

Quand il s'agit de comprendre le monde

(je ne tronque pas incorrectement la citation, ensuite il précise mais ne change pas le mot "comprendre")

JLT a écrit:

Pour être vraiment clair : de nombreux théorèmes de math sont explicitement utilisés par des professionnels d'autres disciplines. Existe-t-il un théorème de logique qui est (explicitement) utilisé dans une autre discipline ?

C'est un virage à 180 degrés. Les occurrences sont inversées. Le cerveau ne peut pas "comprendre" quelque chose qu'il nie (ie qu'il met à l'épreuve). Quand tu utilises une affirmation, tu la nies**, ne pas l'oublier. Tous les appliqueurs de la planète font subir de véritables agressions répétées aux théorèmes de maths (heureusement, les théorèmes ne sont pas les animaux, ils ne souffrent pas, enfin espérons)

La démarche de compréhension d'un phénomène est une démarche personnelle ou collective qui agit en défense du phénomène (soit dans le sens opposé à celui de l'attaque)

** Tu utilises A dans des acquisitions de A=>B (ie de non(A) ou et même si tu espères gagner B, tu regardes en spectateur ébloui la résistance de A. Tu n'es pas en posture de la comprendre, mais en posture de l'admirer. Comprendre c'est cesser d'admirer (c'est le drâme des couples :-D )

Christophe dit que si on utilise un théorème de maths A pour comprendre le monde, on ne comprend pas A. Admettons (quoique la négation de A ne nous dit-elle pas quelque chose de A?). Mais il ne s'agissait pas de comprendre A mais le monde. Bref, je ne comprends pas, JLT, que tu aies aussi facilement accepté le sophisme de Christophe.

@db : je n'ai en fait pas complètement compris (!) ce que voulait dire Christophe, mais je suis juste d'accord avec son constat que "appliquer un théorème dans une situation concrète" n'est pas synonyme de "comprendre une situation concrète".

Mais je maintiens que si on comprend suffisamment en termes mathématiques une situation concrète, alors on est en position d'appliquer des théorèmes.

JLT a écrit:

je suis juste d'accord avec son constat que "appliquer un théorème dans une situation concrète" n'est pas synonyme de "comprendre une situation concrète".

Mais ce que j'ai compris de ce que dit Christophe n'est pas cela; je crois qu'il dit : "appliquer un théorème dans une situation concrète" n'est pas synonyme de "comprendre ce théorème".

fdp a écrit:

Je t'ai montré que cet argument était incorrect dès qu'on précise ce qu'on entend par "un revenu de pauvre".

Non. Tu as montré qu'il existe une manière de préciser pauvre telle qu'il existe n tel que Pauvre(n) et non(Pauvre(n+1)). Par ailleurs (et tu ne l'as pas montré), l'axiome de récurrence entraine que quelle que soit la manière de préciser pauvre comme un ensemble (non vide), il existe un entier n tel que Pauvre(n) et non(Pauvre(n+1)). Je pense que tu es au courant que ce n'est pas un scoop.

Et je te répète que toute notion acceptable de précision de Pauvre doit vérifier: P(0) et $\forall n\in \N: Pauvre(n)\to Pauvre(n+1)$ et $non(Pauvre(10^{15}))$.

En conséquence de quoi et sous l'axiome de récurrence , il n'existe pas d'ensemble $A$ tel que $\forall n\in \N: n\in A\iff Pauvre(n)$. Après bien évidemment, tu en tires les conséquences que tu veux, et c'est une amusette qui a souvent été discutée de toute façon.

Le problème n'est pas que Christophe a tort de dire qu'appliquer un théorème n'est pas synonyme de l'utiliser, c'est qu'il a tort d'en déduire que ta question sur l'utilisation de la logique dans d'autres disciplines était illégitime, car, comme tu le dis, il est hors-sujet.

Christophe a écrit:

Attention, tu as fait plusieurs fautes de frappe dans tes deux interventions.

Oui, enfin au moins une. C'est bien "Le problème n'est pas que Christophe a tort de dire qu'appliquer un théorème n'est pas synonyme de le *comprendre*" que je voulais écrire.

Christophe a écrit:

C'est toi qui introduis la notion de "comprendre/utiliser" les énoncés en tant qu'énoncés.

Non. C'est toi qui disais que utiliser un énoncé n'est pas le comprendre, alors que JLT parlait d'utiliser un énoncé de logique dans d'autres domaines. Je faisais juste remarquer que ton intervention disant qu'utiliser un énoncé n'est pas le comprendre n'est pas un argument contre la légitimité de la question de JLT cherchant des applications de la logique dans d'autres disciplines afin de comprendre le monde.

D'accord, mais je n'ai jamais pensé que JLT est "illégitime" dans sa question. Je disais qu'il a changé la question, autrement dit, je disais que ce n'est pas en regardant les applications qu'on évalue si une spécialité permet de comprendre le monde.

Je prends un exemple très simple: l'écriture décimale (et l'écriture dans une base imposée). Elle n'a vraiment rien à prouver quand à la multitude "d'applications" qu'elle a. (Le monde entier gère les nombres en utilisant à corps et à cris des algorithmes qui gèrent les écritures de ces nombres; elle a le pouvoir fascinant de permettre à 7000000000 de personnes d'avoir chacune un numéro de téléphone très court à énoncer, etc). Mais elle n'apporte absolument rien à la compréhension du monde. Au contraire, elle reste relativement "un mystère appliqué" et un objet de fascination pour beaucoup.

A l'inverse, on a des avancées de compréhensions (ou du moins de le croit-on) quand on "sait" (ou croit savoir) que la fonction d'Akerman appliqué au couple (100, 100) finira en théorie par s'arrêter (ou la procédure qui lance le calcul d'une suite de Goodstein). Ou encore le théorème qui dit que dans tout ensemble infini de graphes , il y en a deux tels que l'un "se plonge"* dans l'autre. Et pourtant tous ces trucs sont "impraticables", ie non seulement on ne les applique pas, mais en plus on peut prouver in some sense qu'on ne les appliquera jamais.

C'est tout. L'auteur du fil a posé une question, JLT en a posé une autre. Bien entendu chacun a le droit de poser ses questions, pas d'affaire de légitimité la dedans. Je disais juste que les deux questions différentes (Ca ne veut pas non plus dire qu'elles n'ont rien à voir l'une avec l'autre).