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Marche aléatoire - coefficient multinomial

Envoyé par elleest 
Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Bonjour
Je poursuis ma lecture de "Recueil de modèles stochastqiues" de D.Chafaï et F.Malrieu : Modèles stochastiques

À la page 29, les auteurs étudient la récurrence de la marche aléatoire en dimension 3 avec des arguments combinatoires.
J'ai du mal à comprendre la majoration du coefficient multinomial ("Si n=3m alors une petite étude...").

Merci d'avance pour votre aide.

Estelle
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Si au lieu d'un coefficient multinomial on avait un coefficient binomial $\binom{2m}{r\ s}$, on supposerait par exemple que $r>m$ et on comparerait $\binom{2m}{r\ s}$ à $\binom{2m}{r-1\ s+1}$ (par un quotient).

Avec un coefficient multinomial, j'ordonnerais les $r_i$ de sorte que $r_1\ge r_2\ge r_3$ et je supposerais que $r_1>m$, puis je comparerais $\binom{3m}{r_1\ r_2\ r_3}$ à $\binom{3m}{r_1-1\ r_2\ r_3+1}$ (ou $\binom{3m}{r_1-1\ r_2+1\ r_3}$ ?).
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
L'idée consisterait donc à montrer que si un des trois coefficients r1, r2, r3 n'était pas égal à m (par exemple r1=m+1, r2=m-1, r3=m), alors le coefficient multinomial ne serait pas maximal ?
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Oui, c'est ça. (C'est une façon de montrer l'inégalité arithmético-géométrique d'ailleurs.)
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Merci !
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Et, euh... ça marche, alors ?
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
Ah, je voulais faire la remarque l'autre jour, mais manifestement, j'ai oublié !
On a $\quad
\binom{i+j+k}{i,j,k} =
\binom{i+j}{i} \times
\binom{i+j+k}{k}\quad $ et symétrisés.
Or, pour $i+j+k=3m$, à moins d'avoir $i=j=k=m$, on a forcément au moins 2 coefficients $i,j,k$ qui diffèrent d'au moins 2. Mettons que ce soient $i,j$.
Mais, dans ce cas, à $i+j$ fixé, le coefficient binomial $\binom{i+j}{i}$ n'est déjà pas maximisé.
Donc, a fortiori, c'est encore moins maximisé pour le coefficient trinomial !
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a quatre semaines
@ Math Coss : oui, ça marche :)

@ marsup : merci !

Estelle
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a trois semaines
J'ai bien compris le cas n=3m mais j'avoue que je ne comprends pas comment les auteurs traitent les cas n=3m+1 et n=3m+2.

Merci d'avance pour votre aide.

Estelle
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a trois semaines
Si c'est encore la même question, tu peux utiliser le même lemme : À $i+j$ fixé, le facteur $\binom{i+j}{i}$ n'est maximisé que si $|i-j| \le 1$.
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a trois semaines
Merci, je vais tenter :)
Re: Marche aléatoire - coefficient multinomial
il y a trois semaines
J'ai réussi à finaliser.

Par contre, pour le cas d>3 (en bas de la page 29), j'ai du mal à comprendre l'explication...

Merci d'avance pour vos précisions et explications.
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