Espérance conditionnelle.
Salut à tous.
Soit $T$ et $S$ deux temps d'arrêt. $F_{S}$ la tribu des temps antérieur à $S$.
J'aimerais comprendre, par une preuve, pourquoi $\forall A \in F_{S},\ E X_{T} 1_{A} \geq E X_{S} 1_{A}$ implique que $ E ( X_{T} \mid F_{S}) \geq X_{S}$.
Merci.
[ton pseudo a été modifié selon ton souhait. Bienvenue, Bruno]
Soit $T$ et $S$ deux temps d'arrêt. $F_{S}$ la tribu des temps antérieur à $S$.
J'aimerais comprendre, par une preuve, pourquoi $\forall A \in F_{S},\ E X_{T} 1_{A} \geq E X_{S} 1_{A}$ implique que $ E ( X_{T} \mid F_{S}) \geq X_{S}$.
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Réponses
Que vaut $E ( X_{S} \mid F_{S})$ ?
$ E ( X_{S} \mid F_{S}) = X_{S}$ car $F_{S}$ mesurable.
$P(A) =0$ car $E(X_{S} 1_{A}) > E( E(X_{T} | F_{S}) 1_{A}) = E( E(X_{T} 1_{A} | F_{S})) = E(X_{T}1_{A})$
C'est presque ça, mais la première inégalité n'est pas stricte (pourquoi ?). Est-il clair que $P(A) = 0$ ?
Dans ce cas là $P(A)=0$ clairement.
J'ai envie d'écrire : $E(X_{T} 1_{A}) \geq E( X_{S} 1_{A} ) > E(X_{T}1_{A} )$
Mais je dois faire attention car la dernière inégalité est fausse comme vous dites elle est large.
Je pense que le problème c'est que si on intègre sur un ensemble de mesure nulle alors l'intégrale est nulle.