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ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω
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Soit $\varphi$ le morphisme d'anneaux:
$$
\begin{array}{cccl}
\varphi:& \Z &\longrightarrow &\Z/5\Z \\
&p(x)& \longmapsto& _5.
\end{array}
$$ Soit $p(x) \in \Z,\ p(0)=0$
$\varphi(p(0)) = \varphi(0) = [0]_5.$
Soit $p(x) \in \Z,\ p(0)=1$
$\varphi(p(1)) = \varphi(1) = [1]_5.$
Soient $p(x), q(x) \in \Z,\ (m,n)\in \Z^2,\ p(0)=m,\ q(0)=n$
$\varphi(p(x)+q(x)) = \varph
par thbaymet
- Algèbre
Quelle est la stratégie complète pour la dernière partie ?
Je démontre qu'il y a bien un morphisme d'anneaux de $\Z$ dans $\Z/2\Z$ (en vérifiant $0$, $1$ et les lois $+, \times$). Ensuite je démontre qu'il y a isomorphisme d'anneaux de $\Z/\ker\phi$ dans $\Z/2\Z$ (en montrant qu'il est injectif et surjectif donc bijectif) ?
Merci.
par thbaymet
- Algèbre
nicolas.patrois écrivait :
-------------------------------------------------------
Nicolas voulait dire qu'il n'existe pas un tel élément de $\Z$, mais j'ai cru qu'il me demandait "comment" le trouver ?
$pgcd(x,5)$ ? C'est $1$, mais $1$ ne peut pas engendrer $x$ ni $x+5$.
par thbaymet
- Algèbre
Merci à vous.
Si j'ai bien compris, on peut faire une démonstration par l'absurde, en supposant que $I$ est un idéal principal. C'est-à-dire que tous les éléments de $I$ ont été engendré par un seul élément de $Z. $$I$ contient une infinité d'éléments, mais aussi $x$ et $5$. Puisque $I$ est un idéal principal, il existe donc un monôme $p\in Z$ qui divise à la fois $x$ et $5$.
par thbaymet
- Algèbre
Je ne sais pas comment trouver les racines de $f(1/x)$. $f$ a déjà les racines, est-ce que ce sont les $\alpha_1/x, \alpha_2/x, \alpha_3/x, \alpha_4/x$ ?
Est-ce que je remplace les $x$ par $1/x$ ensuite avec $f(1/x) = 0$ et je cherche les valeurs de $x$ ?
par thbaymet
- Algèbre
Je vous remercie.
Si j'ai bien compris, on peut représenter les éléments de $J$ par $f(x)*x$ et les éléments de $K$ par $g(x)*5$. Ainsi on oblige d'une part les éléments de $J$ d'être multiples de $x$ (même le constant $a_0$), d'autre part les éléments de $K$ d'avoir un constant multiple de $5$ (même pour $g(x)=0$ puisque $5$ divise $0$).
On obtient donc:
$I = \{ p(x) \in Z$
par thbaymet
- Algèbre
Je comprends que l'élément 5 de $Z$ engendre l'idéal $I = 5Z$ qui contient $0, \pm5, \pm10, ... $.
Mais j'ai dû mal à le comprendre avec les polynômes.
Les éléments de $I$ sont alors, $0+0, 5X+0, 5X^2+0, 5X^2+5x$ ?
Est-ce qu'il s'agit de <$x,5$> ? deux éléments, $x$ et $5$ ?
par thbaymet
- Algèbre
C'est $5x$ de $Z$ qui a engendré cet idéal ? Les éléments de $I$ sont les multiples de $5x$ ?
par thbaymet
- Algèbre
Merci Nicolas pour ton retour.
Mais c'est bien ça le problème, peux-tu me donner quelques exemple d'éléments le plus simple de cet idéal ?
ex: $0+I, 5+I$ sont dans I ? $5+x$ ?
par thbaymet
- Algèbre
Bonjour,
j'essaie de résoudre cette question.
a) Il faut montrer que
$0\in I$, avec $a_0=0$ de $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ ? $0\in I$, alors $I \neq \emptyset$ ? $p(x)+q(x)\in I$, avec $p(x)+q(x)=a_1x+...+a_nx^n+...+b_1x+...+b_mx^m+(a_0+b_0)$, puisque $5|a_0$ et $5|b_0$ alors $5|(a_0+b_0)$ ? $p(x)*q(x)\in I$, avec $p(x)*q(x)=a_{1}b_{1}x^2*...*a_{n}b_{m}x^{n+m}*(a_0*b_0)$, puisque $5|a
par thbaymet
- Algèbre
Si $z$ est la racine, on a
$az^2+bz+c=0$
$az^2+bz=-c$
$z(az+b)=-c$
$az+b=-c * 1/z$
J’espère que je ne suis pas parti très loin... ?
par thbaymet
- Algèbre
Je te remercie pour ton effort.
Je ne vois pas trop.... Je peux tous diviser par $z^2$ pour obtenir $a+\dfrac{b}{z}+\dfrac{c}{z^2}$ ?
par thbaymet
- Algèbre
Merci pour vos retours.
a) J'ai pris par exemple $f(x)=3ix+i \in C$ avec $a=3i, b=i$. La racine est $x=-1/3$, son inverse $x^{-1}=-3$.
Pour construire $g(x)=ax+b$ dont la racine est $-3$, je dois avoir $x=a/b=-3$, donc $a=-3,b=1$ et le polynôme $g(x)=ix+3i$.
Ce que j'obtiens c'est qu'on décale l'ordre des coefficients ? vers la gauche ?
b) Pour $f(x)/x^2$ je vais obtenir $ax + b$ c
par thbaymet
- Algèbre
Bonjour, est-ce que avez-vous idée comment puis-je calculer b1 ?
Merci.
par thbaymet
- Algèbre
Merci pour vos réponses.
Autrement dit, il faut que $f-g$ appartienne à la classe $\overline{0}$ de l'anneau quotient.
$$f-g\equiv \overline{0} $$
par thbaymet
- Algèbre
Bonjour.
Est-ce que quelqu'un peut me confirmer si j'ai raison ?
Dire si les polynômes $f$ et $g$ sont dans la même classe de l'anneau quotient $\R/(x^2-2)$ :
$f = 4x^5 - 9x^3 - 5$
$g = -3x^4 + x^2 - 2x + 5.$
Si j'ai bien compris, il faut que le reste de la division euclidienne de $f$ et de $g$ soit le même pour que ces deux polynômes soient dans la même classe.
De plus, je peux re
par thbaymet
- Algèbre
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©Emmanuel
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