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$X=\text{const}$ p.s. tribu grossière

Envoyé par Code_Name 
$X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Bonjour, soit $X$ mesurable par rapport à une tribu grossière ($\mathbb P(A)=0$ ou $1$ $\forall A\in \mathscr A$). Je voudrais montrer que $X$ est constante presque sûrement.

Je raisonne par l'absurde en supposant que pour toute constante $e\in E$ ($X$ à valeurs dans $E$), on a que $\mathbb P(X=e)=0$.

On aurait que $\Omega=X^{-1}(E)=X^{-1}(\cup_{e\in E}e)=\cup_{e\in E}X^{-1}(e)$.

On ne peut pas conclure si $E$ n'est pas dénombrable...
MrJ
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Il suffit d'utiliser la définition de $X$ est mesurable avec l'événement $(X\leq t)$.

Édit : Pardon, je n'avais pas vu que la variable aléatoire n'était pas nécessairement réelle.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par MrJ.
MrJ
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
En fait, j'ai un doute sur le fait que le résultat soit vrai sans aucune hypothèse sur l'espace mesurable d'arrivé. Par exemple, si l'espace d'arrivée est muni de la tribu grossière, j'ai l'impression (mais je n'ai pas écrit tous les détails) que toutes les fonctions sont mesurables et pourtant elles ne sont pas toutes constantes.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par MrJ.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Bonjour,
Il me semble qu'il faut ajouter une hypothèse pour que ce soit vrai. Sinon, un contre-exemple est donné par $\Omega=E$ un ensemble qui possède une mesure $\sigma$-additive à valeurs dans $\{0,1\}$ et différente d'un Dirac (ça revient à avoir un ultrafiltre $\sigma$-complet non principal, donc c'est possible) et $X = {\rm id}_\Omega$. L'hypothèse $E=\Bbb R$ me paraît pertinente (et la propriété est vraie dans ce cas).

Edit : Je n'avais pas vu le message de MrJ (qui va dans le même sens).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Calli.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Je pense que c'est dans $\mathbb R$ aussi. Voici ma rédaction:
Si $\forall t\in \mathbb R, \mathbb P(X=t)=0$ alors notons $\mathbb R=]-\infty,t[\sqcup \{t\}\sqcup ]t,\infty[=B_1\sqcup B_2\sqcup B_3$.

Vu que $\mathbb P(X\in \mathbb R)=1$ alors par exemple on doit avoir $\mathbb P(X\in B_1)=1$ et $\mathbb P(X\in B_2)=0$.
Vu que c'est vrai pour tout $t\in \mathbb R$, prenons $t_n$ une suite décroissante qui tend vers $-\infty$.

Alors $0=\lim_n \mathbb P(X>t_n)=\mathbb P(\cup_n X>t_n)=\mathbb P(\mathbb R)=0$, donc impossible.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Avec des hypothèses un peu plus génériques : [www.les-mathematiques.net]
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
@Code_Name : Attention, tu as montré que pour chaque valeur de $t$, l'un parmi $]-\infty, t[$ et $]t, +\infty[$ a pour mesure $1$, mais tu n'as pas montré que c'était le même pour chaque $t$.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Ah oui c'est vrai. Mais ici je suppose que pour un $t$ fixé, c'est $]t, +\infty[$ qui a mesure $0$.
Par l'absurde, soit $\varepsilon>0$ tel que $]t-\varepsilon,\infty[$ est de mesure $1$.
Alors $]-\infty,t[$ est de mesure $1$ et $]t-\varepsilon,\infty[$ est de mesure $1$.

En particulier alors $]-\infty,t-\varepsilon[$ est de mesure $0$, donc $[t-\varepsilon,t[$ est de mesure $1$.

En fait je suis bloqué...
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Peux-tu déjà justifier que $\mathbb P(B_1)=1$ ou $\mathbb P(B_2)=1$ ?
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Je l'ai déjà fait non? Car $1=\mathbb P(X\in \mathbb R)=\mathbb P(X\in B_1)+\mathbb P(X\in B_2)+\mathbb P(X\in B_3)$
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Donc si on dispose de trois nombres réels $a,b$ et $c$ tels que $a+b+c=1$, l'un d'eux doit être égal à $1$ ?
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Non mais ici on a une tribu grossière donc les probas valent toujours soit $1$ ou $0$.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Ce n'est pas la définition d'une tribu grossière, qui ne fait pas intervenir de mesure.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Ah d'accord, donc au lieu d'une tribu grossière prenons donc une tribu et une proba qui vérifient $\mathbb P(A)=0$ ou $1$ $\forall A\in \mathscr A$.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
Dans ce cas je suis d'accord.

Tu devrais regarder ce message, dans le fil pointé par Chalk. On voit que commencer par considérer un inf permet de terminer facilement la démonstration.
Re: $X=\text{const}$ p.s. tribu grossière
il y a quatre semaines
avatar
Ah oui ça marche merci smiling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
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