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Réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile
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Oui je me suis appercu. La borne $(n-1)^2$ est vrai jusqu'a $N=7$?
Sinon un problème est aussi de trouver le maximum avec une des suites la suite constante. Même celle là ne semble pas facile.
Cordialement.
Excuses aussi.
par Tonm
- Analyse
Bonjour, je pense qu'on a le suivant: d'abord c'est une inégalité spéciale et nouvelle à ma connaissance.
$u_1\ge \cdots, u_n$ et $v_1\ge \cdots, v_n$ deux suites décroissants de réelles non négatifs. $$\sum_{i=1}^nu_i=\sum_{i=1}^nv_i=n.$$ Le maximum de $\prod_{i=1}^n(u_i-v_i)^2$ est $(n-1)^2$ atteint seulement pour les suites $u_i=1$ pour tout $i$ et $v_1=n$, $v_i=0$ pour $2\le i \l
par Tonm
- Analyse
Bonjour, c'est une équation Pell-Fermat, on connaît sa solution générale. Entre autre tu peux voir
par Tonm
- Arithmétique
Bonjour, si $a=b=c=0$ on n'a rien à prouver, disons $c=1$ sans perte de généralité parce que l'égalité est homogène.
Puis remplacement $a=-1-b$ on aura un polynome de degré $8 $ en $b$ qui sera nulle pour par exemple $b=-5,\ldots,5$ donc identiquement nulle. Bien sûr trouver l'identité est différent de la prouver.
par Tonm
- Analyse
Bonsoir, oui sûr, je vous mets l'énoncé (voir figure jointe).
$ABCD $ parallélogramme.
$\overrightarrow{BK}=r\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BI}=r\overrightarrow{BC}$
$X$ milieu de $$
Si $R$ est le point tel que $\overrightarrow{CR}=r\overrightarrow{CB}$
alors $\overrightarrow{AR}=\alpha\overrightarrow{EB}$.
J'ai fait le cas $r=0.5$ mais c'est direct avec disons $Base (\overr
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, oui apparemment c'est simple (entre autre) en calcul vectoriel (c'est synthétique je crois).
par Tonm
- Géométrie
Bonsoir, si on veut on devra se poser quels sont les decompositions possibles d'un tétraèdre en trois petits tétraèdres de volumes égaux.
À priori il y a deux une famille on commence par ce que Soland a décrit. On décompose une base en trois triangles d'air égale puis etc, la variante est avec la figure de verdurin, on prend un tiers de la base puis la moitié d'un autre côté. C
par Tonm
- Géométrie
Rebonjour, oui si tu poses ça
Citationdonnet
Dans mon cas je pars de deux nombres A et B premiers entre eux et je cherche les deux couples de coefficients de BEZOUT inférieurs à ces nombres premiers
Alors trouver ces deux couples est bien connu (algorithme d'Euclide étendue ou autre).
par Tonm
- Arithmétique
Bonsoir, il y a un truc, quand on a $ax+by=c$ à résoudre en $x,y$ on fixe $a,b$ et $c$. Sinon comment trouves tu en premier lieu $(x_0,y_0)$ ou $(x_1,y_1)$? Peut être tu cherches un autre fait mais je ne sais quand même.
Si $c=\pm 1 $, $pgcd(ax,by)=1$.
Cordialement
par Tonm
- Arithmétique
Bonjour, soit je passe à côté soit j'ai mal compris mais le signe de $1$ $(\pm 1) $ ne dépend pas de $A,B$ mais du couple $(x,y)$.
par Tonm
- Arithmétique
Bonsoir, pappus, j'ai essayé les calculs il y a un si et seulement si (peut-être) vu que l'hypothèse de convexe pourrait être quadrilatère non croisé (pour avoir les prolongements et points d'intersection, la diagonale base est celle à l'intérieur).
PS : je n'ai pas abouti mais on peut mettre cette équivalence avant vu les références données.
Cordialement.
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, juste pour dire quelque chose (mes derniers messages n'ont rien à faire) je joint les calculs des distances entre centre du cercle circonscrit $O$, $I$ et $H$. Si on veut continuer c'est fourbui car la formule $OI^2$ est peut être simple et celle en $OH^2$ $H$ orthocentre n'est pas simple. Cette dernière doit être appliquée à $B_1B_2B_3$ dont les côtés sont en fonction de $a,b,c
par Tonm
- Géométrie
Oui merci, pappus, je pensais que si $R>2r$ fixes les solutions du triangle cherché sont précis, mais vous dites que les solutions sont infinies... évidemment
Bon l'idée est d'aller dans le problème posé en calcul ( disons $R=1$, $r=0.4$ ) on
peut construire d'abord $C_1C_2C_3$ avec $I$ comme centre du cercle circonscrit (d'une façon en fait il y a des contraintes à respecter -ra
par Tonm
- Géométrie
Ça revient à la relation d'Euler $R\ge 2r$ apparemment.
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, pour un problème posé dans
J'ai posé la question : si on fixe un point $I$, un rayon $r$ du cercle inscrit $(C)$ fixe et $R$ un rayon d'un autre cercle $(O)$ $r<R$. Est-ce que cela permet de construire le triangle ayant le cercle inscrit $(C)$ et $(O)$ son cercle circonscrit ?
Je n'ai pas fixé le centre de $(O)$ ça parait mettre trop de contrainte...
Le but est de t
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, voilà un élève (doit) prouver le suivant:
$\dfrac{GE}{h}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CF}{CD}$
Donc $\dfrac{y}{h}=\dfrac{DC-DF}{DC}$
Puis $\dfrac{y}{h}+\dfrac{DF}{DC}=1$
Et enfin par Thalès, $\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DF+DE}{DC+DB}$
Vous remarquez qu'il y a équivalence pour inscrire le rectangle.
C'est ding. Merci
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, @soland ce sont les segments côtés du triangle ou rectangle. Pour la question initiale ce n'est pas simple à un élève de tirer cette équation même si tu dis appliques Thalès à ce triangle ou autre vue qu'il y a un petit point à faire en faisant la projection (pied de la hauteur) et le calcul à simplifier (à première vue).
Cordialement
par Tonm
- Géométrie
Oui merci la somme de deux rayons est plus grande que le côté opposé par inégalité triangulaire.
par Tonm
- Géométrie
Bonsoir, je crois que si c'est simple de voir que le rayon nulle est pour le triangle aplati donc $c\to a+b$, Le rayon du cercle circonscrit $R$ semble exploser en s'approchant d'un triangle applati. Il semble croissant en $c$ aussi, augmenter un côté augmente le rayon $R$ (il fallait une preuve mais ça y est).
Est ce que le rayon $R$ minimale est simple à envisager en fonction de $
par Tonm
- Géométrie
Bonsoir, les Maitres une vision peut être la suivante (Edit)
On se donne un triangle rectangle en $D$, $ADC$. Du point $E$ milieu de $ $ on mène une demi-droite $ $ en $H$. $X\in [E)$ tel que $[E)$ soit bissectrice de $\widehat{AXD}$ (il y a un résultat d'existence mais je le mets comme ça)
On construit $M$ tel que $H$ soit orthocentre de $MAC$. Demontrer que $A,X,M,C$ sont cocycliques?
par Tonm
- Géométrie
Salut Chaurien, si tu parles par les mêmes calculs que je fais dans l'autre topic, j'obtiens en général des équations paramétriques qu'on peut faire implicite si on connait les équations par exemple une hyperbole
$\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1$ on devra trouver $a,b$... $(x,y)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$
Mais je penses que tu parles de celles de pappus en premier
(Je croyais c'étai
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, merci pour les problèmes, juste une question est ce que $AM$ est bissectrice de $\widehat{XAD}$?
le $B$ semble ne faire rien.
Cordialement.
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, les calculs son direct si le rayon du cercle inscrit est $r$, $r^2=\dfrac{(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4(a+b+c)}$ puis une derivation par rapport à $c$ mène à l'équation (en fait j'ai fait un changement de variable $x=a+b+c$) mais le $c$ optimale est une racine de la dérivée qui est entre $|b-a|$ et $b+a$. Si $a=b$ ça se calcule particulièrement.
Je croyais à une chose simple.
par Tonm
- Géométrie
Oui, pour le cercle inscrit $I$ j'arrive à l'équation $x^3-x^2(2a+2b)+2ab(2a+2b)=0$ avec le rayon de $I$ maximal pour $c=X-a-b$, $X$ la racine maximale de l'équation. Ça ne simplifie pas.
Peut-être le cercle circonscrit est plus simple.
Les rayons minimaux sont pour les triangles aplatis.
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, ce problème(s) est une modification d'un apparu danc Crux ce dernier numéro Oct-2020
$a,b$ sont deux côtés d'un triangle, déterminer son troisième côté $c$ pour que les cercles circonscrits, inscrits (ou autres cercles?) soient extrêmes i.e. de rayon maximales ou minimales.
Le problème posé dans la revue était pour le cercle inscrit et un triangle isocèle... en génÃ
par Tonm
- Géométrie
Bonjour pour la dernière figure j'ai pris comme repère l'axe des abscisses celui portant la médiane. Puis
$$MO^2+MB^2-2MO.MB\cos(2\theta)=MO^2+MC^2-2MO.MC\cos(\theta)$$
et on exprime $MC$ comme $r$ dans mes posts précédents.
par Tonm
- Géométrie
Oui merci, si $AA'=a$ $\widehat{A'AC}=\theta$ je trouve que $$AC=a\frac{8\cos^3(\theta)-4\cos(2 \theta)\cos(\theta)}{4\cos^2(\theta)-1}$$
Puis je plot ($AC\cos(\theta),AC\sin(\theta)$) pour $0\le \theta\le \pi/3$, $a=1$ ça m'a donné la figue d'un arc d'un cercle?
Évidemment il y avait une erreur de signe
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, il y a une chose pappus bonne année d'abord. Moi j'ai fixé la medianne au centre $C$ (chez toi $A$) et comme vous voyez j'ai trouvé que $B$ se déplace sur un cercle ? Alors c'est explicable je crois ?
Désolé pour la mal exposition mais j'ai donné les gros points (ce n'est pas compliqué) ça répond au problème c'est une reformulation
Cordialement.
par Tonm
- Géométrie
Bonjour, voilà une façon si on veut.
Dans la figure j'ai pris le repère au centre $C$, l'axe des abscisses est porté par la médiane, on veut le lieu de $B$.
Les deux triangles ont le même aire donc $a.CB.\sin(\theta)=a.CB'.\sin(2\theta)$ puis $$CB'=\dfrac{CB}{2\cos(\theta)}$$
Deux Pythagore généralisés (expression de $MB^2=MB'^2$), $x=\theta$ donnent
$$
r=CB=\dfrac{8a\cos^3(x)-
par Tonm
- Géométrie
Sneg, si tu connais l'anglais je t'invite à lire ça
Et les débuts
Bonne année.
par Tonm
- Arithmétique
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©Emmanuel
Vieillard Baron 01-01-2001
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