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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
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Si $B=\{n\},\ n\in \mathbb{Z}$, alors $g^{-1}(B) = \{ x\in \mathbb{R} \mid E(x) = n \} = [n,n+1[\, = \{n\} + [0,1[.$
Tu peux étendre ce résultat à toute partie de $\mathbb{Z}$.
par Tryss
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La limite est mesurable car toute limite simple de fonctions mesurable est mesurable.
par Tryss
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Pourquoi tu penses que $\overline{g}$ n'est pas bien définie dans cette preuve?
par Tryss
- Analyse
Prends $E = \mathbb{R}^2$, et $T$ une fonction telle que l'image d'un vecteur de norme 1 est sa rotation par un angle $\theta$ de 1 radian.
Alors si $x_0$ est de norme 1, pour tout n,$ X_n$ est le disque unité fermé.
Sauf qu'il existe des fonctions vérifiant ces propriétés Mais pour laquelle l'image du disque unité n'est pas inclue dans le disque unité. Il suffit d'ailleurs que |T(0)
par Tryss
- Analyse
Alors déjà, si x est réel, ta fonction est égale à la fonction 1/x, et n'est donc ni $L^1$ ni $L^2$, et, tel quelle, n'est pas non plus une distribution.
Ceci étant dit, on pourrait considérer que la distribution "valeur principale de 1/x" est "presque pareil" et calculer la transformée de Fourier de cette dernière (vu qu'il s'agit d'une distribution tempérée)
par Tryss
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Pour la question i), avec l'énoncé actuel, T est forcément nulle...
par Tryss
- Analyse
Sous réserve que je ne me sois pas planté (ce qui est très possible vu mon état ):
En cherchant à faire apparaitre le problème vers $+ \infty$ (donc les équivalence qui suivent sont en l'infini) :
Si on prends une fonction positive de $L^2$ qui n'est pas dans $L^1$, on va avoir, pour tout x,
$\int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) d\omega dt= + \infty$ et $\int_0^\infty \int_S f^2(
par Tryss
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Pour la limite, on a
\ Donc
\[ 1 \leq n! \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k!} \leq 1+ \frac{1}{n+1} + \frac{n-1}{(n+1)(n+2)} .
\] Et on peut procéder de la même façon pour pour un DAS à l'ordre N, en gardant juste plus de termes.
par Tryss
- Analyse
Apparté sur la notion de trace :
La trace c'est la "valeur" de la fonction au bord du domaine de définition.
Je mets valeur entre guillemets, car, à priori, les fonctions de $W^{1,2}$ ne sont définies que presque partout, et la mesure du bord est nulle. Donc, au premier abord, ça n'a pas de sens.
Sauf que, magie des espaces fonctionnels, l'application linéaire Trace qui
par Tryss
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Pour voir le problème potentiel au recollement, considère la situation suivante en dimension 1 ($Y=\,]0,1[$), imagine que tu obtiennes une suite $u_n$ qui converge vers la fonction $u(x) = 2x-1$. Cette fonction est bien dans $W^{1,2}(Y)$ (et à moyenne nulle), mais son prolongement par $Y$ périodicité n'est pas $W^{1,2}_\sharp(Y)$ (la dérivée n'est pas $L^2$ à cause des sauts aux $x\in \ma
par Tryss
- Analyse
Un autre type de preuve non constructive :
On note $\mathbb{I}$ l'ensemble des irrationnels
Considérons la fonction $f_x:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ définie par $f_x(y) = x^y$.
Soit $x>1$ irrationnel. $f_x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, donc bijective, donc le cardinal de $f_x(\mathbb{I}^+) $ est égal à celui de $\mathbb{I}^+$, donc strictement plus grand que c
par Tryss
- Analyse
Que penses tu de $e^{\ln(2)} = 2$ ?
Bon, ça demande quelques prérequis, mais c'est une preuve constructive
par Tryss
- Analyse
Je voulais parler de l'inégalité de Poincaré-Wirtinger, qui est valable pour $W^{1,2}$ et fait apparaitre la valeur moyenne de la fonction
par Tryss
- Analyse
Idées un peu en vrac pour la 1) :
J'ai l'impression que L'inégalité de Poincaré permet de se ramener à la fermeture de $W^{1,2}_\sharp(Y)$ dans $W^{1,2}(Y)$
En effet, si on a une suite de Cauchy d'éléments $u_n$ de $W^{1,2}_\sharp(Y)$, i.e. $\|\nabla(u_n-u_m)\|_2 \to 0$, alors par l'inégalité de Poincaré $ \|u_n-u_m\|_{W^{1,2}} \to 0$, donc est de Cauchy dans $W^{1,2}(Y)$ et donc
par Tryss
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Déjà, pour que ce soit bien une distribution, il faut que ta famille $(\theta_n)$ soit composée de points isolés.
par Tryss
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Calli : dans ton exemple, les $e_n$ ne sont pas de norme 1
Gebrane : non, pas du tout. Pour s'en convaincre, on peut considérer la norme infini et la norme $l^1$ sur les suites à support fini
par Tryss
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Bonjour
Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension dénombrable, et $B = (e_i)_{i\in \mathbb{N}}$ une base de $E$ avec $\forall i,\ \|e_i\| = 1$.
Voici ma question. Est-ce qu'il existe une constante $C$ telle que, si on note $x = \sum_{k=0}^n x_k e_k$ la décomposition de $x$ dans la base $B$
$$\forall x \in E, \qquad \bigg| \sum_{k=0}^n \frac{x_k}{k^2} \bigg| \leq C\|x\| \qua
par Tryss
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Tu penses vraiment que la mesure de Dirac définit une distribution régulière ?
par Tryss
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Je dirais que tu peux prendre $k$ points dans $]-q,q[^d$ qui vérifient $\frac{\epsilon}{3} < y_\ell^{i+1} - y_\ell^i < \frac{2\epsilon}{3}$, et ensuite choisir un $x_\ell \in D$ dans la boule de centre $y_\ell$ et de rayon $\frac{\epsilon}{6}$.
par Tryss
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Si $f$ est majoré par un polynôme, alors pour tout $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,
$$\left| \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) f(x) dx \right| \leq \cdots $$
par Tryss
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A mon avis, il y peu de chance que $\text{div}(A(y)e_i)$ soit $L^2$ dans tout les cas.
Ne serait-ce que parce que si $A(y)e_i$ n'est pas continu, sa divergence n'est pas forcément une fonction.
par Tryss
- Analyse
Tout est sur la page 2 du document.
La propriété (1.1) permet de montrer que c'est dans $L^2(Y)$, et deux phrases plus loin,
" The matrix $A(y)$ is a periodic function of $y$, with period $Y$", d'où l'on déduit que $y \mapsto A(y)e_i$ est dans $L^2_{per}(Y)$
par Tryss
- Analyse
Le terme de gauche est supérieur ou égal à 1, donc en prenant $c = \frac{1}{2 \ln(e+3)}$ on a le résultat, même pas besoin de ton hypothèse
par Tryss
- Analyse
Si je ne m'abuse, on peut réecrire le problème (1.9) sous la forme
$-\text{div}A(y)\nabla_yw_i(y) = f(y)$, avec $f(y) = \text{div}A(y) e_i$
Reste alors à montrer que $\int_Y f(y) dy = 0$, ce qui est ici une conséquence du théorème de la divergence + la périodicité de A(y)
par Tryss
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Pour "ma" version, on commence par remarquer que, quelque soit x,
$| f\ast \phi_n(x) - f(x) | = \left| \int_\mathbb{R} f(x-y)\phi_n(y) dy - f(x)\int_\mathbb{R} \phi_n(y) dy \right |$
$\leq \int_\mathbb{R} \phi_n(y) | f(x-y) - f(x)| dy$
Puis,
$\| f\ast \phi_n - f \|_1 = \int_\mathbb{R} | f\ast \phi_n(x) - f(x) | dx $
$\leq \int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} \phi_n(y)
par Tryss
- Analyse
Sinon, par convolution par une suite régularisante $\phi_n$, on construit une suite de fonctions régulières qui converge vers la fonction de $L^1$ souhaitée.
Soit$\phi$ la fonction $C\infty_c$ suivante :
$\phi(x) = C.\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$ pour $|x|<1$ et $0$ sinon (et $C$ une constante de normalisation choisie pour que $\|\phi\|_1=1$)
On pose
$\phi_n(x) = n\phi(nx)$
par Tryss
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@VictorTrou : parce que tu peux arbitrairement modifier $u_0$ et $v_0$ sans changer la limite $l$
Si $u_n$ et $v_n$ sont deux suites qui vérifient les hypothèses de l'énoncé, alors $\tilde{v}_n$ défini par $\tilde{v}_0 = v_0+1$ et $\tilde{v}_n = v_n$ pour $n>0$ vérifie aussi les hypothèses de l'énoncé (pour le même $l$), on aurai donc :
$\frac{u_0}{v_0} = l = \frac{u_0}{\tilde{
par Tryss
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Au passage, tu ne peux pas montrer que $ \frac{u_0 - u_p}{v_0-v_p} \to l$, car cela voudrait dire que $ \frac{u_0}{v_0} =l$ (les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergeant vers $0$)
par Tryss
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Est-ce que tu peux tracer le graphe de $H_a(x) - H_b(x)$ (avec $b>a$)?
par Tryss
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©Emmanuel
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